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微专题2 特殊方法测量物质的密度
必备知识概览
类型一 只有天平，缺量筒
器材及方法 实验步骤 表达式及实验简图
测固体
密度 器材：天平、水、玻璃瓶、待测石块
(等体积法：
V溢水＝V石) 1．用天平测出石块的质量m0
2．玻璃瓶装满水，用天平测出总质量m1
3．将石块浸没在水中，擦干溢出的水，再测出石块、水、玻璃瓶总质量m2，则溢出水的质量m0＋m1－m2
器材及方法 实验步骤 表达式及实验简图
测液体
密度 1．用天平测出空烧杯的质量m0
2．用天平测出装满水烧杯的质量m1
3．将烧杯中的水倒掉擦干，装满待测液体，测出烧杯和待测液体的总质量m2
类型二 只有量筒，缺天平
器材及方法 实验步骤 表达式及实验简图
测固体
密度 器材：量筒、水、大头针、待测物块(可漂浮) 1．在量筒内倒入适量的水，测出体积V1
2．使物块漂浮在量筒内的水面上，测出体积V2
3．(针压、变形等)使物块浸没水中，测出总体积V3
器材及方法 实验步骤 表达式及实验简图
测固体
密度 器材：量筒、水、小玻璃杯(能放进量筒)、待测物块(不可漂浮) 1．使玻璃杯漂浮在量筒内的水面上，测出体积V1
2．将物块放入玻璃杯中，共同漂浮在量筒内的水面上，测出体积V2
3．将玻璃杯内的物块取出浸没水中，测出体积为V3
类型三 其他方法
器材及要点 实验步骤 表达式及实验简图
浮力测
固体
(液体)密度 器材：弹簧测力计、水、烧杯、细线、待测石块、待测液体
(要点：F浮＝G－F示，求物块体积) 1．弹簧测力计测出石块在空气中的重力G
2．将石块浸没在水中，测出此时测力计的拉力F1
3．用G－F1得出F浮，可求出石块的体积
4．计算出石块的密度
5．将石块浸没在液体中，测出测力计的拉力F2
6．计算出液体的密度
器材及要点 实验步骤 表达式及实验简图
杠杆测
固体密
度 器材：水、烧杯、刻度尺、直木棒、细线、石块、待测矿石 1．用细线悬挂直木棍水平平衡，细线处作支点
2．用细线拴好矿石挂在支点左侧，在支点的右侧挂一石块，移动矿石和石块悬挂的位置直到木棍水平平衡
3．用刻度尺分别量出悬挂矿石、石块处到支点的距离为l1、l2，如图甲所示
4．将矿石浸没在水中，移动悬挂石块的位置直到木棍再次水平平衡
5．用刻度尺量出悬挂石块处到支点的距离为l3，如图乙所示
器材及要点 实验步骤 表达式及实验简图
压强法
测液体
的密度 器材：水、橡皮膜、细线、两端开口的玻璃管、刻度尺、待测液体
(要点—等压强法：橡皮膜平时，p上＝p下，即ρ液gh液＝ρ水gh水) 1．先在玻璃管一端扎上橡皮膜，然后将有橡皮膜的一端浸入水中，测出深度h1
2．在玻璃管中加入待测液体，直到橡皮膜变平，测出管内液体到管底橡皮膜的高度h2
分类针对训练
类型一 缺量筒
1．(2024·泰安期末节选)小明只用天平、烧杯和水测量出了小石块的密度，设计方案如下：
(1)先用天平测出石块的质量m1。
(2)将烧杯中装满水，用天平测出烧杯和水的总质量为m2。
(3)将小石块轻轻地放入烧杯中使其完全浸没，待水溢出稳定后，测得烧杯、烧杯内的水和小石块的总质量为m3。
(4)若水的密度用ρ水表示，依据上述实验过程，小石块体积为V石＝
_________________(用已知量和所测物理量的字母表示)，小石块密
度的表达式为：ρ石＝______________(用用已知量和所测物理量的字母表示)。
类型二 缺天平
2．(2024·泰安一模节选)小明想设计一个创新实验来测量矿石密度。他在实验室选取了圆柱形容器、烧杯、水、刻度尺、细线和矿石，且圆柱形容器的底面积是烧杯底面积的3倍，并利用所选器材设计了如图所示的实验测量出了矿石的密度，步骤如下：
(1)在圆柱形容器中装入适量水，如图甲所示，将平底烧杯放入水中，烧杯静止时容器中水的深度为H1；
(2)将矿石放入烧杯中，如图乙所示，烧杯静止时露出水面的高度为h1，容器中水的深度为H2；
(3)用细线(忽略其质量体积)将矿石拴在烧杯底部，如图丙所示，烧杯静止时露出水面的高度为h2；
(4)烧杯视为粗细上下均匀的容器，则待测矿石密度的表达式ρ石＝
____________(用已知和测量物理量字母及ρ水表示)。
类型三 压强法
3．通过学习，小彬利用掌握的液体压强知识测量
实验所用盐水的密度，过程如下：
(1)向如图所示的容器的左侧倒入适量的水，橡皮膜向右凸起。
(2)再向容器中的右侧缓慢倒入盐水，直至橡皮膜________。
(3)测得水面到橡皮膜中心的深度为h1；测得盐水液面到橡皮膜中心的深度为h2。
(4)可推导出该盐水密度的表达式为ρ盐水＝________(用h1、h2、ρ水表示)。
两边相平
类型四 浮力法
4．(2024·泰安一模节选)物理创新小组的同学们想利用天平和量筒等实验器材测量一小块泰山石的密度。实验结束后，同学们经过认真思考，认为不用砝码，使用托盘天平、两个相同的烧杯、量筒和水等器材也能测出泰山石的密度。请你帮助他们将实验过程补充完整：
(1)将两个相同的烧杯分别放在已调节好的托盘天平的左右两盘中，向两烧杯中加入适量的水至托盘天平平衡，如图甲所示；
(2)在量筒中加入适量的水，记录量筒中水的体积V1；
(3)__________________________________________________，用量筒向右盘的烧杯中加水至托盘天平平衡，如图乙所示，记录此时量筒中水的体积V2；
(4)让泰山石缓慢沉至杯底，松开细线，______________________ _______________________，如图丙所示，记录此时量筒中水的体积V3；
(5)泰山石密度的表达式为ρ＝__________(用已知物理量ρ水和测得物理量V1、V2、V3表示)。
用细线提着石块使其浸没于烧杯的水中，且不接触杯底
用量筒向右盘的烧杯中
加水至托盘天平平衡
[解析] 为测出泰山石的体积，步骤(3)中的操作是用细线提着石块使其浸没于烧杯的水中，且不接触杯底。为测出泰山石的质量，步骤(4)中泰山石缓慢沉至杯底且松开细线后天平不平衡，需用量筒向右盘的烧杯中加水至托盘天平平衡。步骤(3)中泰山石受到细线的拉力、水对它的浮力以及自身的重力，由力的平衡条件可得F拉＋F浮＝F拉＋ρ水gV排＝G石，所以有F拉＝G石－ρ水gV排，因为石块浸没于烧杯的水中，所以石块排开水的体积就等于石块的体积，将石块、烧杯和水整体进行分析，可知其受到总重力、细绳的拉力和天平对它的支持力，三者的关系为N2＋F拉＝G总＝G水＋G烧杯＋G石，加入石块前，托盘对水和烧杯的支持力就等于水和烧杯的总重力，即N1＝G水＋G烧杯，右端烧杯与水的总重力的增量就等于
类型五 密度计
5．(2024·泰安期末)小明学习了浮力的知识后，自制简易密度计并测定盐水的密度。
实验器材：刻度尺、圆柱形竹筷、细铅丝、烧杯、水、待测盐水。
实验步骤：①在竹筷的一端缠上适量细铅丝，制成简易密度计。
②用刻度尺测出竹筷的长度为l。
③把简易密度计放入盛水的烧杯中，静止后用刻度尺测出
露出液面竹筷的长度为h1(如图所示)。
④把简易密度计拿出来擦干，放入盛盐水的烧杯中，静止后用刻度尺测出露出液面竹筷的长度为h2。
已知水的密度为ρ水，竹筷的横截面积为S，细铅丝体积忽略不计。请根据上面实验情况完成下列问题：
(1)密度计是利用“物体漂浮时，浮力与重力二力平衡”即“F浮＝G”条件工作的。被测液体的密度越大，简易密度计排开液体的体积________(选填“越小”或“越大”)。
越小
(2)根据阿基米德原理，简易密度计在水中受到的浮力F水浮＝___________(用已知量ρ水、S和测量量l、h1表示)。
(3)被测盐水的密度表达式：ρ盐水＝________(用已知量ρ水和测量量l、h1、h2表示)。
ρ水S(l－h1)g
[解析] (1)由阿基米德原理可知F浮＝ρ液gV排，由F浮＝G可知，ρ液gV排＝G，简易密度计重力G不变，被测液体的密度ρ液越大，简易密度计排开液体的体积V排越小。
(2)简易密度计浸在水中的深度为h＝l－h1，简易密度计排开水的体积为V排＝Sh＝S(l－h1)，根据阿基米德原理可得，简易密度计在水中受到的浮力等于排开水的重力，即F水浮＝G排水＝m排水g＝ρ水V排g＝ρ水S(l－h1)g。
类型六 杠杆
6．黄艺学习杠杆知识后，突发奇想回家制作了一个可以直接测量液体密度的“密度天平”，如图所示，其制作过程和原理如下：选择一根长1 m粗细均匀的轻质杠杆，将杠杆的中点固定在支点O处，调节两边螺母使杠杆在水平位置平衡。
(1)在左侧离O点L1的A点位置用细线固定一个质量为m、容积为V的空容器。
(2)将体积为V0的牛奶倒入容器中，其中要求V0________(选填“>”或“<”)V。
(3)在右侧离O点L2的B点用细线悬挂一质量为mx的钩码(细线的质量忽略不计)，使杠杆在水平位置平衡。
(4)牛奶的密度表达式ρ＝___________ (用已知物理量表示)。
<
类型一 只有天平，缺量筒
器材及方法 实验步骤 表达式及实验简图
测固体 密度 器材：天平、水、玻璃瓶、待测石块 (等体积法：V溢水＝V石) 1．用天平测出石块的质量m0 2．玻璃瓶装满水，用天平测出总质量m1 3．将石块浸没在水中，擦干溢出的水，再测出石块、水、玻璃瓶总质量m2，则溢出水的质量m0＋m1－m2 密度表达式：ρ石＝ρ水
测液体 密度 器材：天平、水、烧杯、毛巾、待测液体(等体积法：V水＝V液，即＝) 1．用天平测出空烧杯的质量m0 2．用天平测出装满水烧杯的质量m1 3．将烧杯中的水倒掉擦干，装满待测液体，测出烧杯和待测液体的总质量m2 密度表达式：ρ液＝ρ水
类型二 只有量筒，缺天平
器材及方法 实验步骤 表达式及实验简图
测固体 密度 器材：量筒、水、大头针、待测物块(可漂浮) 1．在量筒内倒入适量的水，测出体积V1 2．使物块漂浮在量筒内的水面上，测出体积V2 3．(针压、变形等)使物块浸没水中，测出总体积V3 密度表达式：ρ＝ρ水
器材：量筒、水、小玻璃杯(能放进量筒)、待测物块(不可漂浮) 1．使玻璃杯漂浮在量筒内的水面上，测出体积V1 2．将物块放入玻璃杯中，共同漂浮在量筒内的水面上，测出体积V2 3．将玻璃杯内的物块取出浸没水中，测出体积为V3
类型三 其他方法
器材及要点 实验步骤 表达式及实验简图
浮力测 固体(液 体)密度 器材：弹簧测力计、水、烧杯、细线、待测石块、待测液体 (要点：F浮＝G－F示，求物块体积) 1．弹簧测力计测出石块在空气中的重力G 2．将石块浸没在水中，测出此时测力计的拉力F1 3．用G－F1得出F浮，可求出石块的体积 4．计算出石块的密度 5．将石块浸没在液体中，测出测力计的拉力F2 6．计算出液体的密度 密度表达式：ρ石块＝ρ水 ρ液体＝ρ水
杠杆测 固体密 度 器材：水、烧杯、刻度尺、直木棒、细线、石块、待测矿石 1．用细线悬挂直木棍水平平衡，细线处作支点 2．用细线拴好矿石挂在支点左侧，在支点的右侧挂一石块，移动矿石和石块悬挂的位置直到木棍水平平衡 3．用刻度尺分别量出悬挂矿石、石块处到支点的距离为l1、l2，如图甲所示 4．将矿石浸没在水中，移动悬挂石块的位置直到木棍再次水平平衡 5．用刻度尺量出悬挂石块处到支点的距离为l3，如图乙所示 密度表达式：ρ＝ρ水
压强法 测液体 的密度 器材：水、橡皮膜、细线、两端开口的玻璃管、刻度尺、待测液体 (要点—等压强法：橡皮膜平时，p上＝p下，即ρ液gh液＝ρ水gh水) 1．先在玻璃管一端扎上橡皮膜，然后将有橡皮膜的一端浸入水中，测出深度h1 2．在玻璃管中加入待测液体，直到橡皮膜变平，测出管内液体到管底橡皮膜的高度h2 密度表达式：ρ＝ρ水
类型一 缺量筒
1．(2024·泰安期末节选)小明只用天平、烧杯和水测量出了小石块的密度，设计方案如下：
(1)先用天平测出石块的质量m1。
(2)将烧杯中装满水，用天平测出烧杯和水的总质量为m2。
(3)将小石块轻轻地放入烧杯中使其完全浸没，待水溢出稳定后，测得烧杯、烧杯内的水和小石块的总质量为m3。
(4)若水的密度用ρ水表示，依据上述实验过程，小石块体积为V石＝________(用已知量和所测物理量的字母表示)，小石块密度的表达式为：ρ石＝________(用用已知量和所测物理量的字母表示)。
[解析] 要测出石块的体积，先测出溢出水的体积，它们是相等的。排开水的质量m水排＝ m2－(m3－m1)＝m1＋m2－m3，小石块体积为V石＝V水排＝＝，小石块密度为ρ石＝＝＝。
[答案]
类型二 缺天平
2．(2024·泰安一模节选)小明想设计一个创新实验来测量矿石密度。他在实验室选取了圆柱形容器、烧杯、水、刻度尺、细线和矿石，且圆柱形容器的底面积是烧杯底面积的3倍，并利用所选器材设计了如图所示的实验测量出了矿石的密度，步骤如下：
(1)在圆柱形容器中装入适量水，如图甲所示，将平底烧杯放入水中，烧杯静止时容器中水的深度为H1；
(2)将矿石放入烧杯中，如图乙所示，烧杯静止时露出水面的高度为h1，容器中水的深度为H2；
(3)用细线(忽略其质量体积)将矿石拴在烧杯底部，如图丙所示，烧杯静止时露出水面的高度为h2；
(4)烧杯视为粗细上下均匀的容器，则待测矿石密度的表达式ρ石＝________(用已知和测量物理量字母及ρ水表示)。
[解析] 设烧杯底面积为S，则容器底面积为3S，烧杯高h。题图乙和题图丙两次实验，烧杯和矿石整体漂浮在液体中，所受浮力等于矿石和烧杯的重力之和，两次浮力相等，由F浮＝ρ浮gV排，可得V排乙＝V排丙，则S(h－h1)＝S(h－h2)＋V石，则矿石的体积为V石＝S(h2－h1)，则矿石质量为m石＝ρ石V石＝ρ石S(h2－h1)，由题图甲、题图乙可知将矿石放在烧杯中，排开水的体积变化为ΔV排＝3S(H2－H1)，矿石的重力为G石＝m石g＝F浮＝ρ水gΔV排＝3ρ水gS(H2－H1)，解得矿石的密度为ρ石＝。
[答案]
类型三 压强法
3．通过学习，小彬利用掌握的液体压强知识测量实验所用盐水的密度，过程如下：
(1)向如图所示的容器的左侧倒入适量的水，橡皮膜向右凸起。
(2)再向容器中的右侧缓慢倒入盐水，直至橡皮膜________。
(3)测得水面到橡皮膜中心的深度为h1；测得盐水液面到橡皮膜中心的深度为h2。
(4)可推导出该盐水密度的表达式为ρ盐水＝________(用h1、h2、ρ水表示)。
[解析] 向容器中的右侧缓慢倒入盐水，直至橡皮膜两边相平，此时左右两侧液体对橡皮膜产生的压强相等。由p＝ρgh得ρ水gh1＝ρ盐水gh2，则ρ盐水＝。
[答案] (2)两边相平 (4)
类型四 浮力法
4．(2024·泰安一模节选)物理创新小组的同学们想利用天平和量筒等实验器材测量一小块泰山石的密度。实验结束后，同学们经过认真思考，认为不用砝码，使用托盘天平、两个相同的烧杯、量筒和水等器材也能测出泰山石的密度。请你帮助他们将实验过程补充完整：
(1)将两个相同的烧杯分别放在已调节好的托盘天平的左右两盘中，向两烧杯中加入适量的水至托盘天平平衡，如图甲所示；
(2)在量筒中加入适量的水，记录量筒中水的体积V1；
(3)________________________________________，用量筒向右盘的烧杯中加水至托盘天平平衡，如图乙所示，记录此时量筒中水的体积V2；
(4)让泰山石缓慢沉至杯底，松开细线，___________________________，如图丙所示，记录此时量筒中水的体积V3；
(5)泰山石密度的表达式为ρ＝__________(用已知物理量ρ水和测得物理量V1、V2、V3表示)。
[解析] 为测出泰山石的体积，步骤(3)中的操作是用细线提着石块使其浸没于烧杯的水中，且不接触杯底。为测出泰山石的质量，步骤(4)中泰山石缓慢沉至杯底且松开细线后天平不平衡，需用量筒向右盘的烧杯中加水至托盘天平平衡。步骤(3)中泰山石受到细线的拉力、水对它的浮力以及自身的重力，由力的平衡条件可得F拉＋F浮＝F拉＋ρ水gV排＝G石，所以有F拉＝G石－ρ水gV排，因为石块浸没于烧杯的水中，所以石块排开水的体积就等于石块的体积，将石块、烧杯和水整体进行分析，可知其受到总重力、细绳的拉力和天平对它的支持力，三者的关系为N2＋F拉＝G总＝G水＋G烧杯＋G石，加入石块前，托盘对水和烧杯的支持力就等于水和烧杯的总重力，即N1＝G水＋G烧杯，右端烧杯与水的总重力的增量就等于两次支持力的差值，即N2－N1＝G水＋G烧杯＋G石－F拉－G水－G烧杯＝ρ水g(V1－V2)，将拉力的表达式代入上式中可得ρ水gV排＝ρ水gV石＝ρ水g(V1－V2)，所以可得待测石块的体积为V石＝V1－V2，而题图丙中，左侧烧杯和水和石块作为一个整体分析，可知与放入石块前相比质量的增量就是石块的质量，与右侧烧杯与水的总质量的增加量相同，所以可得石块的质量为m石＝ρ水(V1－V3)，则待测石块的密度为ρ＝＝。
[答案] (3)用细线提着石块使其浸没于烧杯的水中，且不接触杯底 (4)用量筒向右盘的烧杯中加水至托盘天平平衡 (5)
类型五 密度计
5．(2024·泰安期末)小明学习了浮力的知识后，自制简易密度计并测定盐水的密度。
实验器材：刻度尺、圆柱形竹筷、细铅丝、烧杯、水、待测盐水。
实验步骤：①在竹筷的一端缠上适量细铅丝，制成简易密度计。
②用刻度尺测出竹筷的长度为l。
③把简易密度计放入盛水的烧杯中，静止后用刻度尺测出露出液面竹筷的长度为h1(如图所示)。
④把简易密度计拿出来擦干，放入盛盐水的烧杯中，静止后用刻度尺测出露出液面竹筷的长度为h2。
已知水的密度为ρ水，竹筷的横截面积为S，细铅丝体积忽略不计。请根据上面实验情况完成下列问题：
(1)密度计是利用“物体漂浮时，浮力与重力二力平衡”即“F浮＝G”条件工作的。被测液体的密度越大，简易密度计排开液体的体积________(选填“越小”或“越大”)。
(2)根据阿基米德原理，简易密度计在水中受到的浮力F水浮＝________(用已知量ρ水、S和测量量l、h1表示)。
(3)被测盐水的密度表达式：ρ盐水＝________(用已知量ρ水和测量量l、h1、h2表示)。
[解析] (1)由阿基米德原理可知F浮＝ρ液gV排，由F浮＝G可知，ρ液gV排＝G，简易密度计重力G不变，被测液体的密度ρ液越大，简易密度计排开液体的体积V排越小。
(2)简易密度计浸在水中的深度为h＝l－h1，简易密度计排开水的体积为V排＝Sh＝S(l－h1)，根据阿基米德原理可得，简易密度计在水中受到的浮力等于排开水的重力，即F水浮＝G排水＝m排水g＝ρ水V排g＝ρ水S(l－h1)g。
(3)简易密度计漂浮在水中，简易密度计在水中受到的浮力等于简易密度计的重力，即简易密度计的重力为G＝F水浮＝ρ水S(l－h1)g，简易密度计漂浮在盐水中，浮力等于简易密度计的重力，即F盐水浮＝G，简易密度计在盐水中排开盐水的体积为V排′＝Sh′＝S(l－h2)，简易密度计在盐水中受到的浮力为F盐水浮＝ρ盐水S(l－h2)g，解得盐水的密度为ρ盐水＝ρ水。
[答案] (1)越小 (2)ρ水S(l－h1)g (3)ρ水
类型六 杠杆
6．黄艺学习杠杆知识后，突发奇想回家制作了一个可以直接测量液体密度的“密度天平”，如图所示，其制作过程和原理如下：选择一根长1 m粗细均匀的轻质杠杆，将杠杆的中点固定在支点O处，调节两边螺母使杠杆在水平位置平衡。
(1)在左侧离O点L1的A点位置用细线固定一个质量为m、容积为V的空容器。
(2)将体积为V0的牛奶倒入容器中，其中要求V0________(选填“>”或“<”)V。
(3)在右侧离O点L2的B点用细线悬挂一质量为mx的钩码(细线的质量忽略不计)，使杠杆在水平位置平衡。
(4)牛奶的密度表达式ρ＝________(用已知物理量表示)。
[解析] 为了保证容器中的牛奶不会溢出，体积为V0的牛奶必须小于容器的容积V。根据杠杆的平衡条件可得(m＋m液)g×L1＝mxg×L2，解得m液＝－m，则牛奶的密度为ρ＝＝。
[答案] (2)< (4)
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