八年级数学下册试题 1.1 等腰三角形小节复习题--北师大版（含解析）

1.1 等腰三角形小节复习题
【题型1 利用等边对等角求解】
1.如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
2.某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
3.如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（）
A． B． C． D．
4.如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
1.如图，已知，点，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
2.如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
3.如图，已知，，，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)已知 ，求证：．
4.在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．

(1)如图1，当点D在线段上，且．
①证明：；
②证明：平分．
(2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【题型3 利用三线合一求解】
1.如图所示，在中，，于点，，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．
2.如图，在中，，点D为边的中点，连接，的平分线交于点E，已知．求和的度数．

3.如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．

(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
4.如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点．
(1)当时，
①若，则点到的距离为________；
②若，，求的周长；
(2)若，且的面积为40，求周长的最小值．
【题型4 利用三线合一证明】
1.如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，．
(1)求证：是的中点；
(2)求证．
2.如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 ___________．
3.如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ．
(1)求证：；
(2)问： 与 的位置关系并证明．
4.已知：如图，在中，，，于点，将沿折叠，使点A落在直线上的点处，是的平分线，交于点，交于点，连接．

(1)吗？为什么？
(2)试说明垂直平分．
【题型5 格点中画等腰三角形】
1.如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
2.在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
3.如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．
4.图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【题型6 找出图中的等腰三角形】
1.如图，在中，，的垂直平分线交于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．
3.如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．

(1)求证：；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
4.如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
1.如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形．
2.如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形．
3.如图，，点分别在，上，以，为边在内作等边三角形，，连接并延长交于点，求证：．
4.如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
1.如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）

A．50 B．55 C．60 D．65
2.如图，，，交于F，交于点E，求证：．
3.如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ．
4.已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且．
求证：
(1)；
(2)．
【题型9 尺规作等腰三角形】
1.如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
2.如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
3.如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
4.证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
1.如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个．
2.如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.
4.如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
参考答案
【题型1 利用等边对等角求解】
1.B
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
2.D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：设原来，则
∵，
∴，
∴，
增大后，，
∴，
∴，
∴，
∴的变化情况是减小，
故选：D.
3.A
【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得，
设，得出，再由等腰三角形的性质得．再由直角三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：与关于对称，
，
设．
，
在中，，
．
又，
，
，
故选：A
4.
【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出．
【详解】解：连接、，如图，设，
由作法得垂直平分，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
1.（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
2.（1）∵，
∴，　
又∵，，
∴；
（2）在和中
，
∴，
∴．
3.（1）∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）如图，延长到G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
4.（1）证明：① ，
，
，
在和中，
，
；
② 中，，
，
由①得，
，
，
平分．
（2）解：，
①点D在线段上，如图：

，
，
，
在和中，
，
；
，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点D在射线上时，如图：

，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
③当点D在射线上时，如图：

同理可得 ，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴；
综上所述α，β之间的数量关系为：或．
【题型3 利用三线合一求解】
1.（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
在Rt△FDC中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下：
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
2.解：∵，点D为边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在中，
，
∴．
3.（1）因为，点是的中点，
所以，所以是的垂直平分线，
所以，
因为是的垂直平分线，所以，
所以；
（2）因为，点是的中点，
所以平分，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
4.（1）①解：∵，是的中点；
∴处垂直平分；
连接；
∵；
∴，，三点共线；
即平分；
∵，；
∴到的距离为1．
②解：由题可知；
∵；
∴；
∴是等边三角形；
∵；
∴；
∴周长为18．
（2）解：∵；
∴；
∵垂直平分；
连接；
∴；
即;
∵；
∴；
即只需求出长即可；
∵；
∴=10；
∴周长的最小值为．
【题型4 利用三线合一证明】
1.（1）证明：连接，
∵是的中线，
∴是的中线，
∵是高，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是的中点；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2.（1）证明：连接，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
为线段的中点，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知，，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
3.（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴ ；
（2），理由：
∵，
∴，
又∵平分，
∴．
4.（1）解：，，，，
，
将沿折叠，使点落在直线上的点处，
是的平分线，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，，，
，
即，
，
是的平分线，
垂直平分．
【题型5 格点中画等腰三角形】
1.B
【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，
综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，
故选：B．
2.（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）．
3.解：如图，
……
[答案不唯一]
4.（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图所示：
【题型6 找出图中的等腰三角形】
1.B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法，
根据两边相等的三角形即可等腰三角形即可解答
【详解】解：
,
是等腰三角形；
垂直平分线交
是等腰三角形；
,
是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数是3个，
故选：B
2.3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．
【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，
，
，
∴都是等腰三角形；
故答案为：3．
3.（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵由（1）可得
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有、．
4.C
【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形.
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=BD．
∴△ABD是等腰三角形．
∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED
∴AC=AE
∴△CDE、△ACE是等腰三角形；
∵AC=AE，∠BAC=60°，
∴∠ACE=60°，
∵，
∴∠BCE=30°
∴∠BCE=∠B
∴△CEB是等腰三角形
所以此图中有4个等腰三角形．
故选C．
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
1.证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
2.∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
3.证明：依题意是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
4.（1）解：证明：在中，，，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形．
（2），
证明：延长至，使，连接，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
1.B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过E作于M，

平分，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
2.证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
3.
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等，与两个角平分线，列出相等的角，通过等角对等边，可得到两个等腰三角形，代入已知线段长度，即可求解，解题的关键是：通过平行与角平分线的条件，推导出等腰三角形．
【详解】解：，
，，
又和的平分线分别交于点、，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
4.（1）证明：连接，如图所示：
∵，且，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在和中
，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【题型9 尺规作等腰三角形】
1.解：如图所示，即为所求．
2.解：如图，即为所求作的等腰三角形．
3.解：①为含角的直角三角形，
①为含角的直角三角形．
4.如图，即为所求作的三角形．
已知：如图，中，．
求证：．
证明：法一：作的平分线，交于点
在和中
．
法二：取的中点为，连接．
在和中
法三：过点作于点
在和中
．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
1.
【分析】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形．
【详解】解：①点在上时，
当时，
∵，，
∵，
∴，
∴,
∴；
当时，；
当时，；
②当点在上时，
存在，
综上，使为等腰三角形的点P有个，
故答案为：．
2.D
【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可．
【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线，
∴当P在l上时满足PA=PB，
作BC的中垂线交l于，满足；
作BP=BC与l交于、两点，满足，；
作CP=BC与l交于、两点，满足，；
满足题意的点P共5个，
故选：D．
3.6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解．
【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有；
第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P；
故符合条件的点P有6个点．
故答案为：6．
4.C
【分析】以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，
以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，
∴直线m上存在4个点C，使为等腰三角形，
故选：C．