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微专题8 极值、范围类相关计算
必备知识概览
解决电学计算中的极值、范围类问题，关键在于判断电路中电流和电压的最值，进而就可求出滑动变阻器连入电路的阻值范围和电路总功率的范围等。有时电流和电压的最值是相互影响的，需要综合判断。
1．判断电流表示数最大值：
(1)电流表的量程；
(2)小灯泡的额定电流；
(3)滑动变阻器允许通过的最大电流。
综合考虑以上电流值，取较小值作为最大电流，分析电流取此值时电压表的示数是否合理。
2．判断电流表示数最小值：
滑动变阻器接入电路中的阻值最大时电路中的电流→分析电流取此值时电压表的示数是否合理。
3．电压表示数最值的判断：
(1)小灯泡的额定电压；
(2)电源电压；
(3)电压表量程；
(4)滑动变阻器滑片在最左端和最右端时电压表的示数。
综合考虑以上四点，分析电压表示数取此值时，电流表的示数是否合理。
【典例】 (2024·泰山区模拟)如图甲所示，电源电压不变，电流表的量程为3 A，滑动变阻器RP上标有“20 Ω 1 A”字样，小灯泡L的I-U图象如图乙所示。只闭合开关S1，电流表的示数为0.8 A。求：
(1)闭合开关S1、S2时，滑动变阻器RP接入电路的最小电阻；
(2)在通路的情况下，电路消耗的最小总功率与最大总功率之比。
(2)当只闭合开关S1时，只有灯泡工作，此时电路中的电流最小，则Imin＝IL＝0.8 A；当两个开关都闭合时，灯泡和滑动变阻器并联，由并联电路的特点可知此时通过灯泡的电流仍然为0.8 A，根据变阻器的规格和并联电路的电流特点可知，电路中的最大总电流Imax＝IL＋I滑max＝0.8 A＋1 A＝1.8 A；电源电压一定，根据P＝UI可知总功率之比等于电流之比，所以电路消耗的最小总功率与最大总功率之比为P总min∶P总max＝Imin∶Imax＝0.8 A∶1.8 A＝4∶9。
[答案] (1)闭合开关S1、S2时，滑动变阻器RP接入电路的最小电阻是4.5 Ω (2)在通路的情况下，电路消耗的最小总功率与最大总功率之比为4∶9
【变式1】 (2024·肥城市期末)如图甲所示，电源电压保持不变。电流表A的量程为0～0.6 A，电压表V1、V2的量程均为0～3 V，滑动变阻器的规格为“50 Ω 2 A”，小灯泡的额定电压为2.5 V。滑动变阻器的滑片P在某点时，小灯泡正常发光，此时电压表V2的示数为1.5 V。在保证电路各元件安全的最大范围内调节滑片P，其中一只电压表与电流表示数的变化图
象如图乙所示。下列说法( )
①电源电压为4 V ②滑动变阻器取值范围为3～30 Ω ③小灯泡的额定功率为0.75 W ④整个电路消耗的最大功率为2 W
A．只有③④正确 B．只有①②正确
C．只有①②④正确 D．只有②③④正确
√
【变式2】 (2024·菏泽一模)如图所示，已知电源电压为12 V且保持不变，定值电阻R1阻值为20 Ω，灯泡L标有“6 V 3 W”字样，滑动变阻器R2上标有“20 Ω 1 A”，电流表量程为0～3 A。求：
(1)灯泡L正常发光时的电阻RL；
(2)闭合S1，断开S2、S3，要使灯泡L正常发光，滑动变阻器接入电路中的阻值；
(3)把灯泡L替换成和灯泡正常发光时等值的电阻R，在保证电路安全的前提下，电路总功率的最大值和最小值。
[答案] (1)灯泡L正常发光时的电阻RL为12 Ω (2)滑动变阻器接入电路中的阻值为12 Ω (3)电路总功率的最大值和最小值分别为19.2 W和4.5 W
【变式3】 (2024·济南模拟)如图甲所示是一个电饼铛，可实现烙、煎、烤等多种功能，功率多挡位可调。一种挡位调节电路如图乙所示，两根发热电阻丝并联，其中R0＝40 Ω(图乙、丙、丁中R0阻值相同)，R1＝121 Ω。另一种挡位调节电路如图丙所示，滑动变阻器R的最大阻值为444 Ω。技术追求无止境，现在工程师们用半导体材料制成“可控硅”元件，使加热电阻上的电压可调到任意值，从而实现功率调节，如图丁
所示。求：
(1)图乙电路的最大功率；
(2)图丙电路的总功率可调范围；
(3)在图丁中，当R0的实际功率为1 000 W时，加在R0两端的电压。
[答案] (1)乙电路的最大功率是1 610 W (2)丙电路的总功率可调范围是100 W～1 210 W (3)在丁图中，当R0的实际功率为1 000 W时，加在R0两端的电压为200 V
【变式4】 在如图甲所示的电路中，电压表量程为0～15 V，电流表量程为0～0.6 A，定值电阻R0＝50 Ω，灯泡L上标有“5 V 2.5 W”的字样。只闭合开关S1，将滑动变阻器的滑片从一端滑动到另一端，根据电流表示数I和电压表示数U绘制出对应的I-U图象如图乙所示，滑片来回移动过程中，电路
元件无损坏，滑片滑至某一
端点时，灯泡恰好正常发光。
求：
(1)滑片移动过程中，小灯泡电阻RL的变化范围；
(2)闭合所有开关，逐渐将滑动变阻器的滑片从最右端向左滑动，在保证电路安全的前提下，整个电路消耗的最大电功率P；
(3)当电路功率最大时，滑动变阻器连入电路的电阻。
[答案] (1)滑片移动过程中，小灯泡电阻RL的变化范围为5～10 Ω (2)闭合所有开关，逐渐将滑动变阻器的滑片从最右端向左滑动，在保证电路安全的前提下，整个电路消耗的最大电功率P为3 W (3)当电路功率最大时，滑动变阻器连入电路的电阻为10 Ω解决电学计算中的极值、范围类问题，关键在于判断电路中电流和电压的最值，进而就可求出滑动变阻器连入电路的阻值范围和电路总功率的范围等。有时电流和电压的最值是相互影响的，需要综合判断。
1．判断电流表示数最大值：
(1)电流表的量程；
(2)小灯泡的额定电流；
(3)滑动变阻器允许通过的最大电流。
综合考虑以上电流值，取较小值作为最大电流，分析电流取此值时电压表的示数是否合理。
2．判断电流表示数最小值：
滑动变阻器接入电路中的阻值最大时电路中的电流→分析电流取此值时电压表的示数是否合理。
3．电压表示数最值的判断：
(1)小灯泡的额定电压；
(2)电源电压；
(3)电压表量程；
(4)滑动变阻器滑片在最左端和最右端时电压表的示数。
综合考虑以上四点，分析电压表示数取此值时，电流表的示数是否合理。
【典例】 (2024·泰山区模拟)如图甲所示，电源电压不变，电流表的量程为3 A，滑动变阻器RP上标有“20 Ω 1 A”字样，小灯泡L的I-U图象如图乙所示。只闭合开关S1，电流表的示数为0.8 A。求：
(1)闭合开关S1、S2时，滑动变阻器RP接入电路的最小电阻；
(2)在通路的情况下，电路消耗的最小总功率与最大总功率之比。
[解析] (1)只闭合开关S1只有灯泡工作，电流表的示数为0.8 A，根据题图乙知，电源电压为4.5 V；
闭合开关S1、S2时，灯泡和滑动变阻器并联，滑动变阻器RP接入电路的最小时，电路中的电流最大，根据电流表的量程为3 A，最大电流为3 A，则滑动变阻器的电流IP＝I－IL＝3 A－0.8 A＝2.2 A，超过滑动变阻器允许的最大电流1 A，因而最大电流为1 A；则滑动变阻器RP接入电路的最小电阻：RP＝＝＝4.5 Ω。
(2)当只闭合开关S1时，只有灯泡工作，此时电路中的电流最小，则Imin＝IL＝0.8 A；当两个开关都闭合时，灯泡和滑动变阻器并联，由并联电路的特点可知此时通过灯泡的电流仍然为0.8 A，根据变阻器的规格和并联电路的电流特点可知，电路中的最大总电流Imax＝IL＋I滑max＝0.8 A＋1 A＝1.8 A；电源电压一定，根据P＝UI可知总功率之比等于电流之比，所以电路消耗的最小总功率与最大总功率之比为P总min∶P总max＝Imin∶Imax＝0.8 A∶1.8 A＝4∶9。
[答案] (1)闭合开关S1、S2时，滑动变阻器RP接入电路的最小电阻是4.5 Ω (2)在通路的情况下，电路消耗的最小总功率与最大总功率之比为4∶9
【变式1】 (2024·肥城市期末)如图甲所示，电源电压保持不变。电流表A的量程为0～0.6 A，电压表V1、V2的量程均为0～3 V，滑动变阻器的规格为“50 Ω 2 A”，小灯泡的额定电压为2.5 V。滑动变阻器的滑片P在某点时，小灯泡正常发光，此时电压表V2的示数为1.5 V。在保证电路各元件安全的最大范围内调节滑片P，其中一只电压表与电流表示数的变化图象如图乙所示。下列说法( )
①电源电压为4 V ②滑动变阻器取值范围为3～30 Ω ③小灯泡的额定功率为0.75 W ④整个电路消耗的最大功率为2 W
A．只有③④正确 B．只有①②正确
C．只有①②④正确 D．只有②③④正确
[答案] C
【变式2】 (2024·菏泽一模)如图所示，已知电源电压为12 V且保持不变，定值电阻R1阻值为20 Ω，灯泡L标有“6 V 3 W”字样，滑动变阻器R2上标有“20 Ω 1 A”，电流表量程为0～3 A。求：
(1)灯泡L正常发光时的电阻RL；
(2)闭合S1，断开S2、S3，要使灯泡L正常发光，滑动变阻器接入电路中的阻值；
(3)把灯泡L替换成和灯泡正常发光时等值的电阻R，在保证电路安全的前提下，电路总功率的最大值和最小值。
[解析] (1)由灯泡L标有“6 V 3 W”字样可知，由P＝可得，灯泡L正常发光时的电阻为RL＝＝＝12 Ω。
(2)闭合S1，断开S2、S3，灯泡L与滑动变阻器R2串联，要使灯泡L正常发光，电路中的电流等于灯泡的额定电流为I＝I额＝＝＝0.5 A，滑动变阻器两端的电压为U2＝U－U额＝12 V－6 V＝6 V，滑动变阻器接入电路中的阻值为R2＝＝＝12 Ω。
(3)把灯泡L替换成和灯泡正常发光时等值的电阻R，当闭合S1，断开S2、S3，滑动变阻接入电路的阻值最大时，电路的总电阻最大，电路消耗的功率最小，此时最小功率为P小＝＝＝＝4.5 W；当闭合S1、S2、S3，R1与R2并联，同时电阻R被短路，滑动变阻器R2上标有 “20 Ω 1 A”，允许最大电流为1 A时，干路的电流最大，由P＝UI可知，电路总功率最大，此时通过R1的电流为I1＝＝＝0.6 A，电路最大总功率为P大＝U(I1＋I2大)＝12 V×(0.6 A＋1 A)＝19.2 W。
[答案] (1)灯泡L正常发光时的电阻RL为12 Ω (2)滑动变阻器接入电路中的阻值为12 Ω
(3)电路总功率的最大值和最小值分别为19.2 W和4.5 W
【变式3】 (2024·济南模拟)如图甲所示是一个电饼铛，可实现烙、煎、烤等多种功能，功率多挡位可调。一种挡位调节电路如图乙所示，两根发热电阻丝并联，其中R0＝40 Ω(图乙、丙、丁中R0阻值相同)，R1＝121 Ω。另一种挡位调节电路如图丙所示，滑动变阻器R的最大阻值为444 Ω。技术追求无止境，现在工程师们用半导体材料制成“可控硅”元件，使加热电阻上的电压可调到任意值，从而实现功率调节，如图丁所示。求：
(1)图乙电路的最大功率；
(2)图丙电路的总功率可调范围；
(3)在图丁中，当R0的实际功率为1 000 W时，加在R0两端的电压。
[解析] (1)根据并联干路电流等于各支路电流之和，当R1、R0并联时电流最大，根据P＝UI，总功率最大。则总功率为P＝U(I1＋I0)＝U()＝1 610 W。
(2)因为串联电路的总阻值等于各电阻之和，所以R总阻值最大时，电流最小，电功率最小，R总＝R＋R0＝444 Ω＋40 Ω＝484 Ω，最小功率为Pmin＝＝＝100 W，当变阻器的电阻为0时，电流最大，电功率最大，最大功率为Pmax＝＝＝1 210 W，所以发热功率的可调范围是100～1 210 W。
(3)加热电阻上的电压可调到任意值，当R0的实际功率为1 000 W时，根据P＝UI＝知，加在R0两端的电压U0＝＝＝200 V。
[答案] (1)乙电路的最大功率是1 610 W (2)丙电路的总功率可调范围是100 W～1 210 W (3)在丁图中，当R0的实际功率为1 000 W时，加在R0两端的电压为200 V
【变式4】 在如图甲所示的电路中，电压表量程为0～15 V，电流表量程为0～0.6 A，定值电阻R0＝50 Ω，灯泡L上标有“5 V 2.5 W”的字样。只闭合开关S1，将滑动变阻器的滑片从一端滑动到另一端，根据电流表示数I和电压表示数U绘制出对应的I-U图象如图乙所示，滑片来回移动过程中，电路元件无损坏，滑片滑至某一端点时，灯泡恰好正常发光。求：
(1)滑片移动过程中，小灯泡电阻RL的变化范围；
(2)闭合所有开关，逐渐将滑动变阻器的滑片从最右端向左滑动，在保证电路安全的前提下，整个电路消耗的最大电功率P；
(3)当电路功率最大时，滑动变阻器连入电路的电阻。
[解析] (1)只闭合开关S1，灯泡和滑动变阻器串联接入电路，电压表测滑动变阻器两端的电压，灯泡L上标有“5 V 2.5 W”的字样，灯泡正常发光时通过灯泡的电流IL＝＝＝0.5 A，由题图乙可知，此时滑动变阻器两端的电压为0，接入电路的电阻为0，则电源电压等于灯泡的额定电压5 V，此时灯泡的电阻RL＝＝＝10 Ω；滑动变阻器接入电路最大电阻时，通过电路的电流最小，由题图乙可知通过电路的最小电流为0.2 A，此时滑动变阻器两端的电压为4 V，根据串联电路电压规律可知灯泡两端电压UL′＝U－U1＝5 V－4 V＝1 V，根据欧姆定律可得灯泡的电阻RL′＝＝＝5 Ω。 滑片移动过程中，小灯泡电阻RL的变化范围为5～10 Ω。
(2)(3)闭合所有开关，灯泡L被短路，两电阻并联接入电路，电流表测干路电流，电流表示数最大为0.6 A，并联电路各支路两端电压相等，根据欧姆定律可知通过定值电阻的电流I0＝＝＝0.1 A，并联电路干路电流等于各支路电流之和，通过滑动变阻器的电流I1＝I－I0＝0.6 A－0.1 A＝0.5 A，滑动变阻器接入电路的阻值R1＝＝＝10 Ω，电路的最大功率P＝UI＝5 V×0.6 A＝3 W。
[答案] (1)滑片移动过程中，小灯泡电阻RL的变化范围为5～10 Ω (2)闭合所有开关，逐渐将滑动变阻器的滑片从最右端向左滑动，在保证电路安全的前提下，整个电路消耗的最大电功率P为3 W (3)当电路功率最大时，滑动变阻器连入电路的电阻为10 Ω
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