19.2.1.2 正比例函数的图象和性质 课件(共25张PPT)

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名称 19.2.1.2 正比例函数的图象和性质 课件(共25张PPT)
格式 pptx
文件大小 3.0MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-04-25 08:42:46

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文档简介

人教八下数学
同步精品课件
人教版八年级下册
2025年春八下数学情境课堂课件
19.2 一次函数
19.2.1.2
正比例函数的图象和性质
第19章 一次函数
1. 会画正比例函数的图象.
2. 能根据正比例函数图象探究正比例函数的性质.
3. 能根据正比例函数的解析式,画出函数图象,知道函数图象的性质;
4. 能根据正比例函数图象及性质解决相关问题.
学习目标
1.下列函数哪些是正比例函数?
(1)y=-3x ; (2)y= x + 3;
(3)y= 4x; (4)y= x2.
新课引入
2.这类函数的图象是什么?有什么特点呢?
3.如何画它们函数图象呢?
(1)、(3)是正比例函数.
这就是我们本节课将要学习的内容!
一般地,形如 y = kx (k 是常数,k ≠ 0) 的函数,叫做正比例函数.
画出下列正比例函数的图象.
新知学习
(1)y=2x , y= x;
解:(1)函数y=2x 和y= x中自变量 x可取任意实数,列表:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x

-2
-1
0
1
2

y=2x


y = x


-4
-2
0
2
4
0
O
-1
y=2x
4
-4
描点、连线:在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. 将这些点连接起来.
1
2
3
4
-4
-3
-2
x
y
得到另一条经过原点和第一、第三象限的直线 . 它就是函数y = x 的图象.
得到一条经过原点和第一、三象限的直线. 它就是函数 y= 2x的图象.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x

-2
-1
0
1
2

y=2x

-4
-2
0
2
4

y = x

0

(3)y= ?1.5x , (4)y=-4x .
?
画出下列正比例函数的图象.
解:函数y= ?1.5x 和y= ?4x 中自变量 x可取任意实数,列表:
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x

-2
-1
0
1
2

y= -1.5x


y= ?4x


{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x

-2
-1
0
1
2

y= -1.5x




3
1.5
0
-1.5
-3
-8
4
0
-4
8
描点、连线: 在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. 将这些点连接起来.
得到另外一条经过原点和第二、四象限的直线 . 它就是函数y = - 4 x 的图象.
得到一条经过原点和第二、四象限的直线. 它就是函数y = -1.5x的图象.
y=-1.5x
O
1
2
3
4
-3
3
-4
-3
-2
-1
x
y
y=-2x
4
-4
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x

-2
-1
0
1
2

y=1.5x

3
1.5
0
-1.5
-3

y= ?4x

8
4
0
-4
-8

{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x

-2
-1
0
1
2

y=1.5x

3
1.5
0
-1.5
-3


8
4
0
-4
-8

思考
从以上的函数图象中,你发现什么特点?
4 个正比例函数的图象都是一条经过原点的直线.
其中函数y=2x 和 y= x 的图象经过第一、第三象限,从左向右上升;
函数 y= ?1.5x 和 y= ?4x 的图象经过第二、第四象限,从左向右下降.
?
y=2x
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y=????????x
?
y=-1.5x
O
1
2
3
4
-3
3
-4
-3
-2
-1
x
y
y=-4x
任意写一个正比例函数解析式,并画出它的图象,和上面的4个函数图象对比,你发现了什么?
做一做
它们的函数图象都是经过原点的一条直线,并且图象大致分为两种:
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y =kx
y = -kx
当k>0时,函数图象经过第一、第三象限,从左向右上升;
当k<0时,函数图象经过第二、第四象限,从左向右下降.
一般地,正比例函数 y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线 y=kx.
当k>0时,直线 y=kx 经过第一、第三象限,从左向右上升,即随着 x 的增大 y 也增大;
当k<0时,直线 y=kx 经过第二、第四象限,从左向右下降,即随着 x 的增大 y 反而减小.
思考
1.经过原点与点(1,k)(k是常数,k≠0)的直线是哪个函数的图象?
这个函数是 y=kx的形式,再由x=1时,y=k确定这个函数是 y=kx.
2.怎么画正比例函数的图象最简单?
根据“两点确定一条直线”,所以找出正比例函数y=kx(k≠0)的图象上的两点即可画出函数图象.
一般地,过原点和点 (1 , k) (k是常数,k≠0)的直线,即正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象:
(1) y = x;(2) y = -3x.
y = x 是经过 (0 , 0),(1, ) 的直线.
y = x
y = -3x 是经过 (0 , 0),(1, -3) 的直线.
y = -3x
例2 已知正比例函数y=(1-3k)x.
(1)当k为何值时,函数图象经过第二、四象限?
解:由题意可得1-3k<0,解得k> .
(2)若x的值每增大2,y的值增大8,求k的值.
由题意可得1-3k= ,解得k=-1.
(3)当y随x的增大而增大时,求k的取值范围.
题意可得 1-3k>0 ,解得k< .
例2 已知正比例函数y=(1-3k)x.
(4)已知点P(2,-4k)是函数图象上一点.
①求k的值;
解: 将点(2,-4k)代入函数y=(1-3k)x中,
得2(1-3k)=-4k,
解得k=1,
∴ y = -2x
解:方法1:直接代入求值,再比较: ∵k=1,∴(1-3k)=-2,∴y=-2x,
当x=2时,y1=-4;
当x=-4时,y2=8;
∴ y1<y2.
方法2:根据增减性比较:
∵k=1,
∴(1-3k)=-2,
∴y随x的增大而减小,
又2>-4,
∴ y1<y2.
正比例函数y=(1-3k)x. (k=1)
②当(2,y1)、(-4,y2)为函数图象上一点,比较y1与y2的大小.
确定k的符号,用增减性比较大小更简单.
例2 已知正比例函数y=(1-3k)x.
(5)当-1≤ x ≤2时,函数的最大值为8,求此时k的值.
解:当1-3k>0,即k< 时,
此时函数图象大致如图:
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y随 x 的增大而增大,
∴当x=2时,函数取最大值,即2(1-3k)=8,
解得k=-1,符合题意;
当1-3k<0,即k> 时,此时函数图象如图所示:
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y随x的增大而减小,
∴当x=-1时,函数取最大值,
即-(1-3k)=8,
解得k=3,符合题意.
综上所述,当k的值为-1或3时,
函数在-1 ≤ x ≤ 2时有最大值8.
1. 在平面直角坐标系中,正比例函数 y = kx (k < 0) 的大致图象是 ( )
A
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
D
C
B
随堂练习
(1)函数y=3x的图象经过第 、 象限,经过点(0, )和点( ,3),y随x的增大而 .


0
1
增大
(2)函数y=-2x的图象经过第 、 象限,经过点(0, )和点(-1, ),y随x的增大而 .


0
2
减小
2.填空:
(3)对于正比例函数 y = kx,当 x 增大时,y 随 x 的增大而增大,则 k 的取值范围为 .
k > 0
3.已知点A(2,y1),B(5,y2)都在正比例函数y=3x的图象上,y1与y2的大小关系是什么?
方法二:根据增减性比较
∵3>0
∴y随x的增大而增大
又∵2<5
∴y1<y2
方法一:直接代入求值比较
当x = 2时,y1 =6;
当x = 5时,y2 =15;
∴y1<y2
解:
图象
正比例函数的
图象和性质
正比例函数 y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是
一条经过原点的直线,我们称它为直线 y=kx.
性质
过原点和点(1,k)(k是常数,k≠0)的直线,即正比例函数y=kx(k≠0)的图象.
当k>0时,直线 y=kx 经过第一、第三象限,从左向右上升,即随着 x 的增大 y 也增大;
当k<0时,直线 y=kx 经过第二、第四象限,从左向右下降,即随着 x 的增大 y 反而减小.
画法
课堂小结
比较大小的方法
法一:直接代入求值比较;
法二:根据增减性比较.
谢谢
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