浙江省杭州市第十三中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试卷
1．（2025九下·杭州开学考）cos45°的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025九下·杭州开学考）抛物线 的对称轴是
A． B． C． D．
3．（2025九下·杭州开学考）从4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中3名男同学，1名女同学，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·杭州开学考）如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．32°
5．（2025九下·杭州开学考）如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
6．（2025九下·杭州开学考）下表是函数的部分自变量与对应的函数值：
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
-1 -0.28 0.48 1.28 2.12
根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·杭州开学考）如图，中，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
8．（2025九下·杭州开学考）如图，四边形ABCD内接于，连接AC，若，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·杭州开学考）如图，AB是的直径，点C、D在上，且在AB两侧，于点交线段AC于.若，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数，当时，的取值范围为或，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025九下·杭州开学考）若，则的值为 ．
12．（2025九下·杭州开学考）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧的长是 cm． （结果保留根号）
13．（2025九下·杭州开学考）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n= .
14．（2025九下·杭州开学考）如图，点都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则的正切值为 .
15．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 .
16．（2025九下·杭州开学考）如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点的对应点为E，ME与BC的交点为；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点的对应点为，则 ， .
17．（2025九下·杭州开学考）
（1）计算：；
（2）已知，求的值.
18．（2025九下·杭州开学考）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术三门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．
（1）求甲同学选择A班剪纸课的概率．
（2）利用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一门课程的概率．
19．（2025九下·杭州开学考）如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点就是格点.下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可.
（1）在图1中找到两个格点E、F，连结EF，使得EF平分AB；
（2）在图2中找到两个格点G、H，连结GH，使得GH垂直AB（G、H不与A、B重合）.
20．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数经过点和点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当时，请直接写出的取值范围.
21．（2025九下·杭州开学考）如图，是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作，交CB延长线于点F，AE的延长线交BC的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，求EG的长.
22．（2025九下·杭州开学考）某班的同学想测量教学楼AB的高度，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡比，从点向前进30米后，又在处测得教学楼顶端的仰角为.
（1） ；
（2）求点到AB的距离；
（3）教学楼AB的高度约为多少米.（结果精确到0.1米）（参考数据：，）
23．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数是常数，且的图象过点.
（1）试判断点是否也在该函数的图象上，并说明理由；
（2）请判断二次函数的图象与轴的交点个数，并说明理由；
（3）已知二次函数的图象过和两点，且当时，始终都有，求的取值范围.
24．（2025九下·杭州开学考）如图，已知△ABC内接于是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接CD交OE边于点.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接OC，若，设的面积为，四边形OCBD的面积为，若，用含的代数式表示BC.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】cos45°=．
故选C．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是直线x=-2，
故答案为：C．
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．
3．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记3名男生为甲、乙、丙，女生为丁，作树状图如下：
共有12种等可能的结果，被抽到的2名同学都是男生有6种，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率.
故答案为：B.
【分析】根据题意，画出树状图，得到所有等可能的结果数以及符合题意的情况，再利用概率公式计算即可.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∵，
∴∠ADC=90°-32°=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
故选：C．
【分析】根据直径所对的圆周角是90°，得到：再根据圆周角的性质，求出∠ABC．
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故答案为：D．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以得出△BDE和△ABC相似，△CDE和△CAB相似.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可知，当x=2.6时，y=-0.28<0，当x=2.7，y=0.48>0，
∴二次函数y=2x2-3x-6与x轴一个交点在直线x=2.6和直线x=2.7之间，
∴方程2x2-3x-6=0的一个解x的范围是2.6故答案为：B.
【分析】根据表格可知二次函数y=2x2-3x-6与x轴一个交点在直线x=2.6和直线x=2.7之间，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将逆时针旋转α（），得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质得，由等边对等角及三角形的内角和定理求得的度数，由三角形内角和求得的度数，再由三角形内角和即可求解．
8．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴，
∵AB//CD，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠BAD=180°-(∠BAC+∠CAD)，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∴，
整理得：3∠BAC+2∠CAD=180°.
故答案为：B.
【分析】根据AB=AC得，根据AB//CD得∠D=180°-∠BAD=180°-(∠BAC+∠CAD)，然后根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D=180°，即，由此即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，，
∴，
设AC=4x，则AB=5x，BC=3x，
∴CB=CE=3x，
∴AE=x，
∵∠CAB=∠HAE，∠AHE=∠ACB=90°，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
解得，
连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB =90°=∠AHD；
而∠BAD=∠DAH，
∴△ADH∽△ABD，
∴，
∴AD2=AH·AB，
而AD=5，
解得(负根舍去)，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用圆周角定理、相似三角形的性质和勾股定理，通过已知条件和比例关系求解AB的长度.
10．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由条件可知二次函数图象开口向上，且方程ax2-bx=-1的解为x1=t-1，x2=-3-t，
∴a>0，x1，x2是方程ax2-bx+1=0的两根，
∴，
解得：-3又∵，
∴当t=-1时，，
解得： ，
∴a的范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意得，二次函数图象开口向上，则有a>0，且方程ax2-bx=-1的解为x1=t-1，x2=-3-t，利用一元二次方程根与系数的关系得到，解出t的取值范围，再根据t的取值范围求出的最大值，列出不等式即可求出a的取值范围.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，
故答案为．
【分析】由比例的合比性质知，．
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意知，，∴（cm），
故答案为：．
【分析】此题主要考查了扇形的弧长公式。直接利用扇形的弧长公式，将公式列出之后代入相关数据计算即可得出结论．
13．【答案】3
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可知：球的总个数为：，
∴n=9-6=3.
故答案为：3.
【分析】根据红球的个数以及任意摸出一个球是红球的概率为可以求得球的总个数，进而即可得到答案。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值
【解析】【解答】解：连接BC，
设小正方形的边长为1，
∴，，，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】连接BC，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，，AC=5，得出BC2+AB2=AC2，利用勾股定理的逆定理可得∠ABC=90°，再在Rt△ABC中利用正切的定义即可求解.
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y=a(x-1)(x-5)中，a<0，
∴抛物线开口向下，
∵y=a(x-1)(x-5)
=ax2-6ax+5a
=a(x-3)2-4a，
∴抛物线的顶点坐标为(3，-4a)，对称轴为直线x=3，
∴函数最大值为-4a，
∵|-1-3|=4，|4-3|=1，且4>1，
∴当x=-1时，函数有最小值，最小值为16a-4a=12a，
由题意得，-4a-12a=2，
解得：，
故答案为：.
【分析】由a<0可知二次函数图象开口向下，将二次函数化为顶点式y=a(x-3)2-4a，得出顶点坐标为(3，-4a)，对称轴为x=3，再根据二次函数的性质得出当x=-1时，函数有最小值12a，结合题意列出方程，即可求出a的值.
16．【答案】；
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵AD=4AB，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴，
，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB，BC=AD，AD//BC，∠A=∠D=90°，
∴∠DMC=∠MCN，
∴∠EMC=∠MCN，
∴ME=CE，
设CD=AB=a，则BC=AD=4a，
由折叠知，BN=NC=AM=DM=2a，
又∵AD//BC，∠A=∠D=90°，
∴四边形ABNM、DCNM都是矩形，
∴MN=AB=a，∠MNB=∠MNC=∠DMN=90°，
∴∠CMP=∠DMN，
∴∠CMP-∠CMN=∠DMN-∠CMN，即∠PMN=∠DMC，
∴∠PMN=∠MCN
∴△PMN∽△MCN，
∴，即，
∴，
设MF=CF=ax，则NF=NC-CF=2a-ax，
由勾股定理可得：NF2+MN2=MF2，
∴(2a-ax)2+a2=(ax)2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；.
【分析】由折叠的性质得到，，利用角的和差以及平角的定义推出∠CMP=90°，利用矩形的性质得到CD=AB，BC=AD，AD//BC，∠A=∠D=90°，结合折叠的性质证出四边形ABNM、DCNM都是矩形设CD=AB=a，通过证明△PMN∽△MCN得到，再设MF=CF=ax，在Rt△MNF中利用勾股定理建立方程，解出x的值得到NF，即可解答.
17．【答案】（1）解：原式
=2
（2）解：∵，
∴2(x-2y)=x+3y，
∴2x-4y-x+3y，
∴2x-x=3y+4y，
∴x=7y，
∴
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
(2)利用比例的性质可得x，y的关系，即可解答.
18．【答案】（1）解：该校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术共3门特色课程，
甲同学选择A班剪纸课的概率为；
（2）解：如下表所示：
乙 甲
共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，
甲、乙两人选择同一门课程的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）学校共开设了三门特色课程，故甲同学有三种等可能的选择，而选择剪纸课的情况只有一种，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意列出表格，根据表格可知共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，再根据概率公式即可求解．
（1）解：该校开设班剪纸、班戏曲、班武术共3门特色课程，
甲同学选择班剪纸课的概率为．
（2）解：如下表所示：
乙 甲
共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，
甲、乙两人选择同一门课程的概率为．
19．【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图.
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-垂线
20．【答案】（1）解：代入A(3，0)、B(0，-3)到y=ax2-2x+c，
得，
∴
∴
（2）解：∵a=1>0，
∴二次函数y=x2-2x-3的图象开口向上，
令y=1，则x2-2x-3=1，
解得：，，
∴当y≥1时，x的取值范围为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)代入A(3，0)、B(0，-3)到y=ax2-2x+c，利用待定系数法即可求解；
(2)由a=1>0可知二次函数图象开口向上，令y=1求出对应x的值，再结合二次函数的性质即可求出当y≥1时x的取值范围.
21．【答案】（1）证明：由题意可得：∠ABC=∠BAD=∠D=90°，AD=AB，
∴∠ABF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∵∠BAD=∠FAE
∴∠BAD-∠BAE=∠FAE-∠BAE，即∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF(ASA)，
∴AE=AF
（2）解：CD= AD， AD//BC，
由(1)得，，
∵∠D=90°，
∴，
∴CD=AD=6，
∴CE=CD-DE=4，
∵AD//CG，
∴△ADE∽△GCE，
由三角形相似的性质可得：
，
∴，
∴EG的长为
【知识点】三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAD=∠D=90°，CD=AD=AB，再由AF⊥AE得到∠FAE=90°，利用角的和差关系得到∠DAE=∠BAF，利用全等三角形的判定推出△ADE≌△ABF，即可得证；
(2)由(1)得，利用勾股定理求出AD的长，进而得到DE的长，通过证明△ADE∽△GCE，，代入数据即可求出EG的长.
22．【答案】（1）
（2）解：如图，延长AB交DC延长线于点F，则∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，，
∴，
设BF=k米，则米，
∴(米)，
又∵BC=8米，
∴2k=8，
解得：k=4，
∴(米)
（3）解：由(2)得，BF=4米，米，
∴米，
在Rt△ADF中，，
∴(米)，
∴AB=AF-BF≈23.7(米)，
∴教学楼AB的高度约为23.7米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得，∠D=37°，
故答案为：37°.
【分析】(1)根据仰角的定义即可解答；
(2)延长AB交DC延长线于点F，在Rt△BCF中利用坡度的定义得到，设BF=k米，利用勾股定理表示出BC，求出k的值，得出CF的长，即可解答；
(3)在Rt△ADF中，利用正切的定义求出AF的长，再利用AB=AF-BF即可求解.
23．【答案】（1）解：点(2，2-2a)不在该函数的图象上，理由如下：
代入(3，1)到y=ax2+bx-2，得9a+3b-2=1，
∴b=1-3a，
∴y=ax2+(1-3a)x-2，
当x=2时，y=4a+2(1-3a)-2=-2a≠2-2a，
∴点(2，2-2a)不在该函数的图象上
（2）解：二次函数的图象与x轴的交点个数为2个，理由如下：
由(1)得，y=ax2+(1-3a)x-2，
令y=0，则ax2+(1-3a)x-2=0，
∴，
∴二次函数的图象与x轴的交点个数为2个
（3）解：二次函数的对称轴为，
①当a<0时，抛物线开口向下，且对称轴时，
∴当，始终都有y1②当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为，
由条件可知，
解得：
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)代入(3，1)到y=ax2+bx-2，得到b=1-3a，再代入x=2求出对应的函数值，再与2-2a比较，即可得出结论；
(2)令y=0，得到ax2+(1-3a)x-2=0，再利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，即可得出二次函数的图象与x轴的交点个数；
(3)先确定二次函数的对称轴为，再分a<0和a>0两种情况分析即可解答.
24．【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO =90°，
∵OD//BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∵∠DEO=∠ACB=90°，
∴△DOE∽△ABC
（2）证明：∵△DOE∽△ABC，
∴∠ODE=∠BAC，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ODE=∠BDC，
∴∠ODE-∠CDE=∠BDC-∠CDE，
∴∠ODF=∠BDE
（3）解：如图，
∵OC=2，
∴OD=OB=OC=2，AB=2OC=4，
∵，
∴S1=nS2，
∵△DOE∽△ABC，
∴，，
∴S△ABC=4S△DOE=4S1，BC=2OE，
∵，
∴，
∵S四边形OCBD=S△DOB+S△BOC，
∴S△DOB=S2-2S1，
∴，
∴
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，由DE⊥AB得到∠DEO=90°，根据平行线的性质得到
∠DOE=∠ABC，再利用相似三角形的判定定理即可证明；
(2)根据相似三角形的性质得到∠ODE=∠BAC，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，则有∠ODE=∠BDC，再利用角的和差即可证明；
(3)利用相似三角形的性质得到，，再利用图形面积的关系得到S△DOB=S2-2S1，进而得到，得出OE的长，即可求出BC.
1 / 1浙江省杭州市第十三中学2024-2025学年九年级下学期数学开学考试卷
1．（2025九下·杭州开学考）cos45°的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】cos45°=．
故选C．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
2．（2025九下·杭州开学考）抛物线 的对称轴是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是直线x=-2，
故答案为：C．
【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．
3．（2025九下·杭州开学考）从4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中3名男同学，1名女同学，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：记3名男生为甲、乙、丙，女生为丁，作树状图如下：
共有12种等可能的结果，被抽到的2名同学都是男生有6种，
∴被抽到的2名同学都是男生的概率.
故答案为：B.
【分析】根据题意，画出树状图，得到所有等可能的结果数以及符合题意的情况，再利用概率公式计算即可.
4．（2025九下·杭州开学考）如图，是的直径，是弦，若，则等于（ ）
A．68° B．64° C．58° D．32°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∵，
∴∠ADC=90°-32°=58°，
∴∠ABC=∠ADC=58°，
故选：C．
【分析】根据直径所对的圆周角是90°，得到：再根据圆周角的性质，求出∠ABC．
5．（2025九下·杭州开学考）如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图①中，∠B=∠B，∠A=∠BDE=72°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B=∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C=∠C，∠CED=∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C=∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，
故答案为：D．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以得出△BDE和△ABC相似，△CDE和△CAB相似.
6．（2025九下·杭州开学考）下表是函数的部分自变量与对应的函数值：
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
-1 -0.28 0.48 1.28 2.12
根据此表，可以判断方程的一个解可能的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表格可知，当x=2.6时，y=-0.28<0，当x=2.7，y=0.48>0，
∴二次函数y=2x2-3x-6与x轴一个交点在直线x=2.6和直线x=2.7之间，
∴方程2x2-3x-6=0的一个解x的范围是2.6故答案为：B.
【分析】根据表格可知二次函数y=2x2-3x-6与x轴一个交点在直线x=2.6和直线x=2.7之间，即可求解.
7．（2025九下·杭州开学考）如图，中，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，交于点F．当时，点D恰好落在上，则（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将逆时针旋转α（），得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由旋转的性质得，由等边对等角及三角形的内角和定理求得的度数，由三角形内角和求得的度数，再由三角形内角和即可求解．
8．（2025九下·杭州开学考）如图，四边形ABCD内接于，连接AC，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴，
∵AB//CD，
∴∠BAD+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠BAD=180°-(∠BAC+∠CAD)，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∴，
整理得：3∠BAC+2∠CAD=180°.
故答案为：B.
【分析】根据AB=AC得，根据AB//CD得∠D=180°-∠BAD=180°-(∠BAC+∠CAD)，然后根据圆内接四边形的性质得∠B+∠D=180°，即，由此即可得出答案.
9．（2025九下·杭州开学考）如图，AB是的直径，点C、D在上，且在AB两侧，于点交线段AC于.若，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，，
∴，
设AC=4x，则AB=5x，BC=3x，
∴CB=CE=3x，
∴AE=x，
∵∠CAB=∠HAE，∠AHE=∠ACB=90°，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
解得，
连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB =90°=∠AHD；
而∠BAD=∠DAH，
∴△ADH∽△ABD，
∴，
∴AD2=AH·AB，
而AD=5，
解得(负根舍去)，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用圆周角定理、相似三角形的性质和勾股定理，通过已知条件和比例关系求解AB的长度.
10．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数，当时，的取值范围为或，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由条件可知二次函数图象开口向上，且方程ax2-bx=-1的解为x1=t-1，x2=-3-t，
∴a>0，x1，x2是方程ax2-bx+1=0的两根，
∴，
解得：-3又∵，
∴当t=-1时，，
解得： ，
∴a的范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意得，二次函数图象开口向上，则有a>0，且方程ax2-bx=-1的解为x1=t-1，x2=-3-t，利用一元二次方程根与系数的关系得到，解出t的取值范围，再根据t的取值范围求出的最大值，列出不等式即可求出a的取值范围.
11．（2025九下·杭州开学考）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，
故答案为．
【分析】由比例的合比性质知，．
12．（2025九下·杭州开学考）已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧的长是 cm． （结果保留根号）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意知，，∴（cm），
故答案为：．
【分析】此题主要考查了扇形的弧长公式。直接利用扇形的弧长公式，将公式列出之后代入相关数据计算即可得出结论．
13．（2025九下·杭州开学考）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n= .
【答案】3
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意可知：球的总个数为：，
∴n=9-6=3.
故答案为：3.
【分析】根据红球的个数以及任意摸出一个球是红球的概率为可以求得球的总个数，进而即可得到答案。
14．（2025九下·杭州开学考）如图，点都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则的正切值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值
【解析】【解答】解：连接BC，
设小正方形的边长为1，
∴，，，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴，
故答案为：.
【分析】连接BC，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，，AC=5，得出BC2+AB2=AC2，利用勾股定理的逆定理可得∠ABC=90°，再在Rt△ABC中利用正切的定义即可求解.
15．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数，且当时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y=a(x-1)(x-5)中，a<0，
∴抛物线开口向下，
∵y=a(x-1)(x-5)
=ax2-6ax+5a
=a(x-3)2-4a，
∴抛物线的顶点坐标为(3，-4a)，对称轴为直线x=3，
∴函数最大值为-4a，
∵|-1-3|=4，|4-3|=1，且4>1，
∴当x=-1时，函数有最小值，最小值为16a-4a=12a，
由题意得，-4a-12a=2，
解得：，
故答案为：.
【分析】由a<0可知二次函数图象开口向下，将二次函数化为顶点式y=a(x-3)2-4a，得出顶点坐标为(3，-4a)，对称轴为x=3，再根据二次函数的性质得出当x=-1时，函数有最小值12a，结合题意列出方程，即可求出a的值.
16．（2025九下·杭州开学考）如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点的对应点为E，ME与BC的交点为；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点的对应点为，则 ， .
【答案】；
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵AD=4AB，将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴，
，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB，BC=AD，AD//BC，∠A=∠D=90°，
∴∠DMC=∠MCN，
∴∠EMC=∠MCN，
∴ME=CE，
设CD=AB=a，则BC=AD=4a，
由折叠知，BN=NC=AM=DM=2a，
又∵AD//BC，∠A=∠D=90°，
∴四边形ABNM、DCNM都是矩形，
∴MN=AB=a，∠MNB=∠MNC=∠DMN=90°，
∴∠CMP=∠DMN，
∴∠CMP-∠CMN=∠DMN-∠CMN，即∠PMN=∠DMC，
∴∠PMN=∠MCN
∴△PMN∽△MCN，
∴，即，
∴，
设MF=CF=ax，则NF=NC-CF=2a-ax，
由勾股定理可得：NF2+MN2=MF2，
∴(2a-ax)2+a2=(ax)2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；.
【分析】由折叠的性质得到，，利用角的和差以及平角的定义推出∠CMP=90°，利用矩形的性质得到CD=AB，BC=AD，AD//BC，∠A=∠D=90°，结合折叠的性质证出四边形ABNM、DCNM都是矩形设CD=AB=a，通过证明△PMN∽△MCN得到，再设MF=CF=ax，在Rt△MNF中利用勾股定理建立方程，解出x的值得到NF，即可解答.
17．（2025九下·杭州开学考）
（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：原式
=2
（2）解：∵，
∴2(x-2y)=x+3y，
∴2x-4y-x+3y，
∴2x-x=3y+4y，
∴x=7y，
∴
【知识点】比例的性质；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
(2)利用比例的性质可得x，y的关系，即可解答.
18．（2025九下·杭州开学考）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术三门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．
（1）求甲同学选择A班剪纸课的概率．
（2）利用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一门课程的概率．
【答案】（1）解：该校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术共3门特色课程，
甲同学选择A班剪纸课的概率为；
（2）解：如下表所示：
乙 甲
共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，
甲、乙两人选择同一门课程的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）学校共开设了三门特色课程，故甲同学有三种等可能的选择，而选择剪纸课的情况只有一种，从而根据概率公式计算可得答案；
（2）此题是抽取放回类型，根据题意列出表格，根据表格可知共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，再根据概率公式即可求解．
（1）解：该校开设班剪纸、班戏曲、班武术共3门特色课程，
甲同学选择班剪纸课的概率为．
（2）解：如下表所示：
乙 甲
共有9种可能的情况，其中甲、乙两人选择同一门课程的情况有3种，
甲、乙两人选择同一门课程的概率为．
19．（2025九下·杭州开学考）如图是两个的正方形方格，每个正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点就是格点.下面请根据要求，用无刻度直尺作图（不可超出边界），做出一种情况即可.
（1）在图1中找到两个格点E、F，连结EF，使得EF平分AB；
（2）在图2中找到两个格点G、H，连结GH，使得GH垂直AB（G、H不与A、B重合）.
【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图.
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-垂线
20．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数经过点和点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当时，请直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：代入A(3，0)、B(0，-3)到y=ax2-2x+c，
得，
∴
∴
（2）解：∵a=1>0，
∴二次函数y=x2-2x-3的图象开口向上，
令y=1，则x2-2x-3=1，
解得：，，
∴当y≥1时，x的取值范围为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)代入A(3，0)、B(0，-3)到y=ax2-2x+c，利用待定系数法即可求解；
(2)由a=1>0可知二次函数图象开口向上，令y=1求出对应x的值，再结合二次函数的性质即可求出当y≥1时x的取值范围.
21．（2025九下·杭州开学考）如图，是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作，交CB延长线于点F，AE的延长线交BC的延长线于点.
（1）求证：；
（2）若，求EG的长.
【答案】（1）证明：由题意可得：∠ABC=∠BAD=∠D=90°，AD=AB，
∴∠ABF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∵∠BAD=∠FAE
∴∠BAD-∠BAE=∠FAE-∠BAE，即∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF(ASA)，
∴AE=AF
（2）解：CD= AD， AD//BC，
由(1)得，，
∵∠D=90°，
∴，
∴CD=AD=6，
∴CE=CD-DE=4，
∵AD//CG，
∴△ADE∽△GCE，
由三角形相似的性质可得：
，
∴，
∴EG的长为
【知识点】三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAD=∠D=90°，CD=AD=AB，再由AF⊥AE得到∠FAE=90°，利用角的和差关系得到∠DAE=∠BAF，利用全等三角形的判定推出△ADE≌△ABF，即可得证；
(2)由(1)得，利用勾股定理求出AD的长，进而得到DE的长，通过证明△ADE∽△GCE，，代入数据即可求出EG的长.
22．（2025九下·杭州开学考）某班的同学想测量教学楼AB的高度，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为8米，它的坡比，从点向前进30米后，又在处测得教学楼顶端的仰角为.
（1） ；
（2）求点到AB的距离；
（3）教学楼AB的高度约为多少米.（结果精确到0.1米）（参考数据：，）
【答案】（1）
（2）解：如图，延长AB交DC延长线于点F，则∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，，
∴，
设BF=k米，则米，
∴(米)，
又∵BC=8米，
∴2k=8，
解得：k=4，
∴(米)
（3）解：由(2)得，BF=4米，米，
∴米，
在Rt△ADF中，，
∴(米)，
∴AB=AF-BF≈23.7(米)，
∴教学楼AB的高度约为23.7米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得，∠D=37°，
故答案为：37°.
【分析】(1)根据仰角的定义即可解答；
(2)延长AB交DC延长线于点F，在Rt△BCF中利用坡度的定义得到，设BF=k米，利用勾股定理表示出BC，求出k的值，得出CF的长，即可解答；
(3)在Rt△ADF中，利用正切的定义求出AF的长，再利用AB=AF-BF即可求解.
23．（2025九下·杭州开学考）已知二次函数是常数，且的图象过点.
（1）试判断点是否也在该函数的图象上，并说明理由；
（2）请判断二次函数的图象与轴的交点个数，并说明理由；
（3）已知二次函数的图象过和两点，且当时，始终都有，求的取值范围.
【答案】（1）解：点(2，2-2a)不在该函数的图象上，理由如下：
代入(3，1)到y=ax2+bx-2，得9a+3b-2=1，
∴b=1-3a，
∴y=ax2+(1-3a)x-2，
当x=2时，y=4a+2(1-3a)-2=-2a≠2-2a，
∴点(2，2-2a)不在该函数的图象上
（2）解：二次函数的图象与x轴的交点个数为2个，理由如下：
由(1)得，y=ax2+(1-3a)x-2，
令y=0，则ax2+(1-3a)x-2=0，
∴，
∴二次函数的图象与x轴的交点个数为2个
（3）解：二次函数的对称轴为，
①当a<0时，抛物线开口向下，且对称轴时，
∴当，始终都有y1②当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为，
由条件可知，
解得：
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)代入(3，1)到y=ax2+bx-2，得到b=1-3a，再代入x=2求出对应的函数值，再与2-2a比较，即可得出结论；
(2)令y=0，得到ax2+(1-3a)x-2=0，再利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，即可得出二次函数的图象与x轴的交点个数；
(3)先确定二次函数的对称轴为，再分a<0和a>0两种情况分析即可解答.
24．（2025九下·杭州开学考）如图，已知△ABC内接于是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接CD交OE边于点.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接OC，若，设的面积为，四边形OCBD的面积为，若，用含的代数式表示BC.
【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEO =90°，
∵OD//BC，
∴∠DOE=∠ABC，
∵∠DEO=∠ACB=90°，
∴△DOE∽△ABC
（2）证明：∵△DOE∽△ABC，
∴∠ODE=∠BAC，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ODE=∠BDC，
∴∠ODE-∠CDE=∠BDC-∠CDE，
∴∠ODF=∠BDE
（3）解：如图，
∵OC=2，
∴OD=OB=OC=2，AB=2OC=4，
∵，
∴S1=nS2，
∵△DOE∽△ABC，
∴，，
∴S△ABC=4S△DOE=4S1，BC=2OE，
∵，
∴，
∵S四边形OCBD=S△DOB+S△BOC，
∴S△DOB=S2-2S1，
∴，
∴
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，由DE⊥AB得到∠DEO=90°，根据平行线的性质得到
∠DOE=∠ABC，再利用相似三角形的判定定理即可证明；
(2)根据相似三角形的性质得到∠ODE=∠BAC，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，则有∠ODE=∠BDC，再利用角的和差即可证明；
(3)利用相似三角形的性质得到，，再利用图形面积的关系得到S△DOB=S2-2S1，进而得到，得出OE的长，即可求出BC.
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