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难题突破专题四 特殊三角形存在性问题
特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．
类型1 等腰三角形存在性问题
例题（2024 雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，即可求解；
（3）当∠EDB为直角时，则直线DE的表达式为：y＝﹣（x﹣5）+8，则点E（0，），再分类求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
则a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（x，x2﹣4x+3），则点Q（x，x﹣3），
则PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
此时x＝，则y＝x2﹣4x+3＝﹣，
即点Q（，﹣）；
（3）存在，理由：
由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：y＝﹣x﹣3，
过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO，
∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQA＝∠QCO，
则∠CQT＝∠QQT，
即直线AQ和DQ关于直线QT对称，
则直线DQ的表达式为：y＝（x﹣）﹣，
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3＝（x﹣）﹣，
解得：x＝（舍去）或5，
即点D（5，8）；
设点E（0，y），由B、D、E的坐标得，BD2＝68，DE2＝25+（y﹣8）2，BE2＝9+y2，
当DE＝BD时，
则68＝25+（y﹣8）2，
解得：y＝8±，即点E（0，8±）；
当DE＝BE或BD＝BE时，
同理可得：25+（y﹣8）2＝9+y2或9+y2＝68，
解得：y＝5或±，
即点E（0，5）或（0，±）；
综上，点E（0，8±）或（0，5）或（0，±）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
解题方法点析
对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．
类型2 全等（相似）三角形存在性问题
例题（2024 内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后代入y＝﹣x2+bx+c，求出b、c的值即可；
（2）由对顶角的性质性质知∠AEC＝∠DEB，若存在△BDE和△ACE相似，则有△ACE∽△BDE和△ACE∽△DBE两种情况，然后分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）设点D（m，﹣m2+m+6），E（m，﹣2m+6），F（n，﹣n2+n+6），G（n，﹣2n+6），则DE＝﹣m2+3m，FG＝﹣n2+3n，根据菱形的性质得出﹣m2+3m＝﹣n2+3n，可求出n＝3﹣m，过点G作GK⊥DE于K，可得∠EGK＝∠BAC，利用等角的余弦值相等得出，求出，根据菱形的性质得出，解方程求出m的值即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣2x+6＝0，
则x＝3；
令x＝0，则y＝6，
∴A（3，0），B（0，6），
把A（3，0），B（0，6）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）存在点D，使得△BDE和△ACE相似，
设点D（t，﹣t2+t+6），则E（t，﹣2t+6），C（t，0），H（t，6），
∴EC＝﹣2t+6，AC＝3﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+t，DE＝﹣t2+3t，
∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，
∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE，
①如图，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°，
∴BD∥AC，
∴D点纵坐标为6，
∴﹣t2+t+6＝6，
解得t＝0或t＝1，
∴D（1，6）；
②如图，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE，
过B作BH⊥DC于H，
∴∠BHD＝90°，
∴，
∴，
∴﹣2t2+2t＝t，
解得t＝0（舍去）或，
∴，
综上所述，点D的坐标为（1，6）或．
（3）如图，∵四边形EGFD为菱形，
∴DE∥FG，DE＝FG，ED＝EG，
设点D（m，﹣m2+m+6），E（m，﹣2m+6），F（n，﹣n2+n+6），G（n，﹣2n+6），
∴DE＝﹣m2+3m，FG＝﹣n2+3n，
∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，
即（m﹣n）（m+n﹣3）＝0，
∵m﹣n≠0，
∴m+n﹣3＝0，
即m+n＝3或n＝3﹣m，
∵A（3，0），B（0，6），
∴AO＝3，BO＝6，
∴，
过点G作GK⊥DE于K，
∴KG∥AC，
∴∠EGK＝∠BAC，
∴，
即，
∴，
∵DE＝EG，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，
∴点D的横坐标为 ．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，菱形的性质，解题时要能够灵活运用所学的数学知识，要会分类讨论 解题方法点析
本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．
类型3 直角三角形存在性问题
例题如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；
（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．
【解答】解：
（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，
∴C（0，3a），
∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，
∴D（2，﹣a）；
（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∴S△ABD=×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，
把C、D的坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，
∴E（，0），
∴BE=3﹣=
∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，
∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，
∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），
∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，
∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，
①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；
综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．
同步训练：（2017江苏徐州）如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（ 3，0 ），C（ 0，﹣4 ）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到==2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，﹣），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）如图2，当PB与⊙C相切时，OE的值最大，过E作EM⊥y轴于M，过P作PF⊥y轴于F，根据平行线等分线段定理得到ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在y=x2﹣4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=﹣4，
∴B（3，0），C（0，﹣4）；
故答案为：3，0；0，﹣4；
（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，
①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，
连接BC，
∵OB=3．OC=4，
∴BC=5，
∵CP2⊥BP2，CP2=，
∴BP2=2，
过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，
则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形，
∴==2，
设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，
∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4，
∴==2，
∴x=，2x=，
∴FP2=，EP2=，
∴P2（，﹣），
过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，
同理求得P1（﹣1，﹣2），
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，
过P4作P4H⊥y轴于H，
则△BOC∽△CHP4，
∴==，
∴CH=，P4H=，
∴P4（，﹣﹣4）；
同理P3（﹣，﹣4）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；
（3）如图（3），当PB与⊙C相切时，PB与y 轴的距离最大，OE的值最大，
∵过E作EM⊥y轴于M，过P作PF⊥y轴于F，
∴OB∥EM∥PF，
∵E为PB的中点，
∴ME=（OB+PF）=，OM=MF=OF=，
∴OE==．
故答案为：．
解题方法点析
本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．
专 题 训 练
1. （2024 齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，则AC＝AD或AC＝CD，即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，即可求解；
（3）E、C、F、A共线，EF＝AC，则xF﹣xE＝xA﹣xC，即可求解；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（﹣，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，即可求解．
【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣2），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝﹣2，则a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）设点D（x，0），
由点A、C、D的坐标得，AC2＝20，AD2＝（x﹣4）2，CD2＝x2+4，
则AC＝AD或AC＝CD，
即20＝（x﹣4）2或20＝x2+4，
解得：x＝4±2或4（舍去）或﹣4，
即点D（4±2，0）或（﹣4，0）；
（3）设点P（x，x2﹣x﹣2），
当y＝x2﹣x﹣2＝x﹣2，则x＝x2﹣3x，即点E（x2﹣3x，x2﹣x﹣2），
∵E、C、F、A共线，EF＝AC，
则xF﹣xE＝xA﹣xC，
即x﹣（x2﹣3x）＝4﹣0，
解得：x＝2，
即点P（2，﹣3）；
（4）作点A关于y轴的对称点A′（﹣4，0），将点A′向右平移（MN的长度），得到点A″（﹣，0），
连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接A′N，
∵A′A″∥MN且A′A″＝MN，则四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N＝A″M，
则NA+MP＝A′N+PM＝A″M+MP＝A″P为最小，最小值为＝，
故答案为：．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
2. （2024 眉山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过D作DK∥y轴交AC于K，求得直线AC解析式为y＝x+3，设D（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），故DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，由△ACD的面积为3，得DK |xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，解出t的值可得D的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）求出A（﹣3，0），B（1，0），直线BC解析式为y＝﹣3x+3，设P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，分始终情况分别画出图形根据等腰直角三角形性质和全等三角形判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过D作DK∥y轴交AC于K，如图：
由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵△ACD的面积为3，
∴DK |xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，
解得t＝﹣1或t＝﹣2，
∴D的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）在直线BC上存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
由B（1，0），C（0，3）得直线BC解析式为y＝﹣3x+3，
设P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），
过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，
①∵OA＝OC＝3，
∴当P与C重合，D与A重合时，△OPD是等腰直角三角形，如图：
此时P（0，3）；
②当P在第一象限，D在第四象限时，
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴DM＝ON，OM＝PN，
∴，
解得（n小于0，舍去）或，
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在第四象限，D在第三象限时，如图：
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴PN＝OM，ON＝DM，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝，
∴P的坐标为（，）；
④当P在第四象限，D在第一象限，如图：
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴PN＝OM，ON＝DM，
∴，
解得（舍去）或，
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝﹣，
∴P的坐标为（，﹣）；
综上所述，P的坐标为（0，3）或（，）或（，）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
3.已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；
（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；
（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；
（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），
∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，
把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，
∴a=﹣1，
∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；
（2）解得x2+3x+m﹣3=0，
∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，
∴△=9﹣4m+12=0，
∴m=；
（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，
∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），
∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；
②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；
③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点；
（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，
∴B（3，0），
∴OB=3，
∴AB==4，
①当AP=AB=4时，PB=8，
∴P1（﹣5，0），
②当AB=BP=4时，
P2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），
③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB=4，
∴P4（﹣1，0），
综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．
4. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；
（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；
（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；
（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），
∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，
把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，
∴a=﹣1，
∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；
（2）解得x2+3x+m﹣3=0，
∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，
∴△=9﹣4m+12=0，
∴m=；
（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，
∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），
∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；
②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；
③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点；
（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，
∴B（3，0），
∴OB=3，
∴AB==4，
①当AP=AB=4时，PB=8，
∴P1（﹣5，0），
②当AB=BP=4时，
P2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），
③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB=4，
∴P4（﹣1，0），
综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．
5.如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
（1）当m=2时，a=﹣，当m=3时，a=﹣；
（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=﹣；
（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由△AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可；
（2）同（1）的方法得出结论
（3）由△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；
（4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=m，OM=m，
∴A（m， m），
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
当m=2时，a=﹣，
当m=3时，a=﹣，
故答案为：﹣，﹣；
（2）a=﹣
理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=m，OM=m，
∴A（m， m），
∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
∴，
∴
∴a=﹣，
（3）如图2，
∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，
设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），
∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上，
∴，
∴，
①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④，
①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，
④﹣⑤化简得，an=﹣1，
∴a=﹣
故答案为a=﹣，
（4）∵OB的长度为2m，AM=m，
∴S△AOB=OB×AM=2m×m=m2，
由（3）有，AN=n
∵PQ的长度为2n，
∴S△APQ=PQ×AN=×2m×n=n2，
由（2）（3）有，a=﹣，a=﹣，
∴﹣=﹣，
∴m=n，
∴===，
∴△AOB与△APQ的面积比为3：1．
6.如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①若∠APE=∠CPE，求证：；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）设交点式为y=a（x+5）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，由P点坐标得到Q（﹣2，﹣3），则PQ=6，然后根据三角形面积公式，利用S△APC=S△APQ+S△CPQ进行计算；
（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判断△PAD为等腰三角形，则AH=DH，设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，通过证明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=﹣x﹣，则﹣x﹣x﹣=5，则解方程求出x可得到OH和AH的长，然后利用平行线分线段成比例定理计算出=；
②设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），分类讨论：当PA=PE，易得点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；当AP=AE，如图2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=x2+5x，则x2+5x=（x+5），然后分别解方程求出x可得到对应P点坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+5）（x+1），
把C（0，﹣5）代入得a 5 1=﹣5，解得a=﹣1，
所以抛物线解析式为y=﹣（x+5）（x+1），即y=﹣x2﹣6x﹣5；
（2）解：设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣5，
作PQ∥y轴交AC于Q，如图1，则Q（﹣2，﹣3），
∴PQ=3﹣（﹣3）=6，
∴S△APC=S△APQ+S△CPQ= PQ 5=×6×5=15；
（3）①证明：∵∠APE=∠CPE，
而PH⊥AD，
∴△PAD为等腰三角形，
∴AH=DH，
设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则OH=﹣x，OD=﹣x﹣DH，
∵PH∥OC，
∴△PHD∽△COD，
∴PH：OC=DH：OD，即（﹣x2﹣6x﹣5）：5=DH：（﹣x﹣DH），
∴DH=﹣x﹣，
而AH+OH=5，
∴﹣x﹣x﹣=5，
整理得2x2+17x+35=0，解得x1=﹣，x2=﹣5（舍去），
∴OH=，
∴AH=5﹣=，
∵HE∥OC，
∴===；
②能．设P（x，﹣x2﹣6x﹣5），则E（x，﹣x﹣5），
当PA=PE，因为∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，则点P与B点重合，此时P点坐标为（﹣1，0）；
当AP=AE，如图2，则PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，3）；
当E′A=E′P，如图2，AE′=E′H′=（x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，则x2+5x=（x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=，此时P点坐标为（，﹣7﹣6），
综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能运用相似比计算线段的长；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．
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难题突破专题四 特殊三角形存在性问题
特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．
类型1 等腰三角形存在性问题
例题（2024 雅安）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解题方法点析
对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．
类型2 全等（相似）三角形存在性问题
例题（2024 内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D的横坐标．
类型3 直角三角形存在性问题
例题如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
同步训练：（2017江苏徐州）如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（ ），C（ ）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．
解题方法点析
本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．
专 题 训 练
1. （2024 齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（﹣1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为 ．
2. （2024 眉山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
4. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
5.如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点
（1）当m=2时，a=﹣，当m=3时，a=﹣；
（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=﹣；
（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．
6.如图1，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A（﹣5，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣5），点P是抛物线上的动点，连接PA、PC，PC与x轴交于点D．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P的坐标为（﹣2，3），请求出此时△APC的面积；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点H，交直线AC于点E，如图2．
①若∠APE=∠CPE，求证：；
②△APE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
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