2024-2025学年山西省晋城市部分学校高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省晋城市部分学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则与同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
4.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
7.在平行四边形中，，，，点满足，点是的中点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥
B. 棱柱至少有五个面
C. 棱台的侧棱延长后必交于一点
D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
10.已知复数满足，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 是关于的方程的一个根
11.如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为定值
C. 若点在线段上，则为定值
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为 ．
13.已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是 ．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则 若的外接圆的圆心是，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
设，求，的值
若，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调递增区间
若且，求的值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小
若点是线段上的一点，且，求的值．
18.本小题分
如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，点是棱上的一点，且
求证：，，，四点共面
求证：平面
已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且．
求角的大小
若，点是的中点，且，求的值
已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值．
参考答案
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15.解：因为，，，且，
所以，所以解得，．
因为，，
又，
所以，解得．
16.解：由题意知，
所以的最小正周期．
令，，
解得，，
即的单调递增区间为．
由题意知，
所以，
又，所以，
所以，
所以
．
17.解：因为 ，由正弦定理可得 ，又，所以，
又 ，所以 ．
设 ，
又，所以，，．
在 中由正弦定理可得
又，所以，
所以，
整理得：，
所以，即．
18.解：证明：连接，如图所示，因为点，分别为棱，的中点，所以，，
又在正方体中，，，
所以，所以，，，四点共面．
证明：连接，分别交，于点，，连接，如图所示．
在正方体中，，，
所以∽，所以，
同理可得，
在中，，所以，
又平面，平面，所以平面．
解：因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又，所以，又，所以．
19.解：因为，，且，
所以，
由正弦定理得，即，
所以，
又，所以．
因为点是的中点，所以，
所以，
即，所以，
由余弦定理得，即，
解得，或，，所以或．
因为的面积为，所以，所以．
若点与点在直线的异侧，设，
则，，，
在中，由正弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以
．
若点与点在直线的同侧，设，此时，，，
在在中，由正弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，，
所以
．
综上，的值为或．
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