初中数学北师大版八年级下册 第4章《因式分解》章节测试卷 （含解析）

第4章《因式分解》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果，那么的值为（ ）
A．16 B．64 C．32 D．8
3．下列各数中，不能整除的是（ ）
A．78 B．79 C．80 D．81
4．甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．小月是一位密码爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：多项式 依次对应下列六个汉字：我、爱、美、新、余、学，现将多项式进行因式分解后，其结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美学 B．我爱学 C．我爱新余 D．美学
6．若三边满足，判断的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A． B． C． D．
8．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
9．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是
A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1
10．对于二次三项式（为常数），以下结论：
①当，且，则；
②当时，则；
③当的值恒为正数时，则；
④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若关于的二次三项式的因式是和，则的值是 ．
12．多项式与多项式的公因式是 ．
13．（1）因式分解： ；（2）因式分解：
14．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则另一边长为 ．
15．设、是有理数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
①；②；③；④．
其中正确推断的序号是 ．
16．已知，，，那么的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）因式分解：
(1) (2) (3)
18．（6分）简便计算：
(1)； (2)．
19．（8分）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ．
(1)上述分解因式的方法是_______；
(2)分解因式的结果是_______；
(3)利用（2）中结论计算：．
20．（8分）（24-25八年级·福建厦门·期中）已知：，．
(1)求证：；
(2)若，为整数，且，，求的值．
21．（8分）阅读材料，解决问题
【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．
原式．
【材料】因式分解：
解：把看成一个整体，令，则
原式，再将重新代入，得：原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料，利用配方法进行因式分解：；
(2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
22．（8分）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
(2)若，求的值．
(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______．
23．（8分）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！
（1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ；
（2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解：
①分解因式 ；
②解方程：．
（3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项．
① ；
② ；
除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等．
[综合应用]分解因式： ．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、不是因式分解，不符合题意；
B、选项因式分解错误，不符合题意；
C、不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解且分解正确，符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解为，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选B．
3．A
【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案．
【详解】解：803﹣80
＝80×（802﹣1）
＝80×（80+1）×（80﹣1）
＝80×81×79，
故不能整除803﹣80的是78，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得．
【详解】解：，
，
∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，
∴，，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解方法，先把多项式因式分解，再根据密码信息确定即可．
【详解】解：，
，
，
分别对应汉字我、爱、新、余，
呈现的密码信息可能是我爱新余，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵为三边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
故选：．
7．A
【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．
【详解】解：底面积为（b﹣2a）2，
侧面积为a （b﹣2a） 4＝4a （b﹣2a），
∴M＝（b﹣2a）2﹣4a （b﹣2a），
提取公式（b﹣2a），
M＝（b﹣2a） （b﹣2a﹣4a），
＝（b﹣6a）（b﹣2a）
故选：A．
8．D
【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
9．B
【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解．
2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；
故选：B.
10．A
【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．根据完全平方公式、因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可．
【详解】解：①当，，
则，
则，
故①正确，符合题意；
②当，
则，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
③，
∵
则当的值恒为正数时，即可，
∴，
故③正确，符合题意；
④当，且，
则，
∴，，
∵p、q为整数，
∴p、q的值可为或或或或或
∴或或8或或7或，
故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：A．
二．填空题
11．2
【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可．
【详解】解：由题意得：，
．
故答案为：2．
12．x-2．
【分析】分别将多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【详解】∵ax2-4a=a（x2-4）=a（x+2）（x-2），
x2-4x+4=（x-2）2，
∴多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4的公因式是x-2．
13．
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
（1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）
；
故答案为：；
（2）
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟记平方差、完全平分公式．由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积剩余部分的面积可以求出，而长方形一边长为，利用长方形的面积公式即可求出另一边长．
【详解】解：依题意得剩余部分为：
，
∵拼成的长方形一边长为，
∴另一边长为：
若拼成的长方形一边长为，则另一边长为：，
故答案为：．
15．①②
【分析】本题考查因式分解，根据新定义，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：，
∴；故①正确；
；
∴；故②正确；
，
∴，故③错误；
∴；故④错误；
故答案为：①②．
16．
【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式的应用，设,根据因式分解的应用，先求的值，再求即可得解，熟练掌握完全平方公式的结构特征并能灵活对所求代数式进行恒等变形是解决此题的关键．
【详解】解：设,
,
,
，
，
，
，
，
的值为7.
三．解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
18．（1）解：
；
（2）
．
19．（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，
故答案为：提公因式法；
（2）解：
，
，
同理可得：
，
故答案为：；
（3）解：原式
．
20．（1）证明：∵，，
∴，，，
∴
，
∵，，
∴，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，异号，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，为整数，
∴或或或，
∴（不符号、异号，舍去）或（不符号、异号，舍去）或或（不符号、异号，舍去），
∴，
∴的值为．
21．（1）解：
；
（2）解：设，
∴ ；
（3）解：是等腰三角形．理由如下：
，
∴，
∴，
∴，，，
得，，，．
∴，
∴是等腰三角形．
22．（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有；
故答案为：，
（2）∵，，，
∵，，即，，
∴．
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，
∴．
故答案为：．
23．解：（1）；
故答案为；
（2）①；
故答案为；
②
∴或，
∴；
（3）①
；
②
；
故答案为；；
综合应用：
；
故答案为．