秘籍04 曲线运动（抛体运动、圆锥摆模型、绳球和杆球模型）
【解密高考】
【题型一】平抛运动
【题型二】 圆锥摆模型
【题型三】 绳球和杆球模型
【题型四】圆周运动与平抛运动的综合问题
【误区点拨】易错点：圆锥摆的临界和极值问题
：曲线运动主要以抛体运动和圆周运动为主，是高考必考内容，处理抛体运动时需要理解分析思想——“化曲为直”，圆周运动需要掌握向心力的来源和作用；高考考查过程中除单独考查抛体与圆周运动外，经常会将抛体运动与圆周运动综合在一起，再结合能量、动量一起考查，同时也引申到带电粒子在组合场中的运动——在匀强电场中做类平抛运动，再进入磁场中做匀速圆周运动，这类试题经常作为“压轴题”出现。
：理解清楚曲线运动的受力特点，根据受力判断质点的运动状态；无论是单独考查还是综合能量、动量或引申到带电粒子在组合场中的运动，需要掌握抛体运动或圆周运动的基本规律，同时需要考生借助数学中的几何关系处理问题。
【题型一】平抛运动
【例1】如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机形成无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在距离地面2000m处设置面积为的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面积比为拦截炸弹比，取，，则拦截炸弹比约为（ ）
A．0.5 B．0.25 C．0.05 D．0.025
1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用 根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动： (1)水平方向的匀速直线运动； (2)竖直方向的自由落体运动。 2.做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。
【例2】 人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示，出水管口最下端距水平地面一定高度，出水管口横截面是圆，不计空气阻力，假如水从管口水平喷出的速度恒定，水流在空中不会中断，则水柱落在水平地面上的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】 如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式2】 如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．x的最小值为 B．x的最小值为
C．y的最小值为 D．y的最小值为
【变式3】（多选）无人机依靠其强大的机动性与灵活性，在事故现场可以为救援工作提供有力的支持。如图，某次救援演练中一架无人机正对一山坡水平匀速飞行，先、后释放几个相同的物资包均落到山坡上，忽略空气阻力，则先释放的物资包落在山坡前瞬间（ ）
A．重力势能一定较大 B．动能一定较大
C．机械能一定较大 D．竖直方向速度一定较大
【题型二】 圆锥摆模型
圆锥摆模型
(1)圆锥摆模型的受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
(2)运动实例
运动模型 向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动
(3)规律总结
①圆锥摆的周期
如图，摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mr
其中r＝Lsinθ
解得T＝2π＝2π。
②结论
a．摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
b．摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。
c．摆球的加速度a＝gtanθ。
(4)圆锥摆对比分析的两种常见情况
情况1：具有相同摆角的圆锥摆(摆长不同)，如图甲所示。
由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。
情况2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB
【例1】 如图所示，让装有水的玻璃杯绕过其侧面的竖直轴匀速转动，杯中液面形状可能正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
圆周运动动力学问题的解题方法 (1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。 (2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径。 (3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。
【例2】 如图甲所示，游乐场里有一种空中飞椅游戏，可以将之简化成如图乙所示的结构装置，装置可绕竖直轴匀速转动，绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长L，水平杆长L0，小球的质量为m。不计绳子重力和空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．装置中绳子的拉力为mgtanθ
B．装置转动的角速度为
C．装置转动的周期为
D．装置旋转一周，小球的动量变化为0
【变式1】 小车内固定有垂直于运动方向的水平横杆，物块M套在横杆上，一个小铁球用轻质细线吊在物块底部。当小车以恒定速率通过某一水平弯道时（可视为圆周运动），细线与竖直方向的夹角为，如图所示。若小车以更大的恒定速率通过该弯道，设小车在通过弯道的过程中，小球、物块与小车均保持相对静止，下列说法错误的是（ ）
A．细线与竖直方向的夹角变大 B．细线对小球的拉力变大
C．横杆对物块的摩擦力变大 D．横杆对物块的支持力变大
【变式2】如图所示，制作陶瓷的圆形工作台上有A、B两陶屑随工作台一起转动，转动角速度为，A在工作台边缘，B在工作台内部．若A、B与台面间的动摩擦因数相同，则下列说法正确的是（ ）
A．当工作台匀速转动，A、B所受合力为0
B．当工作台匀速转动，A、B线速度大小相等
C．当工作台角速度ω逐渐增大，陶屑A最先滑动
D．当工作台角速度ω逐渐增大，A、B所受的摩擦力始终指向轴
【变式3】（多选）一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图1所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为，线的张力随变化的图像如图2所示（图中数值单位均为国际单位），取。下列说法正确的是（ ）
A．细线的长度为1m B．细线的长度为0.5m
C．小球的质量为2kg D．小球的质量为3kg
【题型三】绳球与杆球模型
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力 特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上
受力 示意图
过最高 点的临 界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0
讨论 分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大
【例1】 （多选）某摩天轮的直径达120m，转一圈用时1600s。某同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A点经B点运动到C的过程中（ ）
A．角速度为
B．座舱对该同学的作用力一直指向圆心
C．重力对该同学做功的功率先增大后减小
D．如果仅增大摩天轮的转速，该同学在B点受座舱的作用力将增大
【例2】 “泼水成冰”是一项极具视觉冲击力的冬日奇观。具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，其示意图为图乙，P为最高点，在最高点时杯口朝上，泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，臂长为0.6m，人在0.4s内把杯子旋转了240°，重力加速度。下列说法不正确的是（ ）
A．P位置的小水珠速度方向沿b方向
B．杯子在旋转时的角速度大小为
C．从Q到P，杯子所受合外力的冲量为零
【变式1】 如图所示，支架固定在底座上，它们的总质量为M。质量分别为2m和m的小球A、B（可视为质点）固定在一根长度为L的轻杆两端，该轻杆通过光滑转轴O安装在支架的横梁上，O、A间的距离为，两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，运动过程中支架和底座一直保持静止。当转动到图示竖直位置时，小球A的速度为v，重力加速度为g。对于该位置，下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B的向心加速度大小相等
B．小球A的向心力大于B球的向心力
C．若，则底座对水平地面的压力为Mg＋2mg
D．A、B两球恰好做匀速圆周运动
【变式2】 如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有没有弹性轻绳的轻质圆环套在长臂上，轻绳另一端与质量为的小球相连。左手扶住圆环右手拿起小球将轻绳水平拉直，已知轻绳长度为，此时圆环距短臂，重力加速度为，若将圆环与小球同时释放，则（ ）
A．小球开始做圆周运动
B．小球运动过程中机械能守恒
C．小球运动的最大速度大小为
D．小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等于
竖直面内圆周运动问题的解题思路
【题型四】圆周运动与平抛运动的综合问题
一圆周运动与平抛运动的综合问题，是高考的热点，也是高考的重点。此类综合问题主要是水平面内的圆周运动与平抛运动的综合考查和竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合考查。一般分为两类：
一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1．此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题考查。
2．解题关键
(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
二、竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1．此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以选择题或计算题考查。
2．解题关键
(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，一般要分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。
(2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。
【例1】（多选）如图所示，长为1.0m的细绳一端固定在P点，另一端拴接质量为1.0kg的小球，小球与P点等高，细绳自然伸直。小球由静止释放后，摆动到某位置时，细绳突然断裂，继续运动0.5s后，落在地面上。已知细绳能承受的最大拉力为24N，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳断裂时小球的速度大小为2m/s
B．轻绳断裂时小球的速度大小为4m/s
C．小球落地点与P点的水平距离为1m
D．小球落地点与P点的水平距离为1.6m
【例2】 如图所示，半径为的半圆弧轨道竖直固定在水平面上，竖直半径与倾斜半径、的夹角为，且，现让可视为质点的小球从点由静止释放，当小球运动到点时正好脱离轨道，小球此时速度的大小为（为未知量）；再把小球拿到点，并使小球在点获得大小为（为未知量）、方向与垂直斜向上的初速度，小球从点运动到点，运动轨迹的最高点为点，重力加速度为，不计一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（ ）
A．小球在点的向心加速度为
B．小球在点的速度为
C．小球从到的运动时间为
D．、两点的距离为
【变式1】 如图所示，一小学生站在圆形水泥管道最低点，以水平速度将一个质量为的小足球踢出，球沿管道内壁在同一个竖直面内运动两圈多后在某一位置脱离管道，掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为，重力加速度为，不计空气阻力，小足球可以看作质点。求：
(1)足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平方向夹角的正切值；
(2)从足球被踢出到球脱离管道，管道对足球做的功。
【变式2】 为了进一步解决水资源短缺和人工成本增加等问题，越来越多的绿化工程采用自动灌溉系统。如图所示，地下的水泵将水从水管（管壁厚度不计）底部点推向上方，水沿着水管上升后从水平水管喷出，已知水管横截面积，水的密度，水管上端水平部分长，通过拍摄照片发现水落地时的速度方向与水平地面的夹角，忽略摩擦和空气阻力，取重力加速度大小。
(1)求水管中水流的速度大小；
(2)求水泵对水做功的功率；
(3)为了能向各个方向喷水，现在让竖直水管沿竖直轴线匀速旋转，角速度，求水落地点围成的区域的面积。（结果保留两位有效数字）
易错点一：水平转盘上的圆周运动及其临界问题
水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
(2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
(3)运动实例
【例1】如图所示，A、B两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d，带电小球C固定在的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B两个小球绕过C的竖直轴转动（转动角速度可变，之间距离不变），已知三个小球均可视为质点，A、B两个小球的质量均为m，带电量均为，小球C的带电量大小为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．C球带正电
B．A球转动的角速度ωA为
C．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，C的电荷量为
D．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，B球转动的角速度ωB为
【变式1】（多选）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为，A放在B上，C、B离圆心的距离分别为。C、B之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。已知C、B与圆盘间的动摩擦因数以及A、B间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，现让圆盘从静止缓慢加速，若A、B之间能发生相对滑动则认为A立即飞走，B以后不再受A物体的影响，且细线不会被拉断，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，A即将滑离B
B．当时，细线张力为
C．无论多大，B、C都不会和圆盘发生相对滑动
D．当时，剪断细线，C将做离心运动
【变式2】如图，中空的水平圆形转盘内径r = 0.8 m，外径足够大，沿转盘某条直径有两条粗糙凹槽，凹槽内有A、B两个物块，两根不可伸长的轻绳一端系在C物块上，另一端分别绕过转盘内侧的光滑小定滑轮系在A、B两个物块上，转盘不转动时两个物块放在距离竖直转轴R = 1.0 m处系统恰好保持静止。每根绳长L = 1.2 m，A、B两个物块的质量均为m = 2.0 kg，C物块的质量mC = 1.5 kg，所有物块均可视为质点，取重力加速度g = 10 m/s2。
(1)启动转盘，缓慢增大转速，求A、B与凹槽间摩擦力恰好为零时转盘的角速度ω1；
(2)ω2 = 4 rad/s时，改变物块C的质量，要使A、B相对凹槽不滑动，求物块C的质量最小值m0。
解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)秘籍04 曲线运动（抛体运动、圆锥摆模型、绳球和杆球模型）
【解密高考】
【题型一】平抛运动
【题型二】 圆锥摆模型
【题型三】 绳球和杆球模型
【题型四】圆周运动与平抛运动的综合问题
【误区点拨】易错点：圆锥摆的临界和极值问题
：曲线运动主要以抛体运动和圆周运动为主，是高考必考内容，处理抛体运动时需要理解分析思想——“化曲为直”，圆周运动需要掌握向心力的来源和作用；高考考查过程中除单独考查抛体与圆周运动外，经常会将抛体运动与圆周运动综合在一起，再结合能量、动量一起考查，同时也引申到带电粒子在组合场中的运动——在匀强电场中做类平抛运动，再进入磁场中做匀速圆周运动，这类试题经常作为“压轴题”出现。
：理解清楚曲线运动的受力特点，根据受力判断质点的运动状态；无论是单独考查还是综合能量、动量或引申到带电粒子在组合场中的运动，需要掌握抛体运动或圆周运动的基本规律，同时需要考生借助数学中的几何关系处理问题。
【题型一】平抛运动
【例1】如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机形成无人机群（可视为质点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在距离地面2000m处设置面积为的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面积比为拦截炸弹比，取，，则拦截炸弹比约为（ ）
A．0.5 B．0.25 C．0.05 D．0.025
【答案】D
【详解】平抛的炸弹水平运动最远，到达拦截区，根据平抛运动规律可知，
以面积比为拦截炸弹比，拦截炸弹比约为
故选D。
1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用 根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动： (1)水平方向的匀速直线运动； (2)竖直方向的自由落体运动。 2.做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。
【例2】 人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示，出水管口最下端距水平地面一定高度，出水管口横截面是圆，不计空气阻力，假如水从管口水平喷出的速度恒定，水流在空中不会中断，则水柱落在水平地面上的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】平抛运动在竖直方向为自由落体运动，则
水平方向为匀速直线运动，则水平位移为
考虑管口截面上三个点的轨迹，即最上端、最下端和圆心，如图所示
则，
因为
所以水柱落在地面的形状左右不对称，最下端和圆心的落地点间距大于最上端和圆心的落地点间距，故形状大致为D选项。
故选D。
【变式1】 如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【详解】小球垂直打在点时，速度方向的反向延长线过点，且交于水平位移的中点，如图所示
由几何关系可知抛出点一定在点。
故选C。
【变式2】 如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．x的最小值为 B．x的最小值为
C．y的最小值为 D．y的最小值为
【答案】C
【详解】CD．弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短
y的最小值为
故C正确，D错误；
AB．由于
则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为
此时x的最小值为L，故AB错误。
故选C。
【变式3】（多选）无人机依靠其强大的机动性与灵活性，在事故现场可以为救援工作提供有力的支持。如图，某次救援演练中一架无人机正对一山坡水平匀速飞行，先、后释放几个相同的物资包均落到山坡上，忽略空气阻力，则先释放的物资包落在山坡前瞬间（ ）
A．重力势能一定较大 B．动能一定较大
C．机械能一定较大 D．竖直方向速度一定较大
【答案】BD
【详解】无人机正对山坡匀速水平飞行，先后释放几个相同的物资包，取其中两个物资包A、B，其运动情况如图所示
A．先释放的物资包下降的高度大，其在山坡上的重力势能一定较小，A错误；
BC．先释放的物资包下落的高度大，忽略空气阻力，物资包下落满足机械能守恒，可知先释放的物资包动能一定较大，物资包的机械能相等，B正确，C错误；
D．物资包在竖直方向做自由落体运动，有
可知先释放的物资包竖直方向分速度一定较大，D正确。
故选BD。
【题型二】 圆锥摆模型
圆锥摆模型
(1)圆锥摆模型的受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
(2)运动实例
运动模型 向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动
(3)规律总结
①圆锥摆的周期
如图，摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mr
其中r＝Lsinθ
解得T＝2π＝2π。
②结论
a．摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。
b．摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。
c．摆球的加速度a＝gtanθ。
(4)圆锥摆对比分析的两种常见情况
情况1：具有相同摆角的圆锥摆(摆长不同)，如图甲所示。
由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ω2r知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。
情况2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ω2r知aA>aB
【例1】 如图所示，让装有水的玻璃杯绕过其侧面的竖直轴匀速转动，杯中液面形状可能正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对水面上一个质量很小的水滴m受力分析，因受竖直向下的重力和水面对水滴的作用力，两个力的合力充当向心力，因向心力沿水平方向指向转轴，可知水面对水滴的作用力应该斜向上方，设与竖直方向夹角为θ，则由牛顿第二定律
可知
因r越大，则θ越大，可知水面的形状为C的形状。
故选C。
圆周运动动力学问题的解题方法 (1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。 (2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径。 (3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。
【例2】 如图甲所示，游乐场里有一种空中飞椅游戏，可以将之简化成如图乙所示的结构装置，装置可绕竖直轴匀速转动，绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长L，水平杆长L0，小球的质量为m。不计绳子重力和空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．装置中绳子的拉力为mgtanθ
B．装置转动的角速度为
C．装置转动的周期为
D．装置旋转一周，小球的动量变化为0
【答案】D
【详解】A．对装置受力分析如图所示
装置受到重力和绳子的拉力作用，重力和绳子的拉力的合力提供向心力，则
解得
故A错误；
BC．由牛顿第二定律
其中圆周运动的半径为
联立解得装置转动的角速度为
装置转动的周期为
故BC错误；
D．装置做匀速圆周运动，装置旋转一周，速度变化量为零，所以小球的动量变化为0，故D正确。
故选D。
【变式1】 小车内固定有垂直于运动方向的水平横杆，物块M套在横杆上，一个小铁球用轻质细线吊在物块底部。当小车以恒定速率通过某一水平弯道时（可视为圆周运动），细线与竖直方向的夹角为，如图所示。若小车以更大的恒定速率通过该弯道，设小车在通过弯道的过程中，小球、物块与小车均保持相对静止，下列说法错误的是（ ）
A．细线与竖直方向的夹角变大 B．细线对小球的拉力变大
C．横杆对物块的摩擦力变大 D．横杆对物块的支持力变大
【答案】D
【详解】D．令小铁球质量为m，物块与小球保持相对静止，对物块与小铁球整体进行分析，如图甲所示
则有
可知，当小车以更大的恒定速率通过该弯道时，横杆对物块的支持力不变，故D错误，符合题意；
C．火车转弯过程，将车内物体的转弯半径可以近似认为相同，令为R，结合上述分析有
可知，当小车以更大的恒定速率通过该弯道时，横杆对物块的摩擦力变大，故C正确，不符合题意；
A．对小球进行受力分析，如图乙所示
则有，
解得
可知，转弯速度变大，则细线与竖直方向夹角变大，故A正确，不符合题意；
B．结合上述解得
由于细线与竖直方向夹角变大，则细线对小球的拉力变大，故B正确，不符合题意。
故选D。
【变式2】如图所示，制作陶瓷的圆形工作台上有A、B两陶屑随工作台一起转动，转动角速度为，A在工作台边缘，B在工作台内部．若A、B与台面间的动摩擦因数相同，则下列说法正确的是（ ）
A．当工作台匀速转动，A、B所受合力为0
B．当工作台匀速转动，A、B线速度大小相等
C．当工作台角速度ω逐渐增大，陶屑A最先滑动
D．当工作台角速度ω逐渐增大，A、B所受的摩擦力始终指向轴
【答案】C
【详解】A．当工作台匀速转动时，A、B跟随工作台做匀速圆周运动，则所受合力不是0，选项A错误；
B．当工作台匀速转动，A、B角速度相等，根据v=ωr，因转动半径不等，则线速度大小不相等，选项B错误；
C．当陶屑将要产生滑动时
解得
可知r越大，产生相对滑动的临界角速度越小，可知当工作台角速度ω逐渐增大，陶屑A最先滑动，选项C正确；
D．只有当工作台匀速转动时，A、B所受的摩擦力充当向心力，其方向才指向圆心；则当工作台角速度ω逐渐增大，A、B所受的摩擦力不是指向轴，选项D错误。
故选C。
【变式3】（多选）一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图1所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为，线的张力随变化的图像如图2所示（图中数值单位均为国际单位），取。下列说法正确的是（ ）
A．细线的长度为1m B．细线的长度为0.5m
C．小球的质量为2kg D．小球的质量为3kg
【答案】BC
【详解】设线长为L，锥体母线与竖直方向的夹角为，当时，绳子的张力
当圆锥对小球的支持力为0时，角速度
此时
代入图中数据解得，
故选BC。
【题型三】绳球与杆球模型
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见 类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力 特征 除重力外，物体受到的弹力向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零或向上
受力 示意图
过最高 点的临 界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球恰能做完整的圆周运动得v临＝0
讨论 分析 (1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、圆轨道对球产生弹力FN； (2)不能过最高点时，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心； (2)当0时，FN＋mg＝m，FN指向圆心，并随v的增大而增大
【例1】 （多选）某摩天轮的直径达120m，转一圈用时1600s。某同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A点经B点运动到C的过程中（ ）
A．角速度为
B．座舱对该同学的作用力一直指向圆心
C．重力对该同学做功的功率先增大后减小
D．如果仅增大摩天轮的转速，该同学在B点受座舱的作用力将增大
【答案】CD
【详解】A．根据题意可知周期为，则角速度为
故A错误；
B．该同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，则座舱对该同学的作用力和该同学的重力的合力提供向心力，指向圆心，所以座舱对该同学的作用力不是一直指向圆心，故B错误；
C．根据重力功率的计算公式
可知重力对该同学做功的功率先增大后减小，故C正确；
D．在B点，竖直方向有，
则该同学在B点受座舱的作用力大小为
如果仅增大摩天轮的转速，则该同学在B点受座舱的作用力将增大，故D正确。
故选CD。
【例2】 “泼水成冰”是一项极具视觉冲击力的冬日奇观。具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，其示意图为图乙，P为最高点，在最高点时杯口朝上，泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，臂长为0.6m，人在0.4s内把杯子旋转了240°，重力加速度。下列说法不正确的是（ ）
A．P位置的小水珠速度方向沿b方向
B．杯子在旋转时的角速度大小为
C．从Q到P，杯子所受合外力的冲量为零
D．若要将水从P点泼出，杯子的速度不能小于
【答案】C
【详解】A．P位置的小水珠速度方向沿轨迹的切线方向，即沿b方向，选项A正确；
B．杯子在旋转时的角速度大小为
选项B正确；
C．从Q到P，杯子动量变化量不为零，可知所受合外力的冲量不为零，选项C错误；
D．若要将水从P点刚好泼出，则需满足
即
即若要将水从P点泼出杯子的速度不能小于，选项D正确。
此题选择错误的，故选C。
【变式1】 如图所示，支架固定在底座上，它们的总质量为M。质量分别为2m和m的小球A、B（可视为质点）固定在一根长度为L的轻杆两端，该轻杆通过光滑转轴O安装在支架的横梁上，O、A间的距离为，两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，运动过程中支架和底座一直保持静止。当转动到图示竖直位置时，小球A的速度为v，重力加速度为g。对于该位置，下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B的向心加速度大小相等
B．小球A的向心力大于B球的向心力
C．若，则底座对水平地面的压力为Mg＋2mg
D．A、B两球恰好做匀速圆周运动
【答案】D
【详解】A．两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，所以两小球的角速度相同，根据
可知，小球A、B的加速度之比为
故A错误；
B．根据
可知，A、B的向心力之比为
故B错误；
C．若，对A有
解得轻杆对A的支持力为
根据
可知
对B有
解得轻杆对B的拉力为
以支架、底座和轻杆为对象，水平地面对底座的支持力为N =Mg+3mg
根据牛顿第三定律可知，底座对水平地面的压力为N =Mg+3mg
故C错误；
D．根据重力做功特点可知，重力做功W=mgh
由题意可知，，，
则转动过程，两球重力对系统做功为零，转动过程合外力对系统做功为零，系统的动能不变，两球的线速度大小保持不变，则两球恰好做匀速圆周运动，故D正确。
故选D。
【变式2】 如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有没有弹性轻绳的轻质圆环套在长臂上，轻绳另一端与质量为的小球相连。左手扶住圆环右手拿起小球将轻绳水平拉直，已知轻绳长度为，此时圆环距短臂，重力加速度为，若将圆环与小球同时释放，则（ ）
A．小球开始做圆周运动
B．小球运动过程中机械能守恒
C．小球运动的最大速度大小为
D．小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等于
【答案】C
【详解】A．轻环运动到短臂之前的过程中，细绳中没有张力，故该过程小球做自由落体运动，轻环与短臂碰撞后到球运动到最低点的过程中，轻环被限制不动，故此时小球开始绕轻环做圆周运动，当球运动至短臂正下方时，小球速度的方向变为水平，之后继续往左运动，轻绳将一直保持竖直，即小球做匀速运动，故A错误；
B．小球自由落体运动结束时，绳子绷直瞬间小球沿绳方向的速度瞬间变为零，有机械能损失，小球的机械能不守恒，故B错误；
C．如图所示
设轻环与短臂接触时，绳子与竖直方向的夹角为，根据几何关系有
可得
设轻绳绷紧前的瞬间小球的速度为，对小球，从开始运动到轻绳绷紧前瞬间，根据动能定理有
解得
轻绳绷紧后瞬间，小球垂直绳子的速度为
沿绳方向的速度变为零，从此时到小球运动到最低点的过程中，对小球根据动能定理有
解得小球运动到最低点时的受速度大小为
可知小球运动的最大速度大小为，故C正确；
D．小球在运动到最低点前瞬间，根据牛顿第二定律得
解得
根据牛顿第三定律可知，小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等于，故D错误。
故选C。
竖直面内圆周运动问题的解题思路
【题型四】圆周运动与平抛运动的综合问题
一圆周运动与平抛运动的综合问题，是高考的热点，也是高考的重点。此类综合问题主要是水平面内的圆周运动与平抛运动的综合考查和竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合考查。一般分为两类：
一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1．此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题考查。
2．解题关键
(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
二、竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1．此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以选择题或计算题考查。
2．解题关键
(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，一般要分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。
(2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。
【例1】（多选）如图所示，长为1.0m的细绳一端固定在P点，另一端拴接质量为1.0kg的小球，小球与P点等高，细绳自然伸直。小球由静止释放后，摆动到某位置时，细绳突然断裂，继续运动0.5s后，落在地面上。已知细绳能承受的最大拉力为24N，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳断裂时小球的速度大小为2m/s
B．轻绳断裂时小球的速度大小为4m/s
C．小球落地点与P点的水平距离为1m
D．小球落地点与P点的水平距离为1.6m
【答案】BC
【详解】AB．设轻绳断裂时轻绳与竖直方向的夹角为，如图。
由牛顿第二定律得
由动能定理可得
解得，
故A错误，B正确；
CD．如图。
轻绳断裂时水平方向的速度大小为
小球从轻绳断裂到落地的水平位移大小为
小球落地点与P点的水平距离为
故C正确，D错误。
故选BC。
【例2】 如图所示，半径为的半圆弧轨道竖直固定在水平面上，竖直半径与倾斜半径、的夹角为，且，现让可视为质点的小球从点由静止释放，当小球运动到点时正好脱离轨道，小球此时速度的大小为（为未知量）；再把小球拿到点，并使小球在点获得大小为（为未知量）、方向与垂直斜向上的初速度，小球从点运动到点，运动轨迹的最高点为点，重力加速度为，不计一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（ ）
A．小球在点的向心加速度为
B．小球在点的速度为
C．小球从到的运动时间为
D．、两点的距离为
【答案】D
【详解】AB．把小球在D点的重力分别沿着OD方向与垂直OD方向正交分解，D点对小球的支持力恰好为0，则重力沿着OD方向的分力充当向心力，则有
由向心加速度公式可得结合
综合可得，
故AB错误；
C．由数学知识可得
小球从E点到D点做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度大小为
竖直方向做初速度为的竖直上抛运动，则有，
综合解得，
故C错误；
D．斜抛运动的最大高度为
由几何关系可得G、B两点的高度差为
综合可得
故D正确。
故选D。
【变式1】 如图所示，一小学生站在圆形水泥管道最低点，以水平速度将一个质量为的小足球踢出，球沿管道内壁在同一个竖直面内运动两圈多后在某一位置脱离管道，掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为，重力加速度为，不计空气阻力，小足球可以看作质点。求：
(1)足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平方向夹角的正切值；
(2)从足球被踢出到球脱离管道，管道对足球做的功。
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）根据题意，设足球在A处脱离管道，之后做斜抛运动，经过圆心处，如图
在A处，设足球速度大小为，由牛顿第二定律有
斜抛运动过程，设运动时间为，沿AO方向有
沿垂直AO方向有
联立解得
（2）有小问（1）可得
从足球被踢出到脱离管道，设管道对足球做功为，由动能定理有
解得
【变式2】 为了进一步解决水资源短缺和人工成本增加等问题，越来越多的绿化工程采用自动灌溉系统。如图所示，地下的水泵将水从水管（管壁厚度不计）底部点推向上方，水沿着水管上升后从水平水管喷出，已知水管横截面积，水的密度，水管上端水平部分长，通过拍摄照片发现水落地时的速度方向与水平地面的夹角，忽略摩擦和空气阻力，取重力加速度大小。
(1)求水管中水流的速度大小；
(2)求水泵对水做功的功率；
(3)为了能向各个方向喷水，现在让竖直水管沿竖直轴线匀速旋转，角速度，求水落地点围成的区域的面积。（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】（1）水落地时竖直速度
解得
根据速度的分解有
解得
（2）时间内从水管中喷出的水柱长为
根据功能关系有
其中，
解得
（3）水在空中做平抛运动，时间
水沿半径方向运动的距离
水沿切线方向运动的距离
水落地点到点的距离
水的落地点围成的区域的面积
易错点一：水平转盘上的圆周运动及其临界问题
水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
(2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。
(3)运动实例
【例1】如图所示，A、B两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d，带电小球C固定在的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B两个小球绕过C的竖直轴转动（转动角速度可变，之间距离不变），已知三个小球均可视为质点，A、B两个小球的质量均为m，带电量均为，小球C的带电量大小为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．C球带正电
B．A球转动的角速度ωA为
C．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，C的电荷量为
D．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，B球转动的角速度ωB为
【答案】C
【详解】A．A、B两个小球绕过C的竖直轴转动，且A、B两个小球带同种电荷，互相排斥，则带电小球C必给A、B两个小球吸引力，且吸引力的分力提供A、B两个小球绕过C的竖直轴转动所需的向心力，则根据牛顿第三定律可知小球C的受力分析如图所示
所以小球C必带负电，故A错误；
B．A球受力分析如图所示
对小球A，水平方向由牛顿第二定律有
解得A的转动的角速度为
，故B错误；
C．若增大C的电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，地面对两球的支持力为零。
则A或者B小球竖直方向有
解得C的电荷量为
，故C正确；
D．当A、B小球刚好离开地面时，此时B小球受力分析如图所示
则水平方向由牛顿第二定律有
解得B球转动的角速度为
，故D错误。
故选C。
【变式1】（多选）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为，A放在B上，C、B离圆心的距离分别为。C、B之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。已知C、B与圆盘间的动摩擦因数以及A、B间的动摩擦因数均为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，现让圆盘从静止缓慢加速，若A、B之间能发生相对滑动则认为A立即飞走，B以后不再受A物体的影响，且细线不会被拉断，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，A即将滑离B
B．当时，细线张力为
C．无论多大，B、C都不会和圆盘发生相对滑动
D．当时，剪断细线，C将做离心运动
【答案】AC
【详解】A．当A开始滑动时有
解得
所以当时，A即将滑离B，故A正确；
B．当时A已经滑离B
B所需向心力
B与转盘之间的最大静摩擦力为
细线张力为
故B错误；
C．C与圆盘之间的最大静摩擦力为
当圆盘以角速度转动时，B所需向心力
C所需向心力
则
所以无论多大，B、C都不会和圆盘发生相对滑动，故C正确；
D．当时，C所需向心力
所以剪断细线，C将与圆盘一起转动，故D正确。
故选AC。
【变式2】如图，中空的水平圆形转盘内径r = 0.8 m，外径足够大，沿转盘某条直径有两条粗糙凹槽，凹槽内有A、B两个物块，两根不可伸长的轻绳一端系在C物块上，另一端分别绕过转盘内侧的光滑小定滑轮系在A、B两个物块上，转盘不转动时两个物块放在距离竖直转轴R = 1.0 m处系统恰好保持静止。每根绳长L = 1.2 m，A、B两个物块的质量均为m = 2.0 kg，C物块的质量mC = 1.5 kg，所有物块均可视为质点，取重力加速度g = 10 m/s2。
(1)启动转盘，缓慢增大转速，求A、B与凹槽间摩擦力恰好为零时转盘的角速度ω1；
(2)ω2 = 4 rad/s时，改变物块C的质量，要使A、B相对凹槽不滑动，求物块C的质量最小值m0。
【答案】(1)2.5 rad/s；(2)2.34 kg
【详解】（1）设绳子上的拉力为T，绳子与竖直方向的夹角为θ，由几何知识可得
即有
对于物块C而言，则有
解得
A、B与凹槽间摩擦力恰好为零时，绳子的拉力为其做圆周运动提供向心力，根据牛顿第二定律可得
解得
（2）转盘不动时，A、B受到的摩擦力与绳子的拉力平衡，则有
解得
当转盘的转动的角速度ω2 = 4 rad/s，A、B所需的向心力
要使物块C的质量最小，绳子上的拉力应最小，对物块A、B受力分析可知
联立解得
对物块C受力分析可得
联立可得
解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。
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