2024-2025学年安徽省智学大联考·皖中名校联盟高一下学期期中检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省智学大联考·皖中名校联盟高一下学期期中检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.，为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是( )
A. ，，则
B. ，与所成角均为，则
C. ，，，则直线，到的距离相等
D. ，，则
3.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的周长为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，该几何体为“四角反棱台”，它是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点若下底面正方形边长为，“四角反棱台”高为，则该几何体体积为( )
A. B. C. D.
8.已知一个圆台的上、下底面半径分别为和，高为若该圆台内有一个正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.下列关于复数的说法中，正确的是( )
A. 若复数满足满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
B. 若复数的平方是纯虚数，则复数的实部和虚部相等
C. 若，则为实数
D. 若，则
11.已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是( )
A. 直线与直线所成的角为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 平面
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高______．
13.正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆与分别交于于两点，若为劣弧上的动点，则的取值范围为______．
14.如图所示，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的最小值是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，．
若为纯虚数，求的值；
若最小时，复数是实系数一元二次方程的一个根，求．
16.本小题分
在中，，，分别为角，，的对边，向量，且
求角
若角的平分线交于点，，，求的周长．
17.本小题分
如图所示，平行四边形中已知，，点在边上运动，
若点为边的中点，求的余弦值；注：
判断是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为．
证明面；
当平面时，面与交于，求的值；
19.本小题分
骆岗公园拟建一个平面凸四边形的绿色草坪，并在处设置一个旗杆，，其中旗杆米，米，米，为正三角形计划将作为合肥市民休闲娱乐的区域，将作为骆岗公园的文化介绍区域．
若米，求在处观测旗杆顶端处的仰角的正弦值；
若米，求文化介绍区域的面积；
求休闲娱乐的区域的面积的最大值．
参考答案
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15.解：因为 是实数， 是纯虚数，所以 ，且，
故
因为 ，
当且仅当 时取等号，此时 ，
所以方程 的两个根为
所以 ，即 ，故 ．
16.因为，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
从而 ，
在 中，角 的平分线交 于点 ， ，
由三角形内角平分线定理可知： ，
设 ，则 ，
由余弦定理可得： ，
，即 ，
周长为
17.解：由题意，得 ， ，
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，
，
所以 ， ，
所以 ；
， ，
若 ，则 ，
化简得： ，解得 ，
故存在存在点，使得 ，且
18.解： ， 平面 ， 平面 ，
面 ，
又 面 ，面 面 ， ，
又 面 ， 面 ， 面
设 如图，连接 交 于点 ，连接 ，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
，
在梯形 中， ， ， ，
， ，
作 交 于 ，

故
19.解：因为 米， 米， 米，所以 又因为 为正三角形，所以 ，
故由余弦定理可得 ，
所以 ；
因为 ，所以 ，
因为 ，设 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ， ，
此时
不妨设 ， ，
于是由余弦定理得 ，
，
，

，
所以
当且仅当 时取等号， 最大值为


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