19.2.3.1 一次函数与方程、不等式课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
人教八下数学
同步精品课件
人教版八年级下册
2025年春八下数学情境课堂课件
19.2 一次函数
19.2.3.1
一次函数与方程、不等式
第19章 一次函数
1. 知道一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.
2. 能根据一次函数图象求方程的解和不等式的解集.
学习目标
新课引入
1.求出一次函数y=2x-6与x轴的交点，y轴的交点，并解释其含义；
x
y
O
(3,0)
(0,-6)
y=2x-6与x轴的交点(3，0)，可以看做是y=0时，x的值；
y=2x-6与y轴的交点(0，-6)，可以看做是x=0时，y的值.
x
y
O
(3,0)
(0,-6)
y=2x-6与x轴交点(3，0)的横坐标，可以看做是方程2x-6=0的解；
y=2x-6与y轴的交点(0，-6)，可以看做与函数y=-6的交点
y=-6
x=3
2.一次函数y=2x-6和方程 2x-6=0，函数y=-6有什么关系？
y=2x-6
3.一次函数y=2x-6变形为2x-y=6，请判断2x-y=6还是一次函数吗？
2x-y=6是二元一次方程，也是一次函数.
4.函数解析式与图象的关系？
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数y=kx+b
的图象（直线 l）
选取
解出
选取
画出
从数到形
从形到数
5.一次函数y=2x-6图象上的点与方程2x-y=6的解有什么关系？
1.下面3个方程有什么共同点和不同点？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1.
新知学习
思考1
共同点：等号左边都是 2x+1.
不同点：等号右边不同，分别是3、0、-1.
2.你能从函数的角度解释这3个方程吗？
从函数的角度看，解这3个方程相当于一次函数 y = 2x +1的函数值分别为 3、0、-1 时，求自变量x 的值.
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1.
还能怎么理解呢？
2x + 1 = 3 的解
2x + 1 = 0 的解
2x + 1 = -1 的解
或者说，在直线 y=2x+1 上取纵坐标分别为 3，0，-1 时，横坐标的值.
ax + b =0 (k≠ 0) ， 解得：x=
数：方程ax + b =0的解
形：直线 y=ax + b 与x轴交点横坐标
任何一个以 x 为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b=0 (a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax＋b的函数值为0时，求自变量 x 的值.
y = ax + b
一次函数与一元一次方程的关系：
2.从函数的角度，还可以如何解释这3个方程
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
y
y
y
从函数图象看：
方程2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1的解，也可以看成是直线 y = 2x + 1分别与直线y=3，y=0，y=-1交点的横坐标.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y = 2x + 1
y=3
y=0
y=-1
归纳总结
①方程 kx+b=n (k≠0) 的解 函数 y=kx+b (k≠0) 中，y=n 时 x 的值.
特别地，方程 kx+b=0解 函数 y=kx+b与x轴交点横坐标.
②方程 kx+b=n (k≠0) 的解 函数 y=kx+b (k≠0) 的图象与直线 y=n 的交点的横坐标.
P
y
x
O
y=kx+b
y=n
数到形
形到数
n
数到形
形到数
数到形
形到数
x=-3
例1 已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点为(-3,0)，则一元一次方程 kx+b=0 的解为 .
变式（2024 扬州）如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________．
解析：∵OA＝2，∴A(－2，0)，∴当y＝kx＋b＝0时，x＝－2，
∴方程的解为x＝－2.
x＝－2
方法总结
利用一次函数的图象求一元一次方程ax+b=0解的步骤：
（1）转化：将一元一次方程ax+b=0化为一次函数y=ax+b；
（2）画图象：画出一次函数y=ax+b的图象；
（3）找交点：找出一次函数y=ax+b图象与 x 轴的交点，则交点的横坐标即为一元一次方程ax+b=0的解.
1.下面3个不等式有什么共同点和不同点？
(1) 3x + 2 > 2； (2) 3x + 2 < 0； (3) 3x + 2 < -1.
思考2
共同点：不等号左边都是 3x + 2 .
不同点：不等号及不等号右边不同.
2.你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？
从函数的角度看，这3个不等式相当于求一次函数 y = 3x + 2的函数值分别> 2、 <0、<-1 时，自变量x 的取值范围.
(1) 3x + 2 > 2； (2) 3x + 2 < 0； (3) 3x + 2 < -1.
还能怎么解释呢？
y = -1
或者说，当函数 y=3x + 2 的图象位于直线y = 2上方部分、位于x轴下方部分、位于直线y =-1下方部分对应的自变量x的值；
y = 0
y = 2
x = 0
x＞0
从图象可得，不等式的解集分别为：
x＞0，
x =
x = -1
x＜-1
x＜-1.
(1) 3x + 2 > 2； (2) 3x + 2 < 0； (3) 3x + 2 < -1.
任何一个以 x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax＋b>0 或ax＋b<0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax＋b的函数值大于0或小于0时，求自变量 x 的取值范围.
y = ax + b
一次函数与一元一次不等式的关系：
x 的取值范围
x 的取值范围
数：不等式的解集
形：直线在x轴上方或者下方部分对应的x的取值范围
归纳总结
数的角度：
不等式kx＋b>0(k≠0)（或kx＋b<0）的解集 在函数y＝kx＋b(k≠0)中，y>0（或y<0）时x的取值范围．
形的角度：①如图①，不等式kx＋b>0（或如图②kx＋b<0）的解集 直线y＝kx＋b(k≠0)在x轴上方（或在x轴下方）部分所对应的x的取值范围．
图②
图①
归纳总结
①不等式kx＋b＞n(k≠0)的解集 直线y＝kx＋b(k≠0)在直线y＝n上方的部
分所对应的x的取值范围；
②不等式kx＋b＜n(k≠0)的解集 直线y＝kx＋b(k≠0)在直线y＝n下方的部
分所对应的x的取值范围．
例2 根据下列一次函数的图象，直接写出一元一次不等式的解集.
（1）一元一次不等式-x+3>0 的解集为： .
x<3
y
x
O
3
3
y=-x+3
（2）一元一次不等式-x+3<0 的解集为： .
x>3
1.如图，若一次函数 y=kx+b 的图象经过点（2，0）和（0，-3），则方程 kx+b=0 的解为（ ）
A. x=0 B. x=2
C. x=-3 D. 不能确定
B
函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标.
随堂练习
与x交点坐标，即y=0
与y交点坐标
2.一次函数 y=kx+b 的图象如图所示，则方程 kx+b=0 的解为 ，方程 kx+b=2 的解为 .
x=-1
x=0
直线 y=kx+b 与 x 轴的交点的横坐标
直线 y=kx+b 与直线 y=2交点的横坐标
3.已知一次函数 y=2x+3.
当 x= 时，函数的值为 0；
当x 时，函数的值 >0；
当 x 时，函数的值 <0.
y
x
O
3
y=2x+3
-
y<0
y＞0
与一元一次方程
一次函数
与方程、
不等式
与一元一次不等式
课堂小结
数：不等式的解集
形：直线在x轴上方或者下方所对应的取值范围
数：方程ax + b =0的解
形：直线 y=ax + b 与x轴交点横坐标
谢谢
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