秘籍01力与物体的平衡
【解密高考】
【题型一】动态平衡问题（押题型）
【题型二】 受力分析与静态平衡问题
【题型三】 平衡中的临界和极值问题
【误区点拨】
共点力平衡中的临界极值问题
：平衡问题是高考热点知识点，新高考注重情景化试题，平衡问题经常与实际生产、生活（包括电磁学）中的情景相结合，通常需要考生从实际情景中提取相关信息且进行模型建构，选取正常的研究对象，进行受力分析，根据平衡列方程求解；或找出其临界条件，通过平衡条件求解情景问题中的极值。通常需要与数学相关知识相结合。
：根据新高考物理命题的趋势，平衡问题往往需要考生对实际生产、生活、中国传统文化、现代科技的工具构造和其工作原理有所了解，最起码需要考生对上述工具构造有一定的了解，考生在考场上见到此类问题才不至于太陌生，教师在冲刺阶段应重视起来且适当引导学生。
【题型一】动态平衡问题
【例1】（多选）如图甲所示，我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图，三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为。图丙为截面示意图，弧形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离和瓦的半径都为，盖瓦和底瓦形状相同，厚度不计，质量均为、最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取，在无扰动的情况下，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅铺设这三片瓦进行研究，则（ ）
A．底瓦与椽子间的动摩擦因数
B．底瓦与椽子间的动摩擦因数
C．适当增大两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑
D．适当减小两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑
求解集合的基本运算问题需掌握“3种技巧”(1)先确定好研究对象并对其正确受力分析； （2)分析其受力特点：若为“一恒一定向”即一个力为恒力，一个力方向确定——“图解法”（技巧：不转的力随两变力夹角的增大而增大，减小而减小、当两变力垂直时，转动的力最小）；若为“两变力恒定夹角“——辅助圆法（技巧：“你平我大”—两变力中其中一个力水平，另一个达最大）；若为“两变力一般变化——正交分解法或矢量合成法。
【例2】（多选）如图所示，地面上方空间中存在水平向左的匀强电场E，两根竖直的绝缘杆之间有一条绝缘轻绳系于A、B两点，一个带正电的小球通过光滑挂钩悬挂在轻绳上，小球处于静止状态。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．将B点沿杆上移，绳上拉力变小
B．将B点沿杆下移，绳上拉力大小保持不变
C．将右侧杆右移，绳上拉力增大
D．将右侧杆左移，绳上拉力增大
【变式1】如图所示，送水工人用特制的推车运送桶装水，到达目的地后，工人通过调节挡板OA转动可将水桶卸下。若桶与接触面之间的摩擦不计，∠AOB为锐角，OA、OB对水桶的弹力大小分别为、。若保持OB不动，调节挡板OA，使OA绕O点由竖直缓慢转到与OB垂直的过程，下列说法正确的是（ ）
A．水桶受到的合力变小 B．先减小后增大
C．一直增大 D．、都一直减小
【变式2】“篮球夹背”是考验两人协作能力的游戏，两人背对背、手挽手，背上夹着球，从起点跑到终点，在球不掉落的情况下，最先完成的即获胜。如图甲所示，两位同学夹着篮球匀速前进，开始时两位同学的背之间的夹角为锐角。其模型可简化为图乙，篮球夹在两个平面之间。若忽略篮球受到的摩擦力和空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．若左右两位同学的背与竖直方向的夹角均减小，则篮球所受两位同学的合力增大
B．若仅左边同学的背与竖直方向的夹角增大，则左边同学对篮球的作用力增大
C．若仅右边同学的背与竖直方向的夹角增大，则左边同学对篮球的作用力增大
D．若仅左边同学的背与竖直方向的夹角增大，则右边同学对篮球的作用力减小
【变式3】如图所示，质量为的小球用轻绳、连接，端固定，在端施加拉力，使小球静止。开始时处于水平状态，现把小球向右上方缓慢拉起至绳水平，在整个运动过程中始终保持与的夹角不变。下列说法正确的是（ ）
A．拉力先变大后变小 B．上的拉力先变小后变大
C．拉力的最大值为 D．上的拉力的最小值
【题型二】 受力分析与静态平衡问题
静态平衡问题基本思路：
主要典型题：1.受力分析;2.共点力平衡条件的应用；3.电磁场中的平衡问题。
【例1】如图甲所示，“张弦梁”是新型自平衡空间结构体系，被广泛应用于建筑当中。图乙是该结构的简化模型，质量分布均匀的水平横梁架在两根立柱上，两根等长的柔性拉索的一端分别连接横梁的两端，拉索的另一端连接竖直支撑杆的下端，支撑杆的上端顶在横梁的中央处。设水平横梁的质量为M，竖直支撑杆的质量为m，两根柔性拉索形成的夹角为，两根拉索的张力均为（拉索的质量忽略不计），重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．横梁对支撑杆的作用力大于支撑杆对横梁的作用力
B．横梁受到立柱沿水平指向横梁中央的摩擦力作用
C．横梁一端受立柱的支持力大小为
D．支撑杆对横梁的作用力大小为
【例2】平衡术对人的观察能力和动手能力要求较高，极其锻炼人的耐心。小强同学在海边堆放了一些石块，如图所示，石块A、B的接触面水平，不计空气的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．最上面的石块D一定只受两个力作用
B．心形石块E一定不受摩擦力作用
C．石块C可能受到6个力的作用
D．石块B对石块A的作用力方向一定竖直向上
【例3】卖货郎是旧时民间在农村或城市小巷流动贩卖日用杂货的商贩，通常肩挑货担走街串巷，摇鼓叫卖，唤人们出来购货。如图所示，假设卖货郎的每个货筐是质量为M的立方体，每个货筐由四条轻绳对称悬挂于扁担上同一点，则卖货郎肩挑扁担匀速直线前进时，下列说法正确的是（ ）
A．每条轻绳中的拉力大小为
B．每个货筐上四条轻绳中的拉力相同
C．若将货筐上的四条轻绳减小同样长度但仍对称分布，则每条轻绳中的拉力将变大
D．若将货筐上的四条轻绳减小同样长度但仍对称分布，则卖货郎承受的压力将变大
【变式1】图1为某款瓜子去壳器，瓜子置于两圆柱体间的凹槽中，向下按压瓜子便可去壳。图2为其剖面简图，将瓜子视为等腰三角形，顶角为，竖直向下的作用力大小为F，不计瓜子自重及摩擦，若设瓜子对两边圆柱体的作用力大小为，则（ ）
A． B．
C．增大两圆柱体的间距，减小 D．增大两圆柱体的间距，N增大
【变式2】天平是实验室中测量质量的重要仪器。在学完共点力平衡后，小明设计了一款质量测量装置如图甲所示，OA、OB为不可伸长的等长轻绳，悬挂于竖直杆的顶端O，不可压缩的轻杆AB为刻度尺，OAB可绕O点无摩擦在竖直平面内转动。现在B端挂上标准砝码，质量为m0，A端挂上待测物体，如图乙所示，此时竖直杆交AB刻度尺处即为示数刻度P。不考虑竖直杆与AB间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．刻度尺AB中点的刻度为零 B．刻度尺AB上的刻度不均匀
C．待测物体的质量为 D．该装置在月球上不能使用
【变式3】如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，不带电的小球a与带正电的小球b通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，已知Ob < OC。若b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b球到达O正下方前，下列说法正确的是（ ）
A．a球的质量大于b球的质量
B．b球的轨迹是一段以C点为圆心的圆弧
C．此过程中点电荷对b球的库仑力大小不变
D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐变大
【题型三】 平衡中的临界和极值问题
常见的临界状态
(1)两接触物体脱离的临界条件是两物体间的弹力恰好为0；
(2)绳子断开的临界条件为绳中的张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力恰好为0；
(3)两物体间相对滑动的临界条件为静摩擦力达到最大静摩擦力。
常见的三种求极值的方法
(1)解析法：在解平衡方程时采用数学方法求极值．
(2)图解法：对三力平衡情境，可画出不同状态下力的矢量图，判断各个力的变化情况，所求力与另一力垂直时往往出现极值．
(3)极限法：极限法是一种处理极值问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(如“极大”“极小”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，快速求解。
【例1】如图所示，某同学在沙料场中发现沙子堆积时会形成圆锥体，且堆积过程中圆锥体的底角保持不变。他测得某堆沙子的底部周长约为62.8 m，查阅资料发现沙子之间的动摩擦因数约为0.6，若沙子间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则这堆沙子的体积约为（ ）
A．628m3 B．472m3 C．314m3 D．157m3
【变式1】如图所示，轻质滑轮固定在水平天花板上，动滑轮挂在轻绳上，整个系统处于静止状态，轻绳与水平方向的夹角θ，不计摩擦。现将绳的一端由Q点缓慢地向左移到P点，则（ ）
A．θ角不变，物体上升
B．θ角不变，物体下降
C．θ角变小，物体上升
D．θ角变小，物体下降
【变式2】如图所示，粗糙斜面置于粗糙水平地面上，轻绳跨过光滑的定滑轮，一端悬挂物块，另一端与斜面上的物块相连，滑轮左侧的轻绳与斜面平行，整个装置保持静止状态。已知物块的质量为，物块的质量为，斜面倾角，物块与斜面之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，下列说法正确的是（ ）
A．地面对斜面的摩擦力大小为12
B．斜面对物块的摩擦力大小为12
C．若剪断轻绳，则地面对斜面的摩擦力大小为0
D．若剪断轻绳，则斜面对物体的摩擦力大小为6.4
易错点：共点力平衡中的临界极值问题
1.临界或极值条件的标志
有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
2.解决动力学临界、极值问题的常用方法
极限分析法 一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端（“极大”、“极小”、“极右”、“极左”等），从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
假设分析法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。
数学极值法 通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系或画出函数图像，用数学方法求极值如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。
物理分析方法 根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例 （多选）某个同学玩夹盒子的游戏，手握两块木板，两木板间夹起盒子，如图所示，已知木板与盒子之间的动摩擦因数为0.5，盒子与盒子之间的动摩擦因数为0.6，每个盒子重约为G=5N，该同学两手可以给木板提供的水平压力都为FN=60N，则下列说法正确的是（ ）
A．该同学最多可以夹起16个盒子
B．该同学最多可以夹起12个盒子
C．若该同学夹起9个盒子，则第五个和第六个盒子之间的摩擦力为2.5N
D．无论该同学夹起多少个盒子，最边上的盒子最易滑落
变式1：如图所示，轻绳的一端连接物块，另一端通过光滑的轻滑轮与斜坡上的小盒连接，轻绳与斜坡的上表面平行，、均处于静止状态。现向盒内缓慢加入适量砂粒，此过程中、一直保持静止。则斜面对的（ ）
A．摩擦力一定增大 B．摩擦力可能不变
C．作用力一定增大 D．作用力可能先减小后增大
变式2：如图所示，某同学用绳拖一木箱在水平地面上匀速直线运动，绳与水平方向的夹角为0，木箱与地面之间的动摩擦因数为。保持木箱的运动状态不变，夹角从0逐渐增大到90°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力一直减小 B．绳的拉力一直增大
C．绳的拉力先减小后增大 D．绳的拉力先增大后减小
变式3：如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加外力F（重力加速度为g），则下列说法中正确的是（ ）
A．AC绳的拉力为 B．CD绳的拉力为
C．外力F的最小值为 D．外力F的最小值为
(1)共点力平衡中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。 (2)由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。
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【解密高考】
【题型一】动态平衡问题（押题型）
【题型二】 受力分析与静态平衡问题
【题型三】 平衡中的临界和极值问题
【误区点拨】
共点力平衡中的临界极值问题
：平衡问题是高考热点知识点，新高考注重情景化试题，平衡问题经常与实际生产、生活（包括电磁学）中的情景相结合，通常需要考生从实际情景中提取相关信息且进行模型建构，选取正常的研究对象，进行受力分析，根据平衡列方程求解；或找出其临界条件，通过平衡条件求解情景问题中的极值。通常需要与数学相关知识相结合。
：根据新高考物理命题的趋势，平衡问题往往需要考生对实际生产、生活、中国传统文化、现代科技的工具构造和其工作原理有所了解，最起码需要考生对上述工具构造有一定的了解，考生在考场上见到此类问题才不至于太陌生，教师在冲刺阶段应重视起来且适当引导学生。
【题型一】动态平衡问题
【例1】（多选）如图甲所示，我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图，三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为。图丙为截面示意图，弧形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间，盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离和瓦的半径都为，盖瓦和底瓦形状相同，厚度不计，质量均为、最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小取，在无扰动的情况下，底瓦与盖瓦均保持静止。若仅铺设这三片瓦进行研究，则（ ）
A．底瓦与椽子间的动摩擦因数
B．底瓦与椽子间的动摩擦因数
C．适当增大两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑
D．适当减小两椽子间的距离，底瓦更不容易下滑
【答案】AC
【详解】AB．以两片底瓦和盖瓦整体为研究对象，易得这个整体的重力在垂直椽子所在平面方向上的分力为3mgcos37°，垂直椽子所在平面方向上整体处于平衡状态，可知
相邻两椽子与底瓦接触点间的距离和瓦的半径都为，根据几何关系
可得椽子与底瓦接触部位之间的弹力
在无外界干扰的情况下，为使底瓦与盖瓦不下滑，应使
解得
故A正确B错误；
C．适当增大两椽子间的距离，增大，弹力增大，最大静摩擦力增大，底瓦更不容易下滑，故C正确；
D．适当减小两椽子间的距离，减小，弹力减小，最大静摩擦力减小，底瓦容易下滑，故D错误。
故选AC。
求解集合的基本运算问题需掌握“3种技巧”(1)先确定好研究对象并对其正确受力分析； （2)分析其受力特点：若为“一恒一定向”即一个力为恒力，一个力方向确定——“图解法”（技巧：不转的力随两变力夹角的增大而增大，减小而减小、当两变力垂直时，转动的力最小）；若为“两变力恒定夹角“——辅助圆法（技巧：“你平我大”—两变力中其中一个力水平，另一个达最大）；若为“两变力一般变化——正交分解法或矢量合成法。
【例2】（多选）如图所示，地面上方空间中存在水平向左的匀强电场E，两根竖直的绝缘杆之间有一条绝缘轻绳系于A、B两点，一个带正电的小球通过光滑挂钩悬挂在轻绳上，小球处于静止状态。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．将B点沿杆上移，绳上拉力变小
B．将B点沿杆下移，绳上拉力大小保持不变
C．将右侧杆右移，绳上拉力增大
D．将右侧杆左移，绳上拉力增大
【答案】AC
【详解】AB．设小球带电荷量为q，对小球受力分析如图所示
将电场力与重力合成后等效为新的重力G′，过A、B两点作虚线与G′平行，虚线与两绳的夹角为α，设左边绳长为L1，右边绳长为L2，过A、B两点的虚线间的垂直距离为d，则有
可得
绳中的张力大小为
将B点沿杆上移，再次稳定后，A、B两点沿垂直虚线方向的距离d减小，α减小，则绳中拉力减小，同理，将B点沿杆下移，A、B两点沿垂直虚线方向的距离d增大，则绳中拉力增大，故A正确，B错误；
CD．将右侧杆右移，d增大，则绳中拉力增大，将右侧杆左移，d减小，则绳中拉力减小，故C正确，D错误。
故选AC。
【变式1】如图所示，送水工人用特制的推车运送桶装水，到达目的地后，工人通过调节挡板OA转动可将水桶卸下。若桶与接触面之间的摩擦不计，∠AOB为锐角，OA、OB对水桶的弹力大小分别为、。若保持OB不动，调节挡板OA，使OA绕O点由竖直缓慢转到与OB垂直的过程，下列说法正确的是（ ）
A．水桶受到的合力变小 B．先减小后增大
C．一直增大 D．、都一直减小
【答案】D
【详解】对水桶受力分析，如图所示
OA由竖直缓慢转到与OB垂直的过程中，水桶受到的合力为零，且F1，F2都在减小。
故选D。
【变式2】“篮球夹背”是考验两人协作能力的游戏，两人背对背、手挽手，背上夹着球，从起点跑到终点，在球不掉落的情况下，最先完成的即获胜。如图甲所示，两位同学夹着篮球匀速前进，开始时两位同学的背之间的夹角为锐角。其模型可简化为图乙，篮球夹在两个平面之间。若忽略篮球受到的摩擦力和空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．若左右两位同学的背与竖直方向的夹角均减小，则篮球所受两位同学的合力增大
B．若仅左边同学的背与竖直方向的夹角增大，则左边同学对篮球的作用力增大
C．若仅右边同学的背与竖直方向的夹角增大，则左边同学对篮球的作用力增大
D．若仅左边同学的背与竖直方向的夹角增大，则右边同学对篮球的作用力减小
【答案】D
【详解】A．由题意可知篮球处于平衡状态，则对篮球受力分析可知篮球所受两位同学的合力等于篮球的重力，故篮球所受两位同学的合力不变，故A错误；
B．若仅左边同学的背与竖直方向的夹角增大，则篮球受到两位同学作用力的夹角减小，作出篮球受力的动态矢量三角形，如图所示
可知左边同学对篮球的作用力可能减小，可能不变，也可能增大，但是右边同学对篮球的作用力一定减小，故B错误，D正确；
C．若仅右边同学的背与竖直方向的夹角增大，则篮球受到两位同学作用力的夹角减小，作出篮球受力的动态矢量三角形，如图2所示
可知左边同学对篮球的作用力减小，故C错误。
故选D。
【变式3】如图所示，质量为的小球用轻绳、连接，端固定，在端施加拉力，使小球静止。开始时处于水平状态，现把小球向右上方缓慢拉起至绳水平，在整个运动过程中始终保持与的夹角不变。下列说法正确的是（ ）
A．拉力先变大后变小 B．上的拉力先变小后变大
C．拉力的最大值为 D．上的拉力的最小值
【答案】C
【详解】AB．以小球为研究对象，小球受到重力mg、拉力F、绳子OA的拉力FT三个力的作用，三个力构成矢量三角形，如图所示
由图可知拉力F一直变大，OA上的拉力一直变小，故AB错误；
CD．拉力的最大值为
OA上的拉力的最小值
故C正确，D错误。
故选C。.
【题型二】 受力分析与静态平衡问题
静态平衡问题基本思路：
主要典型题：1.受力分析;2.共点力平衡条件的应用；3.电磁场中的平衡问题。
【例1】如图甲所示，“张弦梁”是新型自平衡空间结构体系，被广泛应用于建筑当中。图乙是该结构的简化模型，质量分布均匀的水平横梁架在两根立柱上，两根等长的柔性拉索的一端分别连接横梁的两端，拉索的另一端连接竖直支撑杆的下端，支撑杆的上端顶在横梁的中央处。设水平横梁的质量为M，竖直支撑杆的质量为m，两根柔性拉索形成的夹角为，两根拉索的张力均为（拉索的质量忽略不计），重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．横梁对支撑杆的作用力大于支撑杆对横梁的作用力
B．横梁受到立柱沿水平指向横梁中央的摩擦力作用
C．横梁一端受立柱的支持力大小为
D．支撑杆对横梁的作用力大小为
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第三定律可知横梁对支撑杆的作用力等于支撑杆对横梁的作用力，故A错误；
B．把横梁和支撑杆作为整体研究，拉索的力视为该整体的内力，可知该整体在水平方向不受立柱的摩擦力作用，故B错误；
C．把横梁和支撑杆作为整体研究，该整体在竖直方向上所受的支持力与重力平衡，根据对称性可知横梁一端受立柱的支持力大小为该整体重力的一半，即为，故C正确；
D．对支撑杆进行受力分析，根据力的平衡关系可得
根据牛顿第三定律可知支撑杆对横梁的作用力大小为，故D错误。
故选C。
【例2】平衡术对人的观察能力和动手能力要求较高，极其锻炼人的耐心。小强同学在海边堆放了一些石块，如图所示，石块A、B的接触面水平，不计空气的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．最上面的石块D一定只受两个力作用
B．心形石块E一定不受摩擦力作用
C．石块C可能受到6个力的作用
D．石块B对石块A的作用力方向一定竖直向上
【答案】D
【详解】AB．因为不知道接触面是否水平，所以最上面的石块D可能受摩擦力作用，心形石块E也有可能受摩擦力作用，故AB错误；
C．石块C最多受到重力，左右两边石块对它的两个摩擦力，两个弹力，共5个力的作用，故C错误；
D．石块A、B的接触面水平，把石块A及其上面的石块看作整体，根据二力平衡条件可知，石块B对石块A的作用力方向一定竖直向上，故D正确。
故选D。
【例3】卖货郎是旧时民间在农村或城市小巷流动贩卖日用杂货的商贩，通常肩挑货担走街串巷，摇鼓叫卖，唤人们出来购货。如图所示，假设卖货郎的每个货筐是质量为M的立方体，每个货筐由四条轻绳对称悬挂于扁担上同一点，则卖货郎肩挑扁担匀速直线前进时，下列说法正确的是（ ）
A．每条轻绳中的拉力大小为
B．每个货筐上四条轻绳中的拉力相同
C．若将货筐上的四条轻绳减小同样长度但仍对称分布，则每条轻绳中的拉力将变大
D．若将货筐上的四条轻绳减小同样长度但仍对称分布，则卖货郎承受的压力将变大
【答案】C
【详解】A．假设轻绳与竖直方向的夹角为a，根据力的平衡
每条轻绳中的拉力大小为
故A错误；
B．四条轻绳中的拉力大小相等，方向不同，故B错误；
CD．若货筐上的四条轻绳做同样缩短但仍对称分布，α增大，根据
每条轻绳中的拉力将变大，但卖货郎承受的压力保持不变，故C正确，D错误。
故选C。
【变式1】图1为某款瓜子去壳器，瓜子置于两圆柱体间的凹槽中，向下按压瓜子便可去壳。图2为其剖面简图，将瓜子视为等腰三角形，顶角为，竖直向下的作用力大小为F，不计瓜子自重及摩擦，若设瓜子对两边圆柱体的作用力大小为，则（ ）
A． B．
C．增大两圆柱体的间距，减小 D．增大两圆柱体的间距，N增大
【答案】B
【详解】AB．根据题意可知
解得
故A错误，B正确；
CD．因与两圆柱体的间距无关，故CD错误。
故选B。
【变式2】天平是实验室中测量质量的重要仪器。在学完共点力平衡后，小明设计了一款质量测量装置如图甲所示，OA、OB为不可伸长的等长轻绳，悬挂于竖直杆的顶端O，不可压缩的轻杆AB为刻度尺，OAB可绕O点无摩擦在竖直平面内转动。现在B端挂上标准砝码，质量为m0，A端挂上待测物体，如图乙所示，此时竖直杆交AB刻度尺处即为示数刻度P。不考虑竖直杆与AB间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．刻度尺AB中点的刻度为零 B．刻度尺AB上的刻度不均匀
C．待测物体的质量为 D．该装置在月球上不能使用
【答案】B
【详解】ABC．设轻杆AB上的力大小为F，由砝码与待测物体均平衡及力的三角形与几何三角形相似，可知，
联立解得
所以刻度尺AB的右端为零，左端为∞，中点为m0，刻度不均匀，故AC错误，B正确；
D．由于月球上物体仍然受到重力作用，则该装置可在月球上使用，故D错误。
故选B。
【变式3】如图所示，水平天花板下方固定一个光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一个正点电荷，不带电的小球a与带正电的小球b通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，已知Ob < OC。若b球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在b球到达O正下方前，下列说法正确的是（ ）
A．a球的质量大于b球的质量
B．b球的轨迹是一段以C点为圆心的圆弧
C．此过程中点电荷对b球的库仑力大小不变
D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐变大
【答案】D
【详解】A．对b球进行受力分析，受到轻绳的拉力T、重力和库仑力，如图所示。
由相似三角形可知
其中
，
整理可得
由于Ob < OC，因此
故A错误；
B．由不变，可知Ob不变，库仑力减小，减小，故球的轨迹是一段以O为圆心的圆弧，故B错误；
C．由于减小，可知bC也减小，此过程中b球所受库仑力减小且方向改变，故C错误；
D．滑轮受到的轻绳的作用力大小均为，大小不变，由于bC减小，可知两绳夹角减小，所以滑轮受到两绳的合力增大，故D正确。
故选D。
【题型三】 平衡中的临界和极值问题
常见的临界状态
(1)两接触物体脱离的临界条件是两物体间的弹力恰好为0；
(2)绳子断开的临界条件为绳中的张力达到最大值，绳子绷紧与松弛的临界条件为绳中的张力恰好为0；
(3)两物体间相对滑动的临界条件为静摩擦力达到最大静摩擦力。
常见的三种求极值的方法
(1)解析法：在解平衡方程时采用数学方法求极值．
(2)图解法：对三力平衡情境，可画出不同状态下力的矢量图，判断各个力的变化情况，所求力与另一力垂直时往往出现极值．
(3)极限法：极限法是一种处理极值问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(如“极大”“极小”等)，从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，快速求解。
【例1】如图所示，某同学在沙料场中发现沙子堆积时会形成圆锥体，且堆积过程中圆锥体的底角保持不变。他测得某堆沙子的底部周长约为62.8 m，查阅资料发现沙子之间的动摩擦因数约为0.6，若沙子间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则这堆沙子的体积约为（ ）
A．628m3 B．472m3 C．314m3 D．157m3
【答案】A
【详解】令圆锥体的底角为α，这堆沙子的底部周长为62.8m，则底部半径为
当动摩擦因数为时，最大静摩擦力等于重力的下滑分力，有
解得
设这堆沙子高为H，结合几何关系有
联立以上解得
则这堆沙子的体积约为
故选A。
【变式1】如图所示，轻质滑轮固定在水平天花板上，动滑轮挂在轻绳上，整个系统处于静止状态，轻绳与水平方向的夹角θ，不计摩擦。现将绳的一端由Q点缓慢地向左移到P点，则（ ）
A．θ角不变，物体上升
B．θ角不变，物体下降
C．θ角变小，物体上升
D．θ角变小，物体下降
【答案】A
【详解】ABCD.对A物体由二力平衡可得，绳的拉力等于物体重力，对滑轮由三力平衡得，绳拉力的合力不变，绳的拉力不变，故绳的夹角不变，所以θ不变，由于Q点缓慢地向左移到P点，所以绳子向左移，故A上升，故选项A正确，选项BCD错误。
故选A。
【变式2】如图所示，粗糙斜面置于粗糙水平地面上，轻绳跨过光滑的定滑轮，一端悬挂物块，另一端与斜面上的物块相连，滑轮左侧的轻绳与斜面平行，整个装置保持静止状态。已知物块的质量为，物块的质量为，斜面倾角，物块与斜面之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，下列说法正确的是（ ）
A．地面对斜面的摩擦力大小为12
B．斜面对物块的摩擦力大小为12
C．若剪断轻绳，则地面对斜面的摩擦力大小为0
D．若剪断轻绳，则斜面对物体的摩擦力大小为6.4
【答案】C
【详解】A．对物体A受力分析，根据平衡条件可得轻绳的拉力为
BC整体受力分析，根据平衡条件可得，水平方向上，地面对C的摩擦力与轻绳在水平方向的分力平衡，即
A错误；
B．对B受力分析可得
解得
B错误；
D．剪断轻绳，B受到的最大静摩擦力
故物体B静止在斜面上，此时受到的摩擦力为
D错误。
C．剪断轻绳，因B静止在斜面上，BC整体受力分析，水平方向整体不受外力，故地面对C的摩擦力为零，C正确；
故选C。
易错点：共点力平衡中的临界极值问题
1.临界或极值条件的标志
有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
2.解决动力学临界、极值问题的常用方法
极限分析法 一种处理临界问题的有效方法，它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端（“极大”、“极小”、“极右”、“极左”等），从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来，使问题明朗化，便于分析求解。临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
假设分析法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。
数学极值法 通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系或画出函数图像，用数学方法求极值如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。
物理分析方法 根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
例 （多选）某个同学玩夹盒子的游戏，手握两块木板，两木板间夹起盒子，如图所示，已知木板与盒子之间的动摩擦因数为0.5，盒子与盒子之间的动摩擦因数为0.6，每个盒子重约为G=5N，该同学两手可以给木板提供的水平压力都为FN=60N，则下列说法正确的是（ ）
A．该同学最多可以夹起16个盒子
B．该同学最多可以夹起12个盒子
C．若该同学夹起9个盒子，则第五个和第六个盒子之间的摩擦力为2.5N
D．无论该同学夹起多少个盒子，最边上的盒子最易滑落
【答案】BCD
【详解】ABD．水平方向根据受力平衡可知，木板与盒子间，盒子与盒子间的压力大小一样，由于木板与盒子之间的动摩擦因数小于盒子与盒子之间的动摩擦因数，则木板与盒子的最大静摩擦力小于盒子与盒子的最大静摩擦力，所以无论该同学夹起多少个盒子，最边上的盒子最易滑落；设该同学最多可以夹起个盒子，以个盒子为整体，竖直方向根据受力平衡可得
又
解得
故A错误，BD正确；
C．若该同学夹起9个盒子，以9个盒子为整体，竖直方向根据受力平衡可得
解得木板与盒子间的摩擦力大小为
以前5个盒子为整体，竖直方向根据受力平衡可得
解得
可知第六个盒子对第五个盒子的摩擦力大小为2.5N，故C正确。
故选BCD。
变式1：如图所示，轻绳的一端连接物块，另一端通过光滑的轻滑轮与斜坡上的小盒连接，轻绳与斜坡的上表面平行，、均处于静止状态。现向盒内缓慢加入适量砂粒，此过程中、一直保持静止。则斜面对的（ ）
A．摩擦力一定增大 B．摩擦力可能不变
C．作用力一定增大 D．作用力可能先减小后增大
【答案】C
【详解】AB．设物块P的质量为M，小盒Q的质量为m，对物块，重力Mg与拉力二力平衡；若，对小盒，则有，
当m增大时，也随之增大，只要，就继续减小，当时，摩擦力减为零，若时，则有
当m增大时，摩擦力f随之增大，AB错误；
CD．对Q受力分析可知，斜面对其作用力（即N、f的合力）与Q的重力和绳的拉力的合力平衡，而绳的拉力不变，Q的重力逐渐增大。两个力的夹角不变，故其合力增大，斜面对Q的作用力增大，C正确，D错误。
故选C。
变式2：如图所示，某同学用绳拖一木箱在水平地面上匀速直线运动，绳与水平方向的夹角为0，木箱与地面之间的动摩擦因数为。保持木箱的运动状态不变，夹角从0逐渐增大到90°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力一直减小 B．绳的拉力一直增大
C．绳的拉力先减小后增大 D．绳的拉力先增大后减小
【答案】C
【详解】对木箱受力分析如图所示。
因为木箱匀速运动，水平方向和竖直方向受力均平衡，则有
则得
其中
因为，则
当时，最大，最小，根据数学知识可知从逐渐增大到的过程中，先减小后增大。
故选C。
变式3：如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加外力F（重力加速度为g），则下列说法中正确的是（ ）
A．AC绳的拉力为 B．CD绳的拉力为
C．外力F的最小值为 D．外力F的最小值为
【答案】D
【详解】AB．令AC绳与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有
解得
对C点与重物进行分析，根据平衡条件有
，
解得
，
故AB错误；
CD．对D点进行受力分析，作出矢量动态三角形如图所示
可知，当外力F方向与绳BD垂直时，外力F最小，则有
故C错误，D正确。
故选D。
(1)共点力平衡中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。 (2)由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。
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