秘籍05 天体中的五大常考问题和三大定律的应用
【解密高考】
【题型一】开普勒定律的理解与应用
【题型二】 万有引力定律及其应用
【题型三】 天体质量和密度的估算
【题型四】卫星运行参量的分析
【题型五】天体的“追及相遇”问题
【题型六】卫星变轨问题
【误区点拨】易错点：万有引力与重力的关系
：万有引力与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船的运动问题，以及估算天体的质量和密度问题，反映物理学与现代科技的密切联系，是每年高考命题的热点。常以选择题形式出现。
：掌握天体做圆周运动所需向心力来源和处理天体运动的两大基本思路：(1)万有引力提供向心力，即G＝man。(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。及时了解我国在航天方面的最新信息。
【题型一】开普勒定律的理解与应用
【例1】我国的“神舟”系列飞船发射过程可以简化为如图所示过程，飞船发射升空后由运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，在B点与空间站实现对接，在飞船从A运动到B的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．加速度越来越小
B．机械能越来越大
C．相同时间内，与地心连线扫过的面积越来越小
D．克服引力做功的功率越来越小
【答案】A
【详解】A．根据牛顿第二定律
可得
在飞船从A运动到B的过程中，r逐渐增大，所以加速度a越来越小，故 A正确；
B．飞船在椭圆轨道上运动时，只有万有引力做功，根据机械能守恒定律，其机械能保持不变，故 B错误；
C．根据开普勒第二定律，对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等；同理可知在飞船从A运动到B的过程中，相同时间内，与地心连线扫过的面积相等，故C错误；
D．在A、B克服引力做功的功率为0，所以从A运动到B的过程中，克服引力做功的功率先变大后变小，故 D错误。
故选A。
1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 2.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。
【例2】一卫星运行轨迹投影图如图所示，它记录了卫星在地球表面垂直投影的位置变化。在一段时间内卫星绕地球沿圆周匀速飞行了三圈，其投影图依次为①、②、③，图中竖线为经线，相邻两条经线相差15°。则地球静止卫星与该卫星的轨道半径之比为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】设地球自转周期为T，即静止卫星周期为T，卫星每运行一周，地球自转角度为2×15°，则卫星运行的周期
根据开普勒第三定律
故选A。
【变式1】 如图所示，某卫星变轨后绕地球做椭圆运动，是椭圆的长轴，是椭圆的短轴，为地心，、和椭圆段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，则卫星沿顺时针方向从点运动到A点的平均速率和从A点运动到点的平均速率之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，、及段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的
设卫星沿顺时针方向从点运动到A点的时间为，从A点运动到点的时间为，根据开普勒第二定律可知
由于曲线和曲线长度相等，则卫星沿顺时针方向从点运动到A点的平均速率和从A点运动到点的平均速率之比为。
故选C。
【变式2】 中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（ ）
A．冬至时地球的运行速度最小
B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为
C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的
D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为
【答案】B
【详解】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时运行速度大，A错误；
B．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积；同理行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积，；根据开普勒第二定律，得，即速度之比为，B正确；
C．由开普勒第二定律可知，冬至附近速度快，时间短，所以周期小于公转的，C错误；
D．由万有引力公式 可知，与成反比，所以引力之比为，D错误。
故选B。
【题型二】 万有引力定律及其应用
1．万有引力的“两点理解”和“三个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
②万有引力定律的表达式F＝G适用于计算质点间的万有引力。当物体不能看成质点时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。
(2)三个推论
①推论1：两个质量分布均匀的球体之间的万有引力，等于位于两球心处、质量分别与两球体相等的质点间的万有引力。
②推论2：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
③推论3：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。
【例1】海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为（ ）
A．1∶180 B．180∶1 C．75000∶1 D．1∶75000
【答案】B
【详解】设月球质量为M，则太阳质量为，地球到月球的距离为r，则太阳到地球的距离为400r，设海水的质量为m，则月球对海水的引力
则太阳对海水的引力
则
故选B。
【例2】已知地球质量为M，月球质量为m，地月距离为L。以地心作为坐标原点，沿地月连线建立x轴，在x轴上有一个探测器。由于地球和月球对探测器的引力做功与路径无关，探测器具有与其位置相关的引力势能。仅考虑地球和月球对探测器的作用，可得探测器引力势能随位置变化关系如图所示。在处引力势能最大，k已知，下列选项正确的是（ ）
A．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，先逐渐增大后逐渐减小
B．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，一直减小
C．地球与月球的质量之比
D．地球与月球的质量之比
【答案】C
【详解】AB．设地球质量为M，月球的质量为m， 探测器的质量为，引力的合力做功与引力势能的关系
可知图线的斜率绝对值为
由图可知，图像切线斜率绝对值先减小后增大，则地球和月球对探测器作用力随探测器位置x的增大，先逐渐减小后逐渐增大，故AB错误；
CD．在处图线的切线斜率为0 ，则探测器在该处受地球和月球的引力的合力为零，即
解得地球与月球的质量之比
故C正确，D错误。
故选C。
【变式1】（多选）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．卫星运动周期是
B．卫星运动周期是
C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍
D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍
【答案】AC
【详解】AB．从图乙可知，卫星从近地点到远地点再回到近地点，万有引力完成一个周期性变化，这个过程所用时间为，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道运动的时间，所以卫星运动周期为，故A正确，B错误；
CD．根据万有引力定律
设地球与近地点间的距离为，与远地点再间的距离为
则在点
在点
将两式相比可得
即
所以地球与点间距离是地球与点间距离的倍，故C正确，D错误。
故选 AC。
【变式2】（多选）未来人类设计的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间缩短到42min。如图所示，把地球看作质量均匀分布、半径为R的球体，在不考虑地球自转的情况下，质量为m的列车（不需要引擎）从A点由静止进入隧道，从地球另一端的B点离开隧道，此过程中列车做简谐运动，所用的时间等于地球表面近地卫星周期的一半，与地心О到隧道的距离h无关，图中O'为隧道的中点，已知质量均匀分布的球壳对内部物体的引力为零，地球表面的重力加速度大小为g，物体做简谐运动的最大速度等于振幅乘以角速度，即，下列说法正确的是（ ）
A．列车的动能不超过 B．列车从A点运动到B点的时间为
C．列车在O'点受到的支持力大小为 D．列车在O'点的速度大小为
【答案】AD
【详解】A．如图所示，当列车经过地心O时动能最大，此时列车的运动为近地卫星的一个分运动（匀速圆周运动可分解为两个正交的简谐运动），列车经过地心时的速度等于第一宇宙速度，所以列车的动能不超过
故A正确；
B．在地球表面近，卫星的周期T满足
在地表附近有
联立解得
所以列车从A点运动到B点的时间为
故B错误：
C.将地球看作两部分，一部分是以O为球心，h为半径的小球，另一部分即剩余的球壳，球壳对处的引力为零，列车在点受到的支持力大小
故C错误；
D．列车在点的速度大小
选D正确。
故选AD。
【题型三】天体质量和密度的估算
1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【例1】开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测记录，发现了行星运动规律。通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量（R为行星轨道半径，T为运行周期）。如图所示，三个质量均为m的天体相距为L成一直线排列，在万有引力作用下构成一稳定的星系。该星系中有类似于开普勒第三定律中常量。已知引力常量为G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设中心天体的质量为M，万有引力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得
解得
在三星体系中，同理可得
解得
故选A。
【例2】2025年1月13日11时，我国太原卫星发射中心成功将微厘空间01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。已知卫星绕地球做圆周运动的周期为，轨道半径为；地球绕太阳做圆周运动的周期为，轨道半径为，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A． B．由、和G能求太阳的质量
C．由、和G能求太阳的质量 D．地球质量与太阳质量的比值为
【答案】C
【详解】A．开普勒第三定律是针对同一中心天体才成立，卫星绕地球运动与地球绕太阳运动的中心天体不相同，开普勒第三定律不成立，即不能够认为
故A错误；
BC．地球绕太阳做圆周运动的周期为，轨道半径为，则有
解得
故B错误，C正确；
D．卫星绕地球做圆周运动的周期为，轨道半径为，则有
解得
结合上述解得
故D错误。
故选C。
【变式1】近年来，我国空间科学创新发展驶入“快车道”。假设有一空间探测器着陆在某个类地星球表面进行观测时发现，该星球为规则球体，半径为R，自转周期为2T，其赤道上空有一颗沿圆形轨道运行的卫星，它的运行方向与类地星球的自转方向相同，公转周期为T。如图所示，某时刻，位于星球赤道上P点的探测器观测到卫星的仰角为，后，观测到卫星仰角变为。引力常量为G。根据以上信息，该类地星球的质量约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图所示
P点在内转过的圆心角，卫星转过的圆心角，由几何关系可知，为等腰三角形，则有
根据牛顿第二定律可得
联立解得
故选C。
【变式2】（多选）下表为地球与火星的数据比较表，地球与火星绕太阳的运动视做圆周运动，根据表中信息，下列说法正确的是（ ）
星球 地球 火星
与太阳的平均距离（亿km） 1.496 2.279
赤道半径（km） 6.378 3.395
公转周期 1年 1.9年
自转周期 23小时56分 24小时37分
质量（地球视为1） 1 0.11
体积（地球视为1） 1 0.15
赤道平面与公转轨道平面夹角
A．地球公转的线速度大于火星公转的线速度
B．地球公转的向心加速度大于火星公转的向心加速度
C．地球的自转角速度小于火星的自转角速度
D．地球表面的重力加速度大于火星表面的重力加速度
【答案】ABD
【详解】A．根据万有引力提供向心力，则有
解得
由于火星圆周运动的轨道半径大于地球圆周运动的轨道半径，故地球公转的线速度大于火星公转的线速度，A正确；
B．根据牛顿第二定律可得
解得
由于火星圆周运动的轨道半径大于地球圆周运动的轨道半径，故地球公转的向心加速度大于火星公转的向心加速度，B正确；
C．根据，可得
由于地球的自转周期小于火星的自转周期，故地球的自转角速度大于火星的自转角速度，C错误；
D．在星球表面，根据万有引力等于重力，则有
解得地球和火星可知地球表面的重力加速度之比为
故地球表面的重力加速度大于火星表面的重力加速度，D正确。
故选ABD。
估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。
【题型四】卫星运行参量的分析
分析人造卫星的运动规律的两条思路
(1)万有引力提供向心力，即G＝man。
(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
2．地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
物理量 推导依据 表达式 最大值 或最小值
线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值
周期 G＝mr T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min
向心加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g
轨道平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合
【例1】北京时间2025年1月7日04时00分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将实践25号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，该卫星主要用于卫星燃料补加与延寿服务技术验证。经过一个月的时间，实践25号抵达同步轨道，并成功给北斗三号G7星加注了142公斤肼类燃料，实现了全球首次卫星在轨加注燃料。若后期还要给同轨道上的另一颗卫星加注燃料，加注前两卫星的位置如图所示，则是要想实现加注燃料，对实践25号星操作正确的是（ ）
A．实践25号卫星直接加速与卫星A对接即可
B．实践25号卫星和卫星A对接时具有相同的速度
C．实践25号卫星受到地球的万有引力一定大于卫星A受到地球的万有引力
D．实践25号卫星对卫星A加注燃料时处于静止状态
【答案】B
【详解】ABD．航天器对接，后面的航天器应先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度，相对静止，故B正确，AD错误；
C．由于不知道实践25号卫星和卫星A的质量大小，故无法比较受到地球的万有引力大小，故C错误。
故选B。
【例2】如图所示，在空间站伸出的机械臂外端安置一微型卫星，微型卫星与空间站一起绕地球做匀速圆周运动，且微型卫星、空间站和地球中心始终位于同一直线。忽略空间站和微型卫星的尺寸及它们之间的万有引力，则（ ）
A．微型卫星的线速度比空间站的小
B．微型卫星的加速度比空间站的小
C．机械臂对微型卫星的作用力大小为零
D．机械臂对微型卫星的作用力大小不为零，方向指向地心
【答案】D
【详解】A．微型卫星和空间站能与地心保持在同一直线上绕地球做匀速圆周运动，所以微型卫星的角速度与空间站的角速度相等，，所以微型卫星的线速度比空间站的大，故A错误；
B．加速度，所以微型卫星的加速度比空间站的大，故B错误；
CD．由
解得
可知仅受万有引力提供向心力时，微型卫星比空间站的轨道半径大，角速度小，由于微型卫星跟随空间站以共同的角速度运动，由可知所需向心力增大，所以机械臂对微型卫星有拉力作用，方向指向地心，故C错误D正确。
故选D。
【变式1】某中轨道通讯卫星（MEO）绕地球做匀速圆周运动，但由于地球的自转，该卫星飞行轨道在地球表面的投影以及该卫星相继飞临赤道上空对应的地面的经度如图。若该卫星绕地球飞行的轨道半径为，地球静止卫星的轨道半径为，则与的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设地球自转周期为，即地球静止卫星的周期为，由题图可知，飞船每转动一圈，地球自转，则飞船的周期为
根据万有引力提供向心力可得
则有
故选C。
【变式2】2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度
B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力
C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小
D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加
【答案】D
【详解】A．径向交会对接是指飞船沿与空间站运动方向垂直的方向和空间站完成对接。飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方200米的轨迹半径较小，根据可知，它的运动速度小于空间站运动速度，故A错误；
B．飞船维持在“停泊点”的状态时，以空间站为研究对象，根据万有引力提供向心力有
飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方，轨迹半径较小，分析可知
需要开动发动机给飞船提供一个背离地心的推力使飞船能与空间站保持相对静止，故B错误；
C．对接稳定后空间站的轨道半径不变，质量增大，根据万有引力提供向心力有
解得
对接稳定后空间站速度与质量无关，保持不变，故C错误；
D．对接稳定过程中，外力对飞船做正功，相比于“停泊点”，飞船的机械能增加，故D正确；
故选D。
【变式2】如图所示，P是纬度为θ的地球表面上一点，人造地球卫星A、B均做匀速圆周运动，卫星B为地球赤道同步卫星。若某时刻P、A、B与地心O在同一平面内，其中O、P、A在一条直线上，且∠OAB＝90°，下列说法正确的是（ ）
A．P点物体的向心加速度小于卫星A的向心加速度
B．卫星A、B与P点均绕地心做匀速圆周运动
C．卫星A、B的线速度之比为
D．卫星A、B的周期之比为
【答案】A
【详解】A．，所以OB大于OA，即卫星B做匀速圆周运动的半径大于卫星A做匀速圆周运动的半径，由万有引力提供向心力得
可得
可知，又，所以，由，
可得
故A正确；
B．卫星A、B绕地心做匀速圆周运动，P点运动的圆轨迹与地轴线垂直，圆心在图中O点正上方，故B错误；
C．由万有引力提供向心力得
可得
又
可得卫星A、B的线速度之比为
故C错误；
D．由万有引力提供向心力得
可得
可得卫星A、B的周期之比为
故D错误。
故选A。
卫星运行参量分析问题的解题技巧 (1)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式： G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf)2r。 (2)比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。
【题型五】天体的“追及相遇”问题
1．天体“追及相遇”问题的理解
天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近。以地球和太阳系内其他某地外行星为例，某时刻行星与地球最近(“行星冲日”)，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同，
如图甲所示，根据＝mω2r可知，地球公转的角速度ω1较大，行星公转的角速度ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地球比行星多转一圈。
2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法
(1)根据角度关系列式
设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3…)
可解得t＝(n＝1，2，3…)。
(2)根据圈数关系列式
设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则－＝n(n＝1，2，3…)
可解得t＝(n＝1，2，3…)。
设从图甲相距最近位置到相距最远位置(图乙)所用时间为t′，同理有关系式：ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)或－＝(n＝1，2，3…)。
【例1】如图所示，A、B为同一平面内均沿顺时针方向绕行的两颗卫星．某时刻两卫星的连线与A卫星的轨道相切，已知A、B卫星的运行周期分别为TA、TB，A、B卫星的运行半径分别为r、2r，则（ ）
A．卫星A的角速度小于卫星B的角速度
B．卫星A的向心力大于卫星B的向心力
C．
D．经时间两卫星距离最近
【答案】D
【详解】A．根据万用引力提供向心力有
得
即卫星A的角速度大于卫星B的角速度，故A错误；
B．根据万有引力定律有
因两卫星的质量关系未知，所以无法比较卫星A的向心力与卫星B的向心力的大小，故B错误；
C．根据开普勒第三定律有
得
故C错误；
D．设图示时刻两卫星与地球球心的连线夹角为，则
得
设由图示时刻经时间t两卫星相距最近，则
得
故D正确。
故选D。
【例2】2025年1月13日，我国自主研制的捷龙三号运载火箭在山东海洋海域成功发射，一次将十颗卫星送入预定轨道，创造了我国海上发射的新纪录。其中卫星A、B在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示，不考虑A、B之间的万有引力，已知卫星A的线速度大于卫星B的线速度，下列说法正确的是（ ）
A．卫星A、B的轨道半径之比为
B．卫星B的周期等于T
C．卫星A的线速度大小为
D．卫星A、B从相距最近到相距最远的最短时间间隔小于
【答案】C
【详解】A．设卫星A、B的轨道半径分别为，则
解得，
则
故A错误；
B．根据万有引力提供向心力可得
所以
则
又因为
解得，
故B错误；
C．设卫星A的线速度大小为，则
故C正确；
D．设卫星从相距最近到相距最远的最短时间间隔为，则
解得
故D错误。
故选C。
【变式1】我国空间站与地面的通讯需要中继卫星中转，如图为中继卫星和空间站的运动简图，两者均视做圆周运动，绕行方向相同，某时地面发出的信号通过中继卫星中转后传到空间站，用时最短，再经过时间t，第二次出现用时最短。已知中继卫星和空间站做圆周运动的周期之比为n，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，不考虑地球自转，则空间站离地球表面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设中继卫星和空间站做圆周运动的周期分别为、，角速度分别为、，由题意可得
根据
可得
由于
可得
对于空间站，根据万有引力充当向心力有
在地球表面有
联立解得
故选B。
【题型六】卫星变轨问题
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。
1．卫星轨道的渐变
(1)当卫星的速度增加时，G
(2)当卫星的速度减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射地球同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
3．卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由＝k可知T1【例1】2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，“嫦娥六号”将突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回。如图所示，假设“嫦娥六号”着陆月球表面前经过多次刹车，最终着陆在月球表面，下列说法正确的是（ ）
A．“嫦娥六号”的发射速度一定大于第二宇宙速度
B．“嫦娥六号”在轨道1的机械能小于在轨道2的机械能
C．“嫦娥六号”由轨道2进入轨道3，应朝运动方向喷气
D．“嫦娥六号”在轨道1的周期小于在轨道3的周期
【答案】C
【详解】A．“嫦娥六号”没有脱离地球的束缚，所以其发射速度应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故A错误；
B．“嫦娥六号”由轨道1进入轨道2应减速，发动机对“嫦娥六号”做负功，其机械能应减小，在轨道1的机械能大于在轨道2的机械能，故B错误；
C．“嫦娥六号”由轨道2进入轨道3，应在近月点减速，即向“嫦娥六号”运动方向相同的方向喷气，故C正确；
D．“嫦娥六号”在轨道1上运行时的轨道半径大于轨道3的半径，由开普勒第三定律可知“嫦娥六号”在轨道1的周期大于轨道3的周期，故 D错误。
故选C。
【例2】（多选）在系列科幻电影《流浪地球》中，由于太阳寿命将尽，人类计划建造“行星发动机”将地球推离太阳系。太阳系中行星的公转运动可视为匀速圆周运动。如图所示，现计划使用行星发动机进行两次变轨，经过椭圆转移轨道，以最短时间将地球转移到木星轨道上，已知木星公转周期为K年，则（ ）
A．从地球轨道进入转移轨道，行星发动机需要加速
B．地球在转移轨道上运行时，速度不断增大
C．地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变
D．地球在转移轨道上运行的时间为年
【答案】AC
【详解】A．从地球轨道进入转移轨道，做离心运动，行星发动机需要加速，故A正确；
B．地球在转移轨道上向远日点运动中，速度不断减小，故B错误；
C．根据可知，地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变，故C正确；
D．设地球轨道半径为r，木星轨道半径为R，满足
解得
轨道的半长轴为两轨道半径的平均值
地球在转移轨道上运行的周期为T，则
解得年
地球在转移轨道上运行的时间为
故D错误。
故选AC。
【变式1】2025年2月11日新型火箭长征八号改进型运载火箭首飞成功，将低轨02组9颗卫星送入距地高度约1145km的轨道，其发射过程简化为如图所示，卫星发射后自a点进入椭圆轨道Ⅰ，到达轨道Ⅰ远地点b时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ远地点c时再次点火变轨进入预定圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。已知地球半径约为6400km，则（ ）
A．卫星在轨道Ⅰ上自a向b运行的过程中，其机械能不断增大
B．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上与地心连线单位时间扫过的面积一定相等
C．卫星在轨道Ⅱ上经b点的速度大于卫星在轨道Ⅲ上经c点的速度
D．卫星在轨道Ⅲ运行的周期约为80分钟
【答案】C
【详解】A．从 a 运动到 b 的过程中，火箭发动机并未再次点火，只受地球引力作用，机械能守恒，A错误。
B．卫星分别处于椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ时，开普勒第二定律描述的是同一卫星在同一轨道与中心天体连线在相同时间内扫过的面积相等，卫星在不同的轨道上运行时，相等的时间内与中心天体连线扫过的面积不一定相等，B错误。
C．以过b点的圆轨道相比，相对于更高的圆轨道Ⅲ在c 点时的半径更小，根据万有引力提供向心力
解得
可知，轨道半径越小则线速度越大，在椭圆轨道Ⅱ中，b 点是近地点，卫星进入轨道II的b点应加速，故卫星在Ⅱ轨道的b 点速度大于在Ⅲ轨道c 点的速度，C正确。
D．最终圆轨道Ⅲ的半径约为r=6400 km + 1145 km = 7545 km
根据牛顿第二定律则有
解得
而近地卫星的周期
其中
解得
由于轨道Ⅲ的半径大于地球的半径，故卫星在轨道Ⅲ上的运行周期应大于80分钟，D错误。
故选C。
航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。 (3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。
易错点一：万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
3．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由＝mg，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度
设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝，得g′＝，所以＝。
【例1】在科幻电影《全面回忆》中有一种地心车，无需额外动力就可以让人在几十分钟内到达地球的另一端，不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简谐运动，则（ ）
A．乘客做简谐运动的回复力是由车对人的支持力提供的
B．乘客达到地心时的速度最大，加速度最大
C．乘客只有在地心处才处于完全失重状态
D．乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离成正比
【答案】D
【详解】A．乘客做简谐运动的回复力是乘客受到的合力提供的，即万有引力与车对人的支持力的合力，故A错误。
B．乘客达到地心时处于平衡位置，故其速度最大，加速度等于零，故B错误。
C．乘客处于地心时，加速度为零，不是失重状态，故C错误。
D．设地球质量为M，乘客和车的质量为m，地球密度为，则
在距离地心为r时：地球对乘客和车的万有引力充当回复力
又
联立得
即万有引力与r成正比，故D正确。
故选D。
【变式1】中国科学院国家授时中心的相关科研发现，自2020年的年中以来，地球的自转速率呈现加快趋势。因此带来的影响是（ ）
A．月地距离减小
B．地球赤道上的物体所受的重力变小
C．地球的第一宇宙速度变小
D．同步卫星轨道高度变大
【答案】B
【详解】AC．月地距离、地球的第一宇宙速度均与地球的自转速度无关，故AC错误；
B．设物体的质量为，地球的质量为，根据
可得
可知地球的自转速率加快，则地球赤道上的物体所受的重力变小，故B正确；
D．自转速度变快，则角速度变大，根据万有引力提供向心力
可得
可知轨道半径变小，则同步卫星轨道高度变小，故D错误。
故选B。
【变式2】如图所示为地球的赤道平面图，地球以图示的方向自西向东自转。设想在赤道上，质量为m的物体以相对于地面的速度v分别自西向东和自东向西高速运动时，两种情况下物体对水平地面压力大小之差的绝对值为。地球可视为质量均匀球体，则地球的自转周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设地球自转角速度为，地球半径为R，地球对质量为m的物体的吸引力为，当物体以相对于地面的速度v分别自西向东转动时有
物体以相对于地面的速度v分别自东向西转动时有
由题意可知
整理可得
又
故地球自转周期。
故选A。
【变式3】（多选）将一质量为m的物体放在地球赤道上时，该物体的重力为；将该物体放在地球的北极点时，该物体的重力为mg。地球可视为质量分布均匀的球体，地球的半径为R。已知引力常量为G，下列判断正确的是（ ）
A．地球的质量为 B．地球的自转周期为
C．地球的平均密度为 D．地球静止卫星的高度为
【答案】ACD
【详解】A．在地球北极点时，物体受到的重力与万有引力大小相等
解得
故A正确；
B．由于在地球赤道上该物体的重力为，则有
解得
故地球自转的周期为
故B错误；
C．地球的体积为
则地球的平均密度为
故C正确；
D．由于地球静止卫星围绕地球转动的周期等于地球自转的周期，故由万有引力定律可得
联立解得地球静止卫星的高度为
故D正确。
故选ACD。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)秘籍05 天体中的五大常考问题和三大定律的应用
【解密高考】
【题型一】开普勒定律的理解与应用
【题型二】 万有引力定律及其应用
【题型三】 天体质量和密度的估算
【题型四】卫星运行参量的分析
【题型五】天体的“追及相遇”问题
【题型六】卫星变轨问题
【误区点拨】易错点：万有引力与重力的关系
：万有引力与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船的运动问题，以及估算天体的质量和密度问题，反映物理学与现代科技的密切联系，是每年高考命题的热点。常以选择题形式出现。
：掌握天体做圆周运动所需向心力来源和处理天体运动的两大基本思路：(1)万有引力提供向心力，即G＝man。(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。及时了解我国在航天方面的最新信息。
【题型一】开普勒定律的理解与应用
【例1】我国的“神舟”系列飞船发射过程可以简化为如图所示过程，飞船发射升空后由运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，在B点与空间站实现对接，在飞船从A运动到B的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．加速度越来越小
B．机械能越来越大
C．相同时间内，与地心连线扫过的面积越来越小
D．克服引力做功的功率越来越小
1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 2.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。
【例2】一卫星运行轨迹投影图如图所示，它记录了卫星在地球表面垂直投影的位置变化。在一段时间内卫星绕地球沿圆周匀速飞行了三圈，其投影图依次为①、②、③，图中竖线为经线，相邻两条经线相差15°。则地球静止卫星与该卫星的轨道半径之比为（ ）
A． B． C． D．3
【变式1】 如图所示，某卫星变轨后绕地球做椭圆运动，是椭圆的长轴，是椭圆的短轴，为地心，、和椭圆段曲线所围成的面积占整个椭圆面积的，则卫星沿顺时针方向从点运动到A点的平均速率和从A点运动到点的平均速率之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（ ）
A．冬至时地球的运行速度最小
B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为
C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的
D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为
【题型二】 万有引力定律及其应用
1．万有引力的“两点理解”和“三个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
②万有引力定律的表达式F＝G适用于计算质点间的万有引力。当物体不能看成质点时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。
(2)三个推论
①推论1：两个质量分布均匀的球体之间的万有引力，等于位于两球心处、质量分别与两球体相等的质点间的万有引力。
②推论2：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
③推论3：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。
【例1】海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为（ ）
A．1∶180 B．180∶1 C．75000∶1 D．1∶75000
【例2】已知地球质量为M，月球质量为m，地月距离为L。以地心作为坐标原点，沿地月连线建立x轴，在x轴上有一个探测器。由于地球和月球对探测器的引力做功与路径无关，探测器具有与其位置相关的引力势能。仅考虑地球和月球对探测器的作用，可得探测器引力势能随位置变化关系如图所示。在处引力势能最大，k已知，下列选项正确的是（ ）
A．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，先逐渐增大后逐渐减小
B．探测器受到的作用力随位置坐标x的增大，一直减小
C．地球与月球的质量之比
D．地球与月球的质量之比
【变式1】（多选）如图甲所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图乙所示。下列说法中正确的是（ ）
A．卫星运动周期是
B．卫星运动周期是
C．地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍
D．地球与M点间距离是地球与N点间距离的4倍
【变式2】（多选）未来人类设计的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间缩短到42min。如图所示，把地球看作质量均匀分布、半径为R的球体，在不考虑地球自转的情况下，质量为m的列车（不需要引擎）从A点由静止进入隧道，从地球另一端的B点离开隧道，此过程中列车做简谐运动，所用的时间等于地球表面近地卫星周期的一半，与地心О到隧道的距离h无关，图中O'为隧道的中点，已知质量均匀分布的球壳对内部物体的引力为零，地球表面的重力加速度大小为g，物体做简谐运动的最大速度等于振幅乘以角速度，即，下列说法正确的是（ ）
A．列车的动能不超过 B．列车从A点运动到B点的时间为
C．列车在O'点受到的支持力大小为 D．列车在O'点的速度大小为
【题型三】天体质量和密度的估算
1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【例1】开普勒用二十年的时间研究第谷的行星观测记录，发现了行星运动规律。通常认为，太阳保持静止不动，行星绕太阳做匀速圆周运动，则开普勒第三定律中常量（R为行星轨道半径，T为运行周期）。如图所示，三个质量均为m的天体相距为L成一直线排列，在万有引力作用下构成一稳定的星系。该星系中有类似于开普勒第三定律中常量。已知引力常量为G，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】2025年1月13日11时，我国太原卫星发射中心成功将微厘空间01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。已知卫星绕地球做圆周运动的周期为，轨道半径为；地球绕太阳做圆周运动的周期为，轨道半径为，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A． B．由、和G能求太阳的质量
C．由、和G能求太阳的质量 D．地球质量与太阳质量的比值为
【变式1】近年来，我国空间科学创新发展驶入“快车道”。假设有一空间探测器着陆在某个类地星球表面进行观测时发现，该星球为规则球体，半径为R，自转周期为2T，其赤道上空有一颗沿圆形轨道运行的卫星，它的运行方向与类地星球的自转方向相同，公转周期为T。如图所示，某时刻，位于星球赤道上P点的探测器观测到卫星的仰角为，后，观测到卫星仰角变为。引力常量为G。根据以上信息，该类地星球的质量约为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）下表为地球与火星的数据比较表，地球与火星绕太阳的运动视做圆周运动，根据表中信息，下列说法正确的是（ ）
星球 地球 火星
与太阳的平均距离（亿km） 1.496 2.279
赤道半径（km） 6.378 3.395
公转周期 1年 1.9年
自转周期 23小时56分 24小时37分
质量（地球视为1） 1 0.11
体积（地球视为1） 1 0.15
赤道平面与公转轨道平面夹角
A．地球公转的线速度大于火星公转的线速度
B．地球公转的向心加速度大于火星公转的向心加速度
C．地球的自转角速度小于火星的自转角速度
D．地球表面的重力加速度大于火星表面的重力加速度
估算天体质量和密度时应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。
【题型四】卫星运行参量的分析
分析人造卫星的运动规律的两条思路
(1)万有引力提供向心力，即G＝man。
(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。
2．地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
物理量 推导依据 表达式 最大值 或最小值
线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值
周期 G＝mr T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min
向心加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g
轨道平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合
【例1】北京时间2025年1月7日04时00分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将实践25号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，该卫星主要用于卫星燃料补加与延寿服务技术验证。经过一个月的时间，实践25号抵达同步轨道，并成功给北斗三号G7星加注了142公斤肼类燃料，实现了全球首次卫星在轨加注燃料。若后期还要给同轨道上的另一颗卫星加注燃料，加注前两卫星的位置如图所示，则是要想实现加注燃料，对实践25号星操作正确的是（ ）
A．实践25号卫星直接加速与卫星A对接即可
B．实践25号卫星和卫星A对接时具有相同的速度
C．实践25号卫星受到地球的万有引力一定大于卫星A受到地球的万有引力
D．实践25号卫星对卫星A加注燃料时处于静止状态
【例2】如图所示，在空间站伸出的机械臂外端安置一微型卫星，微型卫星与空间站一起绕地球做匀速圆周运动，且微型卫星、空间站和地球中心始终位于同一直线。忽略空间站和微型卫星的尺寸及它们之间的万有引力，则（ ）
A．微型卫星的线速度比空间站的小
B．微型卫星的加速度比空间站的小
C．机械臂对微型卫星的作用力大小为零
D．机械臂对微型卫星的作用力大小不为零，方向指向地心
【变式1】某中轨道通讯卫星（MEO）绕地球做匀速圆周运动，但由于地球的自转，该卫星飞行轨道在地球表面的投影以及该卫星相继飞临赤道上空对应的地面的经度如图。若该卫星绕地球飞行的轨道半径为，地球静止卫星的轨道半径为，则与的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度
B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力
C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小
D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加
【变式2】如图所示，P是纬度为θ的地球表面上一点，人造地球卫星A、B均做匀速圆周运动，卫星B为地球赤道同步卫星。若某时刻P、A、B与地心O在同一平面内，其中O、P、A在一条直线上，且∠OAB＝90°，下列说法正确的是（ ）
A．P点物体的向心加速度小于卫星A的向心加速度
B．卫星A、B与P点均绕地心做匀速圆周运动
C．卫星A、B的线速度之比为
D．卫星A、B的周期之比为
卫星运行参量分析问题的解题技巧 (1)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式： G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf)2r。 (2)比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。
【题型五】天体的“追及相遇”问题
1．天体“追及相遇”问题的理解
天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近。以地球和太阳系内其他某地外行星为例，某时刻行星与地球最近(“行星冲日”)，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同，
如图甲所示，根据＝mω2r可知，地球公转的角速度ω1较大，行星公转的角速度ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地球比行星多转一圈。
2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法
(1)根据角度关系列式
设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3…)
可解得t＝(n＝1，2，3…)。
(2)根据圈数关系列式
设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则－＝n(n＝1，2，3…)
可解得t＝(n＝1，2，3…)。
设从图甲相距最近位置到相距最远位置(图乙)所用时间为t′，同理有关系式：ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3…)或－＝(n＝1，2，3…)。
【例1】如图所示，A、B为同一平面内均沿顺时针方向绕行的两颗卫星．某时刻两卫星的连线与A卫星的轨道相切，已知A、B卫星的运行周期分别为TA、TB，A、B卫星的运行半径分别为r、2r，则（ ）
A．卫星A的角速度小于卫星B的角速度
B．卫星A的向心力大于卫星B的向心力
C．
D．经时间两卫星距离最近
【例2】2025年1月13日，我国自主研制的捷龙三号运载火箭在山东海洋海域成功发射，一次将十颗卫星送入预定轨道，创造了我国海上发射的新纪录。其中卫星A、B在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系如图所示，不考虑A、B之间的万有引力，已知卫星A的线速度大于卫星B的线速度，下列说法正确的是（ ）
A．卫星A、B的轨道半径之比为
B．卫星B的周期等于T
C．卫星A的线速度大小为
D．卫星A、B从相距最近到相距最远的最短时间间隔小于
【变式1】我国空间站与地面的通讯需要中继卫星中转，如图为中继卫星和空间站的运动简图，两者均视做圆周运动，绕行方向相同，某时地面发出的信号通过中继卫星中转后传到空间站，用时最短，再经过时间t，第二次出现用时最短。已知中继卫星和空间站做圆周运动的周期之比为n，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，不考虑地球自转，则空间站离地球表面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【题型六】卫星变轨问题
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。
1．卫星轨道的渐变
(1)当卫星的速度增加时，G(2)当卫星的速度减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。
2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射地球同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
3．卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由＝k可知T1【例1】2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道，“嫦娥六号”将突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回。如图所示，假设“嫦娥六号”着陆月球表面前经过多次刹车，最终着陆在月球表面，下列说法正确的是（ ）
A．“嫦娥六号”的发射速度一定大于第二宇宙速度
B．“嫦娥六号”在轨道1的机械能小于在轨道2的机械能
C．“嫦娥六号”由轨道2进入轨道3，应朝运动方向喷气
D．“嫦娥六号”在轨道1的周期小于在轨道3的周期
【例2】（多选）在系列科幻电影《流浪地球》中，由于太阳寿命将尽，人类计划建造“行星发动机”将地球推离太阳系。太阳系中行星的公转运动可视为匀速圆周运动。如图所示，现计划使用行星发动机进行两次变轨，经过椭圆转移轨道，以最短时间将地球转移到木星轨道上，已知木星公转周期为K年，则（ ）
A．从地球轨道进入转移轨道，行星发动机需要加速
B．地球在转移轨道上运行时，速度不断增大
C．地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变
D．地球在转移轨道上运行的时间为年
【变式1】2025年2月11日新型火箭长征八号改进型运载火箭首飞成功，将低轨02组9颗卫星送入距地高度约1145km的轨道，其发射过程简化为如图所示，卫星发射后自a点进入椭圆轨道Ⅰ，到达轨道Ⅰ远地点b时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ远地点c时再次点火变轨进入预定圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。已知地球半径约为6400km，则（ ）
A．卫星在轨道Ⅰ上自a向b运行的过程中，其机械能不断增大
B．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上与地心连线单位时间扫过的面积一定相等
C．卫星在轨道Ⅱ上经b点的速度大于卫星在轨道Ⅲ上经c点的速度
D．卫星在轨道Ⅲ运行的周期约为80分钟
航天器变轨问题的三点注意事项 (1)航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。 (2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。 (3)两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。
易错点一：万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
3．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由＝mg，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度
设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝，得g′＝，所以＝。
【例1】在科幻电影《全面回忆》中有一种地心车，无需额外动力就可以让人在几十分钟内到达地球的另一端，不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简谐运动，则（ ）
A．乘客做简谐运动的回复力是由车对人的支持力提供的
B．乘客达到地心时的速度最大，加速度最大
C．乘客只有在地心处才处于完全失重状态
D．乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离成正比
【变式1】中国科学院国家授时中心的相关科研发现，自2020年的年中以来，地球的自转速率呈现加快趋势。因此带来的影响是（ ）
A．月地距离减小
B．地球赤道上的物体所受的重力变小
C．地球的第一宇宙速度变小
D．同步卫星轨道高度变大
【变式2】如图所示为地球的赤道平面图，地球以图示的方向自西向东自转。设想在赤道上，质量为m的物体以相对于地面的速度v分别自西向东和自东向西高速运动时，两种情况下物体对水平地面压力大小之差的绝对值为。地球可视为质量均匀球体，则地球的自转周期为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（多选）将一质量为m的物体放在地球赤道上时，该物体的重力为；将该物体放在地球的北极点时，该物体的重力为mg。地球可视为质量分布均匀的球体，地球的半径为R。已知引力常量为G，下列判断正确的是（ ）
A．地球的质量为 B．地球的自转周期为
C．地球的平均密度为 D．地球静止卫星的高度为
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