北京市丰台区2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（B卷）（图片版，含答案）

2025北京丰台高二（下）期中
数 学（B卷）
考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本部分共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出最符合题意的一项.
1.计算： A25 =
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
2.如图，函数 y = f (x)在 A，B 两点间的平均变化率等于
A. 1 B. 1
C. 2 D. 2
3.用数字 1，2，3，4 组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
4.函数 y = x ln x 的单调递减区间为
A. ( ,1) B. (0,1) C. (1,+ ) D. (0,+ )
5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 且 an+1 = 3an ， a3 = 9 ，则 S3 =
A. 7 B. 13 C. 18 D. 63
6.某社区计划在端午节前夕按如下规则制作香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味
中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有
A. 13 种 B. 14 种 C. 15 种 D. 16 种
7.函数 f (x) = cos x + xsin x 在区间[0,π]上的最小值与最大值分别为
π π
A． 1，1 B．0，1 C．1， D． 1，
2 2
8.已知函数 f (x) = ae
x x 在区间 (1,+ )上单调递增，则实数 a 的取值范围是
1 1
A． ( , ] B．[ ,+ ) C． ( ,e] D．[e,+ )
e e
x2 ln x1 x1 ln x2
9.若对于任意的m x 21 x2 ，都有 ，则实数m的最小值为
x1 x2
1 1
A． e B．2 C． D．
2 e
10.已知无穷数列 {an} 的各项均为正数，如果对任意的正整数 n，都存在唯一的正整数 m，使得
am = a1 + a2 + + an ，那么称{an}为“内和数列”，并令 bn = m，称{bn}为{an}的“伴随数列”，给出
下列四个结论：
①若{an}为等差数列，则{an}为内和数列；
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②若{an}为等比数列，则{an}为内和数列；
③若内和数列{an}为递增数列，则其伴随数列{bn}为递增数列；
④若内和数列{an}的伴随数列{bn}为递增数列，则{an}为递增数列.
其中所有正确结论的个数是
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
1
11. 二项式 (x )4的展开式的常数项为 .
x
12. 函数 f (x) = ln π + e2x 的导数为 .
13. 已知函数 f (x) 的定义域为R ， f ( 1) = 2，对任意 x R ， f (x) 1，则 f (x) x + 3 的解集为 .
14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求 1到 100这 100个自然数的和
时，10 岁的高斯是这样算的：1+100 =101 ， 2 + 99 =101，…， 50 + 51=101 ，共有 50 组，所以
1+ 2 + 3+ +100 = 50 101= 5050 ，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前 n 项和的方法正
是借助了高斯算法.已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于 1， a1a2024 =1，试根据提示探
1
究：若 f (x) = ，则 f (a1) + f (a2 ) + + f (a2024 ) = .
1+ x
2
15. 已知函数 f (x) = x 2x + 2t ， g(x) = ex t .给出下列四个结论：
①当 t = 0时，函数 y = f (x)g(x) 有两个极值点；
②当 t = 0时，函数 y = f (x)g(x) 没有最小值；
③ t R ，函数 y = f (x) + g(x) 都有最小值；
④ t R ，使得方程 f (x) + g(x) = 0 有两个根且两根之和小于 2.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共 6 小题,共 85 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.（本小题共 14 分）
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且满足 a1 =1， an+1 = 2an +1 .
（Ⅰ）证明：数列{an +1}为等比数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式及 Sn .
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17. （本小题共 13 分）
已知 (2x 1)n = a + a x + a 2 n *0 1 2x + + anx ， n N ，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知
条件，完成下列问题.
（Ⅰ）直接写出 n 的值；
（Ⅱ）求含 x3 项的系数；
（Ⅲ）求 a1 + a2 + + an的值.
条件①：展开式中只有第 6 项的二项式系数最大；
条件②：展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等；
条件③：展开式中所有二项式系数的和为 210 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. （本小题共 14 分）
已知等差数列{an}的公差为 d ，前 n 项和为 Sn ，满足 a1 = 2， d 0 ，且 a4 是 a2 与 a8 的等比中项.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
1
（Ⅱ）求数列{ }前 n 项和Tn .
Sn
19. （本小题共 15 分）
已知函数 f (x) = ax3 + bx 在 x =1处有极值 2.
（Ⅰ）求 a,b 的值；
（Ⅱ）若 f (x)≥k 在 x [ 3，3]时恒成立，求实数 k 的取值范围；
x
（Ⅲ）设 g(x) = e f (x) ，求证： g(x) 恰有两个极值点.
20. （本小题共 15 分）
x2
已知函数 f (x) = a ln x + (a +1) x ， a R .
2
（Ⅰ）当 a = 1时，求函数 f (x) 在点 (1,f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[2,e]上的最小值；
（Ⅲ）当 a≤1时，判断函数 f (x) 的零点个数.（只需写出结论，不要求证明）
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21. （本小题共 14 分）
已知数列{a }满足 a = a + a *n n+1 n n+2 （ n N ）.
（Ⅰ）若 a1 =1， a2 = 3，请写出该数列的前 6 项，并求出该 6 项的和；
（Ⅱ）设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，如果 S1492 =1985 ， S1985 =1492 ，求 S2025 ；
（Ⅲ）若 a 0 （ n *n N ），设T = a a a a
*
n 1 2 3 n ，是否存在 m N ，使得Tm+6 =Tm +Tm+12 ？若存在，求出
m的值；若不存在，请说明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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参考答案
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B A C D B D B
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
2x
11．6 12． 2e 13． ( , 1)
14．1012 15．①③④
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题 14 分）
a +1 2a +1+1 2(a +1)
解：（I）证明：因为 n+1 = n = n = 2 ， ..............4 分
an +1 an +1 an +1
数列{an +1}的首项为 a1 +1= 2 ， ..............6 分
所以数列{an +1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列； ..............7 分
（II） an +1= 2 2
n 1 = 2n ， ..............9 分
所以 an = 2
n 1,n N* ， ..............10 分
1 2 n
所以 Sn = a1 + a2 + + an = 2 1+ 2 1+ + 2 1
1 2 n 2(1 2
n )
= (2 + 2 + + 2 ) n = n = 2
n+1 n 2 . ..........14 分
1 2
17. （本小题 13 分）
解：（I） n =10； ..............3 分
（II） 3在二项展开式中，含 x 的项是
C310 (2x)
3( 1)7 =120 8x3 ( 1) = 960x3 ，
3
所以含 x 项的系数是 960； ..............8 分
（III）当 x =1时，可得 a0 + a1 + a2 + + an =1；
当 x = 0 时，可得 a0 =1；
所以 a1 + a2 + + an = 0 . ..............13 分
18. （本小题 14 分）
解：（I）在等差数列{an}中， a4 是 a2 与 a8 的等比中项
2
所以 a4 = a2 a8 ..............2 分
所以 (a1 + 3d )
2 = (a1 + d ) (a1 + 7d ) ..............4 分
因为 d 0 ，解得 d = 2 ， ..............6 分
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所以 an = 2 + (n 1) 2 = 2n,n N
*
. ..............8 分
n(2 + 2n)
（II）因为 Sn = = n(n +1)， ..............10 分
2
1 1 1 1
所以 = = ， ..............12 分
Sn n(n +1) n n +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以Tn = + + + = + + +
S1 S2 Sn 1 2 2 3 n n +1
1 n
=1 = . ..............14 分
n +1 n +1
19.（本小题 15 分）
解：（I） f (x) = 3ax2 + b ， ..............1 分
依题意得 f (1) = 3a + b＝0， f (1) = a + b = 2， ..............3 分
解得 a = 1,b = 3， ..............4 分
经检验，当 a = 1,b = 3时 f (x)在 x =1 处取得极大值 2； ......5 分
（II） f (x) k 在 x [ 3，3]时恒成立等价于 f (x)最小值 k ，
由 f (x) = 3x2 +3=0 ，解得 x= 1 ..............6 分
当 x变化时， f (x)与 f ( x)的变化情况如下：
x ( 3, 1) ( 1,1) （1，3）
f (x) +
f ( x) 单调递减 单调递增 单调递减
..............8 分
f ( 1) = 2 ， f ( 3) = 0 ， ..............9 分
当 x = 1时， f (x) 最小值为 f ( 1) = 2 .
所以 k 2； ..............10 分
（Ⅲ） g(x) = ex f (x) = ex ( 3x2 + 3)
g (x) = ex ( 3x2 + 3)+ ex ( 6x)= 3ex (x2 + 2x 1) ..........11 分
由 g (x) = 0，解得 x1 = 1 2 ， x2 = 1+ 2 ..............12 分
当 x 变化时， g (x)与 g ( x)的变化情况如下：
x ( , x )
1 x1 （x1，x2 ) x2 （x2，+ )
g ( x) 0 + 0
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g (x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
..............14 分
当 x=x1时， g (x)有极小值；当 x=x2 时， g (x)有极大值.
所以 g (x)恰有两个极值点. ..............15 分
20.（本小题 15 分）
x2
解：（I）当 a = 1时， f (x) = ln x + ，
2
1 1
f (1) = ，所以切点为 (1, ) ， ..............1 分
2 2
1
f (x) = + x， ..............2 分
x
k = f (1) = 1+1= 0， ..............3 分
所以函数 f (x) 在点 1(1, f (1))处的切线方程为 y = . .............4 分
2
a (x a)(x 1)
（II） f (x) = + x (a +1) = ，
x x (x 0)
.............5 分
当 a 2时， f (x) 0在区间 2,e 上恒成立，函数 f ( x)单调递增，
函数 f ( x)的最小值为 f (2) = a ln 2+ 2 2(a +1) = a ln 2 2a ，
.............7 分
当 a e时， f (x) 0在区间 2,e 上恒成立，函数 f ( x)单调递减，
2 2
函数 f ( )
e e
x 的最小值为 f (e) = a + e(a +1) = a ea + e，
2 2
.............9 分
当 2 a e时，
x （2，a) (a, e）
f (x) 0 +
f ( x) 单调递减 单调递增
a2 a2
函数 f ( x)的最小值为 f (a) = a ln a + a (a +1) = a ln a a .
2 2
.............11 分
综上可得：当 a 2时，函数 f ( x)的最小值为 f (2) = a ln 2 2a ，
2
当 a e时，函数 f ( )
e
x 的最小值为 f (e) = a ea + e，
2
a2
当 2 a e时，函数 f ( x)的最小值为 f (a) = a ln a a .
2
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1
（III）当 a 时，函数 f ( x)无零点， .............12 分
2
1
当 a= 或0 a 1时，函数 f ( x)的零点个数为 1，.............14 分
2
1
当 a 0 时，函数 f ( x)的零点个数为 2. .............15 分
2
21. （本小题 14 分）
解：（I）数列{an}的前 6 项分别是 1，-3，-4，-1，3，4，
且前 6 项的和为 0. .............3 分
（II）由 an+1 = an + an+2 可得， an+2 = an+1 an ， an+3 = an+2 an+1 = an+1 an (an+1) = an ，
an+4 = an+3 an+2 = ( an ) (an+1 an ) = an+1 ， an+5 = an+4 an+3 = ( an+1) ( an ) = an an+1 ，
an+6 = an+5 an+4 = (an an+1) ( an+1) = an ，
所以数列{an}以 6 为周期的周期数列，且 S6 = 0，.............6 分
S1492 =1985, 2a2 a1 =1985, a1 = 999,
由题意 得 解得
S1985 =1492, a2 a1 =1492, a2 = 493,
所以 S2025 = a1 + a2 + a3 = 999 + 493+ [493 ( 999)] = 986 .
.............9 分
（III）由题意，Tm = a1a2a3 am ，Tm+6 =Tmam+1am+2am+3am+4am+5am+6 ，
T 2m+12 =Tm (am+1am+2am+3am+4am+5am+6 ) ，
*
因为 an 0（ n N ），所以 am+1am+2am+3am+4am+5am+6 0，
所以Tm ，Tm+6 ，Tm+12 成等比数列，且公比 q = am+1am+2am+3am+4am+5am+6 ，
2
所以Tm+6 =Tmq ，Tm+12 =Tmq ，
若存在m *
2
N ，使得Tm+6 =Tm +Tm+12 ，则有Tmq =Tm +Tmq ，
2 2 2 1 3
而Tm 0 ，则有 q =1+ q ，即 q q +1= 0，而 q q +1= (q )
2 + 0 ，
2 4
因此不存在m *N ，使得Tm+6 =Tm +Tm+12 . .............14 分
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