九年级数学下册试题 第2章《二次函数》章节测试卷--北师大版（含解析）

第2章《二次函数》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
3．将抛物线向左平移2个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．下表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（ ）
x … …
y … …
A． B．
C． D．
5．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数的图像如图所示，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
8．设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤
10．在平面直角坐标系中，已知点，，若点C在一次函数的图象上，且为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ．
12．无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点 ．
13．已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ．
14．如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，若抛物线上存在点，使得的面积为1，则点的坐标是 ．
15．已知抛物线在区间上的最小值是，则m的值为 ．
16．二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．已知抛物线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
18．已知二次函数．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当时，则y的取值范围是____________．
19．某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价元
每天销售数量件
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
20．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．
(1)求的面积；
(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．
21．（8分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网与y轴的水平距离，，若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线．小林分析此时羽毛球恰好落在点D处；若在y轴处吊球，羽毛球的飞行路线
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)小林分析，若羽毛球沿路线飞行落在之间，求符合条件的n的整数值．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积．
23．（8分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当二次函数的值大于时，结合图象，直接写出自变量的取值范围；
(3)点为轴负半轴上一点，点的纵坐标为．过点作轴的平行线交抛物线于点，（点在点的左边），判断与的数量关系，并说明理由；
(4)在（）的条件下，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，若，请直接写出的值．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为
可设其解析式为
抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同
抛物线的解析式为．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解∶抛物线与x轴的一个交点为，
，
故选C．
3．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，顶点坐标．熟练掌握二次函数图象的平移，顶点坐标是解题的关键．
由题意知，新抛物线的解析式为，进而可得新抛物线顶点坐标为．
【详解】解：由题意知，抛物线向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，
∴新抛物线顶点坐标为，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据“时，时”，结合二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
【详解】解：由表可得时，时，
二次函数图象与x轴的一个交点的横坐标在和之间，
的一个近似解的范围为，
故选：C．
5．C
【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解；
【详解】解：第三季度总值为；
故选：C
6．B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可．
【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求；
B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求；
C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求；
D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求；
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口向上知，由二次函数与轴交于负半轴可以推出，又抛物线与轴有两个交点，然后利用前面的结论即可确定的取值范围．
【详解】解：抛物线的开口向上，
，①
二次函数与轴交于负半轴，
，②
抛物线与轴有两个交点，则，
，③，
联立①②③解之得：．
的取值范围是．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．
【详解】解：如图所示，若，则，
故A选项错误；
如图所示，若，则或，
故C选项错误；
如图所示，若，则，
故B选项正确，D选项错误；
故选：B
9．A
【分析】本题考查二次函数图像与性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列方程与不等式．①由抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴可得结论；③结合②得到的结论即可判断；④根据在对称轴处取得最值判断即可；⑤根据图像与x轴的交点得到结论即可．
【详解】解：①对称轴在y轴右侧，
异号，
，故正确；
②对称轴，
，
，故正确；
③，
，故错误；
④根据图象知，当时；有最大值，
当为实数时，有，
（m为实数），故正确；
⑤如图，抛物线与x轴的交点A在点和之间，
故无法确定时，x的取值范围，故错误；
故选：A．

10．D
【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
设．构建方程即可解决问题．
【详解】解：设．
①当时，点在线段的垂直平分线上，此时．
②当时，，
解得：，
或，
③当时，，
解得，
或；
综上所述，满足条件的点有5个，
故选：D．
二．填空题
11．6
【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
由，，可知当时，二次函数的值最小，为4，则，计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴当时，二次函数的值最小，为4，
∴，
解得，，
故答案为：6．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征先把解析式变形为，利用m有无数个解得到，然后解出x和y，即可得到定点坐标．
【详解】解：
，
∵无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点
∴当，即时，m可以任意实数，
此时，
即无论 为何实数，二次函数 的图象总是过定点．
故答案为：
13．或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
当时，，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∵，
当点在对称轴的左侧时，；
当点在对称轴的右侧时，，且，
解得：；
综上所述，k的取值范围为或．
故答案为：或．
14．，
【分析】本题考查二次函数图像及性质，三角形面积等．根据题意先在二次函数中随机画出点，过点作轴，再求出二次函数和轴交点即可得知的长，设点的坐标为，在根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：过点作轴，设点的坐标为，
，
∴，
∵抛物线与轴交于两点，
∴令，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
解得：，
∴点的坐标为：，，
故答案为：，．
15．或
【分析】先求出抛物线对称轴为直线，然后分当，即时，当，即时，当，即时，三种情况利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
当，即时，
∵抛物线在区间上的最小值是，
∴当时，，
∴，
解得；
当，即时，
∵抛物线在区间上的最小值是，
∴当时，，
∴，
∴，
解得（不符合题意的值舍去）；
当，即时，
∵抛物线在区间上的最小值是，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或，
故答案为：或．
16．或5
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可．
【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵一次函数经过，一次函数经过．
∴，
当时，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴ ，
此时；
当时，，，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴ ，
此时；
故答案为：或5
三．解答题
17．（1）抛物线 经过点，，
，
解得，
；
（2）
顶点坐标为．
18．（1）解：，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）解：列表：
x 0 1 2 3 5
y 5 2 1 2 5
根据描点法画二次函数图象如下：
；
（3）解：由图象可知：当时，．
故答案是：．
19．（1）设与之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：，
故与的函数关系式为；
（2）根据题意得：
，
解得：，，
答：销售单价应为元或元；
（3）由题意可知：
，
，
抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，有最大值，．
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
20．（1）解：令，即，
解得或
∴，，
则，
当时，，
∴，，
∴．
（2）存在这样的点，理由如下，
联立，
解得或，
∴，
∵，
∴．
连接、，如图，
则
∵
∴．
∴当、、三点共线时，有最小值，
设直线的解析式为：，
则，
解得，
则直线的解析式为：，
∵时，，
∴．
21．（1）解：∵，
∴的最高点坐标为；
由题意得：点A、D的坐标分别为：，
将点D的坐标代入函数的表达式得：．
解得：，
∴的表达式为：，
当时，；
（2）解：由（1）得：，
∴的函数表达式为：，
∵点A、D的坐标分别为：，
将点A、D的坐标分别代入的函数表达式得：
，解得：，
，解得：，
∴当时，羽毛球沿路线飞行落在之间，
∴符合条件的n的整数值为或0或1或2．
22．（1）解：将点和点代入抛物线可得：
，解得：，
抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：点、点均在该抛物线上，理由如下：
，，
．
∵四边形是菱形，
，
，，
．
当时，；
当时，．
∴点、点均在该抛物线上．
（3）解：设直线的解析式为．
∵直线经过点和点，
，解得，
∴直线的解析式为．
是定值，
∴要使的面积最大，则当点到距离最大时，面积最大，
如图，过点作轴，垂足为点，
设过点且平行于的直线的解析式为，
联立方程组，得，
消去，整理得．
当直线与抛物线在点处相切时，
，解得，
此时方程有两个相等的实数根，
此时过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大，
∴当时，，
∴点的坐标为，
的最大面积
．
23．（1）把，代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（）得抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，，
∴二次函数的值大于时，
根据图象可知自变量的取值范围为或；
（3），理由：
如图，
由题意得：点，点的纵坐标为，
∴当时，，即，
解得：，，
∴，，
∴，，
∴；
（4）∵，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，
由（）可得，
∵在此抛物线上，其横坐标分别为，，
∴，，
当在对称轴左侧，即，此时时，
则，，
∴，
解得(舍去)或；
关于直线的对称点为，当，时，
则，，
∴，
解得（舍去）或 （舍去）；
当，即时，
则，，
∴，
解得或 （舍去）；
综上所述，的值为或．