用样本估计总体限时练（含解析）
文档属性
| 名称 | 用样本估计总体限时练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 31.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-25 09:24:46 | ||
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文档简介
用样本估计总体限时练
一、单项选择题
1． 为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为80，84，则该班成绩的平均分是( )
A．82 B．82.1 C．82.2 D．82.4
2． 某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为( )
A．220 B．240 C．250 D．300
3．一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x＋y＝( )
A．33 B．34 C．35 D．36
4．有一组样本数据为33，66，99，101，134，167，其方差为s.现准备再添加一个新数据x7，若x7＝100，其与原有的6个数据构成的新样本的方差记为s，若x7＝33，其与原有的6个数据构成的新样本的方差记为s，则( )
A．s>s>s B．s>s>sC．s>s>s D．s>s>s
5.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据(单位：cm)从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则
x＝( )A．169 B．170 C．171 D．172
6．已知数据x1，x2，…，xn是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是( )
A．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大
C．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变
二、多项选择题
7．已知一组样本数据x1，x2，x3，…，x10(x1A．x1 B．x5 C．x6 D．x10
8 有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c (i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
9．一组互不相等的样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，方差为s2，极差为m，中位数为n，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为′，方差为s′2，极差为m′，中位数为n′，则下列选项一定正确的有( )
A．n＝n′ B．＝′ C．s2>s′2 D．m>m′
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则( )
A．是等比数列 B．是等比数列
C．an＝－ D．Sn＝
三、填空题
11．数据1，2，a，6的平均数是3，若将这组数据中的每一个数据都加上2 023，得到一组新数据，则新数据的标准差为________．
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn＋1.
则数列{an}的通项公式为
13已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝2－1.
则数列{an}的通项公式为
四、解答题
14．“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检检测部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58，36，36，35，33，32，28，26，24，22.
(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；
(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业造成污染点的总体方差．
15记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
用样本估计总体限时练 答案
1．答案：D解析：根据题意，可得该班成绩的平均分是＝82.4.故选D.
2．答案：B解析：由1 200×80%＝960(人)，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有1 200－960＝240(人).故选B.
3．解析：一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即x＝16，9×75%＝6.75，故选取第7个数为75%分位数，故y＝20，所以x＋y＝16＋20＝36.故选D.答案：D
4答案：C解析：数据波动越大，方差越大．原样本数据的平均数为100，添加新数据x7＝100后，新样本的数据更集中，s>s.添加新数据x7＝33后，新样本的数据波动更大，s>s.故选C.
5. 解析：(1)因为样本容量为10，且样本数据从小到大排序如下：
158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，又10×60%＝6，
所以第60百分位数为，由已知＝170，所以x＝171.故选C.
6．答案：B解析：因为数据x1，x2，x3，…，xn是普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，而xn＋1为世界首富的年收入，则xn＋1会远大于x1，x2，x3，…，xn，故这n＋1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到xn＋1比较大的影响，而更加离散，则方差变大．故选B.
7．答案：AD解析：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故x1和x10符合条件；去掉x5，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，故x5不符合条件；去掉x6，样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件．故选AD.
8．答案：CD解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．
D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则第二组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．故选CD.
9.答案：ACD解析：中位数是把数据从小到大依次排列后，排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，因为是对称的同时去掉最小值和最大值，故中间位置的数相对位置保持不变，故新数据的中位数保持不变，故A正确；平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最小值和最大值后，余下数据的平均数可能会改变，故B不一定正确；方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减小，故方差减小，故C正确；极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数据差值的最大值，故去掉最小值和最大值后，新数据的极差必然小于原数据的极差，故D正确．故选ACD.
10．答案：BC解析：数列{an}中，n∈N*，an＋1＝3an＋1，则an＋1＋＝3，又a1＋＝，
因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确；
an＋＝×3n－1＝，即有an＝－，C正确；
Sn＝(＋＋…＋)－＝－＝，D错误．故选BC.
12解析：(1)由题意得，an＋1＝Sn＋1；当n≥2时，an＝Sn－1＋1，
两式相减得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an.
又因为a2＝S1＋1＝a1＋1＝2＝2a1，所以当n≥1时，an＋1＝2an，
所以{an}成等比数列，且首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1.
13.an＝2－1 (an＋1)2＝4Sn，当n≥2时，(an－1＋1)2＝4Sn－1，两式子作差可得
a－a＋2an－2an－1＝4an a－a－2(an＋an－1)＝0 (an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
又an＋an－1≠0，所以an－an－1－2＝0 an－an－1＝2，可得数列{an}为公差为2 的等差数列，
当n＝1时，a1＝2－1 a1－2＋1＝0 (－1)2＝0 a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
14．解析：(1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，30×80%＝24，所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即＝30.
(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x1，x2，…，x20，其平均数记为，方差记为s；把剩下10个数据记为y1，y2，…，y10，其平均数记为，方差记为s；
把总样本数据的平均数记为，方差记为s2.由题意可知，＝＝17，
＝(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝×330＝33，
则＝(510－330)＝9，由题知s＝44.7，s＝92.4，
s2＝{20[s＋(－)2]＋10[s＋(－)2]}，代入数据可得s2＝{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.
15．解析：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0，
设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，
从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，
数列的通项公式为：an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，
则不等式Sn>an即：n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，
解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.
一、单项选择题
1． 为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为80，84，则该班成绩的平均分是( )
A．82 B．82.1 C．82.2 D．82.4
2． 某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为( )
A．220 B．240 C．250 D．300
3．一组数据按从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，x，17，y，22，26，经计算，该组数据中位数是16，若75%分位数是20，则x＋y＝( )
A．33 B．34 C．35 D．36
4．有一组样本数据为33，66，99，101，134，167，其方差为s.现准备再添加一个新数据x7，若x7＝100，其与原有的6个数据构成的新样本的方差记为s，若x7＝33，其与原有的6个数据构成的新样本的方差记为s，则( )
A．s>s>s B．s>s>sC．s>s>s D．s>s>s
5.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据(单位：cm)从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则
x＝( )A．169 B．170 C．171 D．172
6．已知数据x1，x2，…，xn是某市n(n≥3，n∈N*)个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是( )
A．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大
C．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变
二、多项选择题
7．已知一组样本数据x1，x2，x3，…，x10(x1
8 有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c (i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
9．一组互不相等的样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为，方差为s2，极差为m，中位数为n，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为′，方差为s′2，极差为m′，中位数为n′，则下列选项一定正确的有( )
A．n＝n′ B．＝′ C．s2>s′2 D．m>m′
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则( )
A．是等比数列 B．是等比数列
C．an＝－ D．Sn＝
三、填空题
11．数据1，2，a，6的平均数是3，若将这组数据中的每一个数据都加上2 023，得到一组新数据，则新数据的标准差为________．
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn＋1.
则数列{an}的通项公式为
13已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足an＝2－1.
则数列{an}的通项公式为
四、解答题
14．“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意识日益增强，质检检测部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污染点数为58，36，36，35，33，32，28，26，24，22.
(1)求这30个企业造成污染点的第80百分位数；
(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，求这30个企业造成污染点的总体方差．
15记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求使Sn>an成立的n的最小值．
用样本估计总体限时练 答案
1．答案：D解析：根据题意，可得该班成绩的平均分是＝82.4.故选D.
2．答案：B解析：由1 200×80%＝960(人)，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有1 200－960＝240(人).故选B.
3．解析：一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即x＝16，9×75%＝6.75，故选取第7个数为75%分位数，故y＝20，所以x＋y＝16＋20＝36.故选D.答案：D
4答案：C解析：数据波动越大，方差越大．原样本数据的平均数为100，添加新数据x7＝100后，新样本的数据更集中，s>s.添加新数据x7＝33后，新样本的数据波动更大，s>s.故选C.
5. 解析：(1)因为样本容量为10，且样本数据从小到大排序如下：
158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，又10×60%＝6，
所以第60百分位数为，由已知＝170，所以x＝171.故选C.
6．答案：B解析：因为数据x1，x2，x3，…，xn是普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，而xn＋1为世界首富的年收入，则xn＋1会远大于x1，x2，x3，…，xn，故这n＋1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到xn＋1比较大的影响，而更加离散，则方差变大．故选B.
7．答案：AD解析：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故x1和x10符合条件；去掉x5，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，故x5不符合条件；去掉x6，样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件．故选AD.
8．答案：CD解析：A：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为xi，则第二组的中位数为yi＝xi＋c，显然不相同，错误；
C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正确．
D：由极差的定义知：若第一组的极差为xmax－xmin，则第二组的极差为ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故极差相同，正确．故选CD.
9.答案：ACD解析：中位数是把数据从小到大依次排列后，排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，因为是对称的同时去掉最小值和最大值，故中间位置的数相对位置保持不变，故新数据的中位数保持不变，故A正确；平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最小值和最大值后，余下数据的平均数可能会改变，故B不一定正确；方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减小，故方差减小，故C正确；极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数据差值的最大值，故去掉最小值和最大值后，新数据的极差必然小于原数据的极差，故D正确．故选ACD.
10．答案：BC解析：数列{an}中，n∈N*，an＋1＝3an＋1，则an＋1＋＝3，又a1＋＝，
因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确；
an＋＝×3n－1＝，即有an＝－，C正确；
Sn＝(＋＋…＋)－＝－＝，D错误．故选BC.
12解析：(1)由题意得，an＋1＝Sn＋1；当n≥2时，an＝Sn－1＋1，
两式相减得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an.
又因为a2＝S1＋1＝a1＋1＝2＝2a1，所以当n≥1时，an＋1＝2an，
所以{an}成等比数列，且首项a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1.
13.an＝2－1 (an＋1)2＝4Sn，当n≥2时，(an－1＋1)2＝4Sn－1，两式子作差可得
a－a＋2an－2an－1＝4an a－a－2(an＋an－1)＝0 (an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
又an＋an－1≠0，所以an－an－1－2＝0 an－an－1＝2，可得数列{an}为公差为2 的等差数列，
当n＝1时，a1＝2－1 a1－2＋1＝0 (－1)2＝0 a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
14．解析：(1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，30×80%＝24，所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即＝30.
(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x1，x2，…，x20，其平均数记为，方差记为s；把剩下10个数据记为y1，y2，…，y10，其平均数记为，方差记为s；
把总样本数据的平均数记为，方差记为s2.由题意可知，＝＝17，
＝(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝×330＝33，
则＝(510－330)＝9，由题知s＝44.7，s＝92.4，
s2＝{20[s＋(－)2]＋10[s＋(－)2]}，代入数据可得s2＝{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.
15．解析：(1)由等差数列的性质可得：S5＝5a3，则a3＝5a3，∴a3＝0，
设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，
从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，
数列的通项公式为：an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，
则不等式Sn>an即：n2－5n>2n－6，整理可得(n－1)(n－6)>0，
解得n<1或n>6，又n为正整数，故n的最小值为7.