秘籍16 振动图像与波动图像的综合应用
【解密高考】
【题型一】机械波的形成与传播
【题型二】波动图像及其与振动图像的综合应用
【题型三】波的多解问题
：针对机械振动与机械波专题，2025年高考大概率以图像为载体考查振动图像、波的图像、波的周期性与多解性。简谐运动的公式、波的形成与传播规律与波速公式的结合问题仍会是考查的重点。
：（1）本专题涉及知识点多，复习过程中要注意将概念进行对比理解，把握概念的实质，掌握简谐运动、机械波、机械振动、波的图像等分析解答问题的方法，特别注意简谐运动、机械波的周期性与多解性；（2）近几年，本专题考查形式以选择题为主。在复习过程中要注意题型考查方式的变化，在平时训练中要重视训练题型与高考题型的统一性，提高高考备考的效率；（3）本专题内容考查也重视与日常生产生活、现代科技相结合，如2024年江西卷第6题，2024年河北卷第6题等，因此复习备考本专题时，要侧重与实际应用相结合的题型，这应该是未来命题的方向。
【题型一】机械波的形成与传播
1.波速与振速的区别
(1)波速：波源振动几个周期，波形就向外平移性延伸几个波长，这个比值就表示了波形向外平移性延伸(或振动能量向外传播)的速度，即波速。波速的大小与介质有关，与波源的振动频率无关，波在同一均匀介质中的传播是匀速的。
(2)振速：质点的振动速度，即为振速。波动中各质点都在平衡位置附近做周期性振动，即做变速运动，振速周期性变化。振速与质点偏离平衡位置的位移有关。
2．机械振动与机械波的区别和联系
名称 项目 机械振动 机械波
区别 运动 特点 机械振动是单个质点以平衡位置为中心所做的往复运动 机械波是介质中大量质点依次发生受迫振动而形成的“集体运动”
产生 原因 机械振动是质点受到回复力作用的结果 机械波是从波源处开始，由近及远，介质中质点依次施力带动相邻质点发生受迫振动形成的
能量 变化 情况 机械振动过程中，动能和势能不断地相互转化，总机械能守恒 波源将能量传递给相邻质点，相邻质点再将能量传递给它的相邻质点，由近及远，每个质点在不断地吸收和放出能量，从而把波源的能量传播出去，是一个能量的传播过程
联系 (1)机械波是机械振动在介质中传播形成的； (2)机械波的周期等于介质中质点机械振动的周期； (3)有机械振动不一定有机械波，但有机械波一定有机械振动； (4)波源停止振动后，介质中的机械振动并不立即停止传播，而是继续向远处传播，直到振动能量全部损耗完
3.波的传播过程中的特点
(1)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf。
(2)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
(3)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变。
(4)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
4．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
方法解读 图像演示
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧” 法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
【例1】（多选）为了理解绳波的传播特点，某同学拿着绳子左侧上下做简谐运动，某时刻绳波的图像如图所示，a、b为绳波中的两质点。关于该绳波，下列说法正确的是（ ）
A．该绳波为纵波
B．a质点的加速度正在增大
C．b质点振动速度正在增大
D．若波源振动加快，则波长将减小
1．机械波的特点 (1)介质依存性：机械波离不开介质。 (2)能量信息性：机械波传播的是振动的形式、能量和信息。 (3)传播不移性：在传播方向上，各质点只在各自平衡位置附近振动，并不随波迁移。 (4)时空重复性：机械波传播时，介质中的质点不断地重复着波源的振动形式。 (5)周期、频率同源性：介质中各质点的振动周期、频率均等于波源的振动周期、频率，且在传播中保持不变。 (6)起振同向性：介质中各质点开始振动的方向与波源开始振动的方向相同。 2．计算波速的两种思路 (1)速度的定义：v＝，Δx表示波向前传播的距离，Δt表示波传播Δx所用的时间。 (2)波速与波长、频率(周期)的关系：v＝λf＝，f、T由波源决定，v由波的性质和介质决定。
【例2】（多选）在某次关于波的形成与传播的演示实验中，一振针O垂直于水面做简谐运动，所激发的水波在水面向四周传播。图甲为该波在时的图像，实线圆与虚线圆分别表示波峰与波谷所在位置，相邻两个实线圆之间仅有1个虚线圆，P点在实线圆上，Q点在虚线圆上，N点到其相邻两圆距离相等，相邻实线圆与虚线圆的间距为。介质中某质点的振动图像如图乙所示，取垂直纸面向外为正方向。下列说法正确的是（ ）
A．该波的波速为 B．图甲中P和Q两处质点振动的相位差为π
C．图甲中N处质点在该时刻速度方向垂直纸面向里 D．图乙一定是N处质点的振动图像
【变式1】一列简谐横波沿轴正方向传播，时刻，处的质点和处的质点均处于平衡位置，质点、间只有一个波峰，且波峰的位置在和之间，质点的振动图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点正向下振动
B．波传播的速度大小为
C．质点比质点振动滞后
D．当质点在平衡位置向下振动时，间有两个波峰
【变式2】（多选）如图所示，简谐横波在均匀介质中以的速度沿轴正方向传播，先后通过平衡位置间距为的两个质点，以波刚传播到质点时作为计时起点，质点的振动方程为。下列说法正确的是（ ）
A．质点的振幅为10cm
B．简谐横波的波长为
C．内质点通过的路程为
D．时，间有三个波峰
【变式3】（多选）如图甲，湖泊水面上有一列浮球，用来警示过往船只注意安全。图乙为简化俯视图，所有浮球等间距排成一条直线，水面上的O点垂直于水面xOy持续沿z轴振动，形成了沿水面传播波长的水波。当所有浮球全部振动后开始计时，以竖直向上为z轴正方向，其中浮球A、B的振动图像如图丙所示，已知，，。则（ ）
A．时，1号浮球位于平衡位置下方且沿z轴正向运动
B．时，6号浮球位于平衡位置上方且沿z轴负向运动
C．时，1号浮球与2号浮球都位于平衡位置的上方且运动方向相反
D．时，5号浮球与6号浮球都位于平衡位置的上方且运动方向相反
【题型二】波动图像及其与振动图像的综合应用
波动图像和振动图像的比较
振动图像 波动图像
研究 对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点
研究 内容 一质点的位移随时间的变化规律 某时刻介质中所有质点的空间分布规律
图像
物理 意义 表示同一质点在各时刻偏离平衡位置的位移 表示介质中的各个质点在某一时刻偏离平衡位置的位移
图像 信息 (1)质点振动周期； (2)质点振幅； (3)质点在各时刻偏离平衡位置的位移； (4)质点在各时刻速度、加速度的方向 (1)波长、振幅； (2)任意一质点在该时刻偏离平衡位置的位移； (3)任意一质点在该时刻的加速度方向； (4)已知波的传播方向，可判断介质中各质点的振动方向；已知介质中某一质点的振动方向，可判断波的传播方向
图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，波形沿传播方向平移
连续重复 的最短完 整曲线占 横坐标的 距离 表示一个周期 表示一个波长
【例1】（多选）波源发出一列向右传播的简谐绳波。时波源开始振动，其位移随时间变化的关系如图所示，则一段时间后在绳上形成的波形可能正确的有（ ）
A． B．
C． D．
求解波动图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
【例2】青蛙在平静的水面上鸣叫时引起水面振动，形成如图甲所示的水波（把水波当成横波处理）。假设原点O处为青蛙所在位置，O处的波源垂直平面振动后，产生的简谐横波在平面内传播。实线圆、虚线圆分别表示时刻相邻的波峰和波谷，此时图甲中的A点第一次达到最大位移处，图乙为图甲中质点B的振动图像，z轴垂直于水平面且z轴的正方向为竖直向上，下列说法正确的是（ ）
A．质点B的振动方程为
B．波在水中的传播速度大小为0.5m/s
C．1s时波峰刚好传播到C点
D．C点第10次到达波峰的时刻为1.1s
【例3】“波”字最早用于描述水纹起伏之状，唐代诗人有“微风动柳生水波”的描述，水波可看成简谐横波。一列沿x轴负方向传播的水波在时刻的波形如图所示，此时波刚好传播到平衡位置为的P点，Q点是波上平衡位置为的质点，在时刻，Q点（在时刻后）首次位于波峰位置。
求：
（1）该列波的传播速度v；
（2）质点Q的振动方程；
（3）时刻后，质点P和质点Q第三次位移相同的时刻。
【变式1】（多选）如图所示，图甲为一列简谐横波在时刻的波形，其中质点P坐标为，质点Q坐标为，图乙为质点Q的振动图像，图中M点坐标是，则关于波的传播和质点的振动，下列说法正确的为（ ）
A．该简谐横波的传播方向沿x轴负方向
B．由波动图像可得该简谐横波的波长为
C．结合波动图像和振动图像可得该简谐横波的传播速度
D．结合波动图像和振动图像可得点P的振动方程
【变式2】（多选）某简谐横波在时刻的波形图如图1所示，平衡位置在处的质点的振动图像如图2所示，其余数据图中已标出，下列说法正确的是（ ）
A．该波沿轴负方向传播
B．该波的波速是
C．时刻处质点位于平衡位置
D．平衡位置在的质点从0时刻开始经过走过的路程是27cm
【变式3】（多选）一列简谐横波沿x轴正方向传播，此波在某时刻的波形图如图甲所示。质点M的平衡位置在处，质点N的平衡位置是处。质点N从时刻开始振动，其振动图像如图乙所示。此波传播到达平衡位置为处的质点Q时，遇到一障碍物（未画出）之后立刻传播方向反向，反射波与原入射波在相遇区域发生干涉，某时刻两列波部分波形如图丙所示。则下列说法中正确的是（ ）
A．图甲时刻波刚好传播到N点，波速为20m/s
B．从到，质点M通过的路程大于15cm
C．时，质点N的位移为0
D．足够长时间后，O、Q之间有5个振动加强点（不包括O、Q两点）
【题型三】波的多解问题
1.造成波的多解问题的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
b．只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。
c．只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。
2．解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。
(2)对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt或Δx满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
(3)注意题目是否有其他限制条件，如波的周期、波长、波速有限定，求出符合限定条件的解。
【例1】（多选）图甲为某同学利用跳绳模拟战绳训练，该同学将绳子一端固定在杆上，用手上下甩动另一端。图乙为绳上P、Q两质点的振动图像，P、Q两质点平衡位置相距5m。波由P向Q传播。下列说法正确的是（ ）
A．增大甩动的频率，则波在绳子上传播速度增大
B．t=0.5s时，P、Q质两点振动方向相同
C．波长可能为0.6m
D．波速可能为
【例2】（多选）一只青蛙从一片荷叶跳入平静的湖水中，平静的水面以青蛙的入水点开始上下做简谐运动，在水面上激起一层涟漪。青蛙入水不远处的水面上有两片树叶，其振动图像分别为图中的a、b所示。已知水波的波长为0.4m，两片树叶在入水点的同侧且与入水点在一条直线上，则两片树叶之间的距离可能为（ ）
A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m
【例3】（多选）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，时刻的波形为图中实线，的波形为图中虚线。下列说法正确的是（ ）
A．如果波沿x轴正方向传播，波的周期为1.2s
B．如果波沿x轴负方向传播，波的周期可能为
C．如果波速为0.2m/s时，波沿x轴正方向传播
D．如果波速为2.6m/s时，波沿x轴负方向传播
【变式1】如图甲所示，a、b为沿x轴传播的一列简谐横波上的两质点，相距为s=1m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。
(1)若波在介质中传播的速度为v=4m/s，求波长；
(2)若波沿x轴负方向传播，且波长大于0.7m，求可能的波速值。
【变式2】在平面直角坐标系中轴上有一振源，产生的简谐波沿轴传播，、是轴上的两个质点，从质点第一次达到波峰开始计时，、两质点的振动图像分别如图甲、乙所示，已知、平衡位置间距离为且在的右侧，的横坐标为，该简谐波的波长大于时波源位于平衡位置，波源起振方向竖直向上。
(1)求该简谐波的波速；
(2)若波源在质点的左侧，求内，平衡位置在处的质点通过的路程。
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【解密高考】
【题型一】机械波的形成与传播
【题型二】波动图像及其与振动图像的综合应用
【题型三】波的多解问题
：针对机械振动与机械波专题，2025年高考大概率以图像为载体考查振动图像、波的图像、波的周期性与多解性。简谐运动的公式、波的形成与传播规律与波速公式的结合问题仍会是考查的重点。
：（1）本专题涉及知识点多，复习过程中要注意将概念进行对比理解，把握概念的实质，掌握简谐运动、机械波、机械振动、波的图像等分析解答问题的方法，特别注意简谐运动、机械波的周期性与多解性；（2）近几年，本专题考查形式以选择题为主。在复习过程中要注意题型考查方式的变化，在平时训练中要重视训练题型与高考题型的统一性，提高高考备考的效率；（3）本专题内容考查也重视与日常生产生活、现代科技相结合，如2024年江西卷第6题，2024年河北卷第6题等，因此复习备考本专题时，要侧重与实际应用相结合的题型，这应该是未来命题的方向。
【题型一】机械波的形成与传播
1.波速与振速的区别
(1)波速：波源振动几个周期，波形就向外平移性延伸几个波长，这个比值就表示了波形向外平移性延伸(或振动能量向外传播)的速度，即波速。波速的大小与介质有关，与波源的振动频率无关，波在同一均匀介质中的传播是匀速的。
(2)振速：质点的振动速度，即为振速。波动中各质点都在平衡位置附近做周期性振动，即做变速运动，振速周期性变化。振速与质点偏离平衡位置的位移有关。
2．机械振动与机械波的区别和联系
名称 项目 机械振动 机械波
区别 运动 特点 机械振动是单个质点以平衡位置为中心所做的往复运动 机械波是介质中大量质点依次发生受迫振动而形成的“集体运动”
产生 原因 机械振动是质点受到回复力作用的结果 机械波是从波源处开始，由近及远，介质中质点依次施力带动相邻质点发生受迫振动形成的
能量 变化 情况 机械振动过程中，动能和势能不断地相互转化，总机械能守恒 波源将能量传递给相邻质点，相邻质点再将能量传递给它的相邻质点，由近及远，每个质点在不断地吸收和放出能量，从而把波源的能量传播出去，是一个能量的传播过程
联系 (1)机械波是机械振动在介质中传播形成的； (2)机械波的周期等于介质中质点机械振动的周期； (3)有机械振动不一定有机械波，但有机械波一定有机械振动； (4)波源停止振动后，介质中的机械振动并不立即停止传播，而是继续向远处传播，直到振动能量全部损耗完
3.波的传播过程中的特点
(1)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf。
(2)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
(3)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变。
(4)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反。
4．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
方法解读 图像演示
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧” 法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平 移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
【例1】（多选）为了理解绳波的传播特点，某同学拿着绳子左侧上下做简谐运动，某时刻绳波的图像如图所示，a、b为绳波中的两质点。关于该绳波，下列说法正确的是（ ）
A．该绳波为纵波
B．a质点的加速度正在增大
C．b质点振动速度正在增大
D．若波源振动加快，则波长将减小
【答案】CD
【详解】A．该绳波振源的振动方向与波的传播方向垂直，可知绳波为横波，选项A错误；
B．根据“同侧法”可知，a质点正在向平衡位置振动，可知加速度正在减小，选项B错误；
C．根据“同侧法”可知，b质点正在向平衡位置振动，则振动速度正在增大，选项C正确；
D．若波源振动加快，则频率变大，周期减小，而波速不变，根据
则波长将减小，选项D正确。
故选CD。
1．机械波的特点 (1)介质依存性：机械波离不开介质。 (2)能量信息性：机械波传播的是振动的形式、能量和信息。 (3)传播不移性：在传播方向上，各质点只在各自平衡位置附近振动，并不随波迁移。 (4)时空重复性：机械波传播时，介质中的质点不断地重复着波源的振动形式。 (5)周期、频率同源性：介质中各质点的振动周期、频率均等于波源的振动周期、频率，且在传播中保持不变。 (6)起振同向性：介质中各质点开始振动的方向与波源开始振动的方向相同。 2．计算波速的两种思路 (1)速度的定义：v＝，Δx表示波向前传播的距离，Δt表示波传播Δx所用的时间。 (2)波速与波长、频率(周期)的关系：v＝λf＝，f、T由波源决定，v由波的性质和介质决定。
【例2】（多选）在某次关于波的形成与传播的演示实验中，一振针O垂直于水面做简谐运动，所激发的水波在水面向四周传播。图甲为该波在时的图像，实线圆与虚线圆分别表示波峰与波谷所在位置，相邻两个实线圆之间仅有1个虚线圆，P点在实线圆上，Q点在虚线圆上，N点到其相邻两圆距离相等，相邻实线圆与虚线圆的间距为。介质中某质点的振动图像如图乙所示，取垂直纸面向外为正方向。下列说法正确的是（ ）
A．该波的波速为 B．图甲中P和Q两处质点振动的相位差为π
C．图甲中N处质点在该时刻速度方向垂直纸面向里 D．图乙一定是N处质点的振动图像
【答案】BC
【详解】A．由题图甲可知，该波波长为，由题图乙可知，该波的周期，所以该波的波速为
故A错误；
B．题图甲中P和Q两处质点到波源的距离之差为半个波长，则相位差为，故B正确；
C．由题图甲可知，再经过，波谷传播到N点，N处质点将处于波谷，则图甲时刻N处质点的速度方向垂直纸面向里，故C正确；
D．题图乙中质点在时刻速度方向为垂直纸面向外，则题图乙不是N处质点的振动图像，故D错误。
故选BC。
【变式1】一列简谐横波沿轴正方向传播，时刻，处的质点和处的质点均处于平衡位置，质点、间只有一个波峰，且波峰的位置在和之间，质点的振动图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．时刻，质点正向下振动
B．波传播的速度大小为
C．质点比质点振动滞后
D．当质点在平衡位置向下振动时，间有两个波峰
【答案】D
【详解】B．由图乙可知，，时刻，质点正向下振动，已知波沿轴正方向传播，质点均在平衡位置，且质点间只有一个波峰，则有
得
波速
故B错误；
A．质点与相距1.5个波长，因此点与点振动相反，即时刻，质点正向上振动，故A错误；
C．由于波沿轴正向传播，因此质点比质点振动超前
故C错误；
D．当质点在平衡位置向下振动时，、间将有两个波峰，一个波谷，故D正确。
故选D。
【变式2】（多选）如图所示，简谐横波在均匀介质中以的速度沿轴正方向传播，先后通过平衡位置间距为的两个质点，以波刚传播到质点时作为计时起点，质点的振动方程为。下列说法正确的是（ ）
A．质点的振幅为10cm
B．简谐横波的波长为
C．内质点通过的路程为
D．时，间有三个波峰
【答案】AD
【详解】A．根据质点的振动方程可知，该质点的振幅为10cm，选项A正确；
B．简谐横波的周期
波长为
选项B错误；
C．从M传到N的时间为
内质点振动t=2s=5T
通过的路程为
选项C错误；
D．因MN=2.5λ，时，M点在平衡位置向下振动，可知间有三个波峰，选项D正确。
故选AD。
【变式3】（多选）如图甲，湖泊水面上有一列浮球，用来警示过往船只注意安全。图乙为简化俯视图，所有浮球等间距排成一条直线，水面上的O点垂直于水面xOy持续沿z轴振动，形成了沿水面传播波长的水波。当所有浮球全部振动后开始计时，以竖直向上为z轴正方向，其中浮球A、B的振动图像如图丙所示，已知，，。则（ ）
A．时，1号浮球位于平衡位置下方且沿z轴正向运动
B．时，6号浮球位于平衡位置上方且沿z轴负向运动
C．时，1号浮球与2号浮球都位于平衡位置的上方且运动方向相反
D．时，5号浮球与6号浮球都位于平衡位置的上方且运动方向相反
【答案】AC
【详解】A．由于，，由图可知A球的振动比B球振动落后，则
又
所以
，
设两浮球之间的距离为，则
相邻两浮球与O点距离差小于，1号浮球比A浮球振动滞后，由于时，A浮球位于平衡位置且沿z轴正向运动，则时，1号浮球位于平衡位置下方且沿z轴正向运动；故A正确；
B．6号浮球比B浮球振动滞后，由于时，B浮球位于波峰，时，6号浮球位于平衡位置上方且沿z轴正向运动，故B错误；
C．时，A浮球位于波峰位置，2号浮球比A浮球振动超前，时，1号浮球位于平衡位置的上方且沿z轴正向运动，2号浮球都位于平衡位置的上方且运动方向相反沿z轴负向运动，故C正确；
D．时，B浮球位于平衡位置且沿z轴负向运动，5号浮球比B浮球振动超前，5号浮球位于平衡位置下方且沿z轴负向运动，6号浮球都位于平衡位置的上方且沿z轴负向运动，故D错误。
故选AC。
【题型二】波动图像及其与振动图像的综合应用
波动图像和振动图像的比较
振动图像 波动图像
研究 对象 一振动质点 沿波传播方向的所有质点
研究 内容 一质点的位移随时间的变化规律 某时刻介质中所有质点的空间分布规律
图像
物理 意义 表示同一质点在各时刻偏离平衡位置的位移 表示介质中的各个质点在某一时刻偏离平衡位置的位移
图像 信息 (1)质点振动周期； (2)质点振幅； (3)质点在各时刻偏离平衡位置的位移； (4)质点在各时刻速度、加速度的方向 (1)波长、振幅； (2)任意一质点在该时刻偏离平衡位置的位移； (3)任意一质点在该时刻的加速度方向； (4)已知波的传播方向，可判断介质中各质点的振动方向；已知介质中某一质点的振动方向，可判断波的传播方向
图像 变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，波形沿传播方向平移
连续重复 的最短完 整曲线占 横坐标的 距离 表示一个周期 表示一个波长
【例1】（多选）波源发出一列向右传播的简谐绳波。时波源开始振动，其位移随时间变化的关系如图所示，则一段时间后在绳上形成的波形可能正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由波源的振动图像可知，时波源开始向上振动，可知波传到某个质点时，质点起振方向向上，若振源振动一个周期，只让波形图为B；若波源振动，则波形图为C。
故选BC。
求解波动图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
【例2】青蛙在平静的水面上鸣叫时引起水面振动，形成如图甲所示的水波（把水波当成横波处理）。假设原点O处为青蛙所在位置，O处的波源垂直平面振动后，产生的简谐横波在平面内传播。实线圆、虚线圆分别表示时刻相邻的波峰和波谷，此时图甲中的A点第一次达到最大位移处，图乙为图甲中质点B的振动图像，z轴垂直于水平面且z轴的正方向为竖直向上，下列说法正确的是（ ）
A．质点B的振动方程为
B．波在水中的传播速度大小为0.5m/s
C．1s时波峰刚好传播到C点
D．C点第10次到达波峰的时刻为1.1s
【答案】B
【详解】A．由图乙可知周期，所以，图中B点振动方程为
故A错误；
B．实线圆、虚线圆分别表示时刻相邻的波峰和波谷，由图甲可知
则波在水中的传播速度
故B正确；
C．根据题意可知O处此时处于波峰位置，且
实线圆传递到C点的时间
故C错误；
D．C点第10次到达波峰的时刻，故D错误。
故选B。
【例3】“波”字最早用于描述水纹起伏之状，唐代诗人有“微风动柳生水波”的描述，水波可看成简谐横波。一列沿x轴负方向传播的水波在时刻的波形如图所示，此时波刚好传播到平衡位置为的P点，Q点是波上平衡位置为的质点，在时刻，Q点（在时刻后）首次位于波峰位置。
求：
（1）该列波的传播速度v；
（2）质点Q的振动方程；
（3）时刻后，质点P和质点Q第三次位移相同的时刻。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）时刻，质点Q右端最近的波峰的平衡位置
时间内，处的振动形式传播至Q点，则
解得
（或）
（2）质点Q的振幅
（或）
设简谐横波的周期为T，则
质点Q的圆频率
设质点Q的初相位为，根据题意有
则质点Q的振动方程为
（3）根据题意可知，质点P的振动方程为
质点P、质点Q第三次位移相同时
解得
【变式1】（多选）如图所示，图甲为一列简谐横波在时刻的波形，其中质点P坐标为，质点Q坐标为，图乙为质点Q的振动图像，图中M点坐标是，则关于波的传播和质点的振动，下列说法正确的为（ ）
A．该简谐横波的传播方向沿x轴负方向
B．由波动图像可得该简谐横波的波长为
C．结合波动图像和振动图像可得该简谐横波的传播速度
D．结合波动图像和振动图像可得点P的振动方程
【答案】AC
【详解】A．根据质点Q的振动图像可知，t=0时质点Q沿y轴正向运动，可知该简谐横波的传播方向沿x轴负方向，选项A正确；
B．由波动图像可得
该简谐横波的波长为
选项B错误；
C．由振动图像可知
则T=6s可得该简谐横波的传播速度
选项C正确；
D．设P的振动方程
当t=0时，即
可得P的振动方程
选项D错误。
故选AC。
【变式2】（多选）某简谐横波在时刻的波形图如图1所示，平衡位置在处的质点的振动图像如图2所示，其余数据图中已标出，下列说法正确的是（ ）
A．该波沿轴负方向传播
B．该波的波速是
C．时刻处质点位于平衡位置
D．平衡位置在的质点从0时刻开始经过走过的路程是27cm
【答案】BCD
【详解】A．由振动图像图乙可知，时刻平衡位置在处的质点振动方向沿轴正方向，结合图甲由微平移法可知该简谐波沿轴正方向传播，故A错误；
B．设时刻的波形图对应的函数表达式为
由图甲可知，
当时，
代入得
解得
当时，
代入得
解得
由图乙可知
所以该波的波速为
故B正确；
C．设时刻开始处质点的振动方程为
当时刻，
代入得
解得
故时刻开始处质点的振动方程为
当时刻，
即时刻处质点位于平衡位置，故C正确；
D．由图乙可知，从0时刻开始平衡位置在的质点的振动方程为
当时刻，
故平衡位置在的质点从0时刻开始经过走过的路程是
故D正确。
故选BCD。
【变式3】（多选）一列简谐横波沿x轴正方向传播，此波在某时刻的波形图如图甲所示。质点M的平衡位置在处，质点N的平衡位置是处。质点N从时刻开始振动，其振动图像如图乙所示。此波传播到达平衡位置为处的质点Q时，遇到一障碍物（未画出）之后立刻传播方向反向，反射波与原入射波在相遇区域发生干涉，某时刻两列波部分波形如图丙所示。则下列说法中正确的是（ ）
A．图甲时刻波刚好传播到N点，波速为20m/s
B．从到，质点M通过的路程大于15cm
C．时，质点N的位移为0
D．足够长时间后，O、Q之间有5个振动加强点（不包括O、Q两点）
【答案】BD
【详解】A．质点N从t=0时刻开始振动，由振动图像可知此时质点N向上振动，由波形图可知图示时刻，N点向下振动，则图甲时刻波并非刚好传播到N点；由图可知波长为4m，周期为0.2s，波速为
20m/s
故A错误；
B．因t=0时刻质点N在平衡位置沿y轴正向振动，可知t=0时刻质点M在x轴下方沿y轴负向振动，速度减小，从开始，M点处于y轴负方向，且此时向上向平衡位置振动，速度变大，则从到经历了0.15s，即，则质点M通过的路程大于
故B正确；
C．根据振动图像可知时，质点N在最大位移处，故C错误；
D．振动加强点到两波源的距离差满足
由题意可知
解得，，，共有5个振动加强点，故D正确。
故选BD。
【题型三】波的多解问题
1.造成波的多解问题的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
如：a.只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
b．只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。
c．只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。
2．解决波的多解问题的一般思路
(1)首先考虑是否存在多解，若存在多解，分析造成多解的原因，从双向性、周期性分别进行考虑。
(2)对于双向性问题，两个方向对应的情形都要分别考虑。对于周期性因素造成多解的情况，一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内Δt或Δx满足条件的关系，若为时间关系，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若为距离关系，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
(3)注意题目是否有其他限制条件，如波的周期、波长、波速有限定，求出符合限定条件的解。
【例1】（多选）图甲为某同学利用跳绳模拟战绳训练，该同学将绳子一端固定在杆上，用手上下甩动另一端。图乙为绳上P、Q两质点的振动图像，P、Q两质点平衡位置相距5m。波由P向Q传播。下列说法正确的是（ ）
A．增大甩动的频率，则波在绳子上传播速度增大
B．t=0.5s时，P、Q质两点振动方向相同
C．波长可能为0.6m
D．波速可能为
【答案】BD
【详解】A．波的传播速度只和介质有关，所以增大甩动的频率，则波在绳子上传播速度不变，故A错误；
B．由图乙可知，t=0.5s时刻，P、Q质两点振动方向相同，故B正确；
C．根据题意可知（n=0，1，2……）
所以（n=0，1，2……）
当波长为0.6m时，n不能取整数，故C错误；
D．波速为（n=0，1，2……）
当波速为，则
故D正确。
故选BD。
【例2】（多选）一只青蛙从一片荷叶跳入平静的湖水中，平静的水面以青蛙的入水点开始上下做简谐运动，在水面上激起一层涟漪。青蛙入水不远处的水面上有两片树叶，其振动图像分别为图中的a、b所示。已知水波的波长为0.4m，两片树叶在入水点的同侧且与入水点在一条直线上，则两片树叶之间的距离可能为（ ）
A．0.4m B．0.5m C．0.6m D．0.7m
【答案】BD
【详解】题意可知0时刻a波在波谷，b波在平衡位置，且波长均为，若波从b向a传播，则两片树叶之间的距离满足（n=0，1，2，3，...）
整理得（n=0，1，2，3，...）
n=0、1、2时，x分别为0.1m、0.5m、0.9m
若波从a向b传播，则两片树叶之间的距离满足（n=0，1，2，3，...）
整理得
（n=0，1，2，3，...）
n=0，1，2时，x分别为0.3m、0.7m、1.1m
故选BD。
【例3】（多选）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，时刻的波形为图中实线，的波形为图中虚线。下列说法正确的是（ ）
A．如果波沿x轴正方向传播，波的周期为1.2s
B．如果波沿x轴负方向传播，波的周期可能为
C．如果波速为0.2m/s时，波沿x轴正方向传播
D．如果波速为2.6m/s时，波沿x轴负方向传播
【答案】BC
【详解】AB．由波形图可知，如果波沿x轴正方向传播，在0.1s内波传播的最小距离为，时间为，则
可得（n=0、1、2、3……）
如果波沿x轴负方向传播，则
可得（n=0、1、2、3……）
当n=1时波的周期为，选项A错误，B正确；
CD．若波沿x轴正向传播，则波速（n=0、1、2、3……）
当n=0时v=0.2m/s，即如果波速为0.2m/s时，波沿x轴正方向传播；当n=1时v=2.6m/s，波沿x轴正方向传播；选项C正确，D错误。
故选BC。
【变式1】如图甲所示，a、b为沿x轴传播的一列简谐横波上的两质点，相距为s=1m。a、b的振动图像分别如图乙、丙所示。
(1)若波在介质中传播的速度为v=4m/s，求波长；
(2)若波沿x轴负方向传播，且波长大于0.7m，求可能的波速值。
【答案】(1)；(2)或5m/s
【详解】（1）由振动图像可知，波的振动周期
波长
（2）若波沿着轴负方向传播，则间距离
由于，可以取0，1，对应波长
或
则波速为
或
【变式2】在平面直角坐标系中轴上有一振源，产生的简谐波沿轴传播，、是轴上的两个质点，从质点第一次达到波峰开始计时，、两质点的振动图像分别如图甲、乙所示，已知、平衡位置间距离为且在的右侧，的横坐标为，该简谐波的波长大于时波源位于平衡位置，波源起振方向竖直向上。
(1)求该简谐波的波速；
(2)若波源在质点的左侧，求内，平衡位置在处的质点通过的路程。
【答案】(1)或；(2)或
【详解】（1）由振动图像可知，该简谐波的周期为；由于、两质点间的距离小于波长。
①当波源在的左侧时，时刻、间的波动图像如图1所示
可知该情况下波的波长为
波速为
②当波源在的右侧时，时刻、间的波动图像如图2所示
可知此情况该波的波长为
波速为
③当波源在、之间时，时刻、间的波动图像如图3所示
可知此情况该波的波长为
波速为
（2）当波源在的左侧时，时刻该波恰传播到处，则该波从传播到点所用时间为
可知时刻到时刻质点振动了，经过的路程为
当波源在、之间时，时刻波恰传播到处则该波从传播到所用时间为
可知时刻到时刻质点振动了，经过的路程为
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