10.3实际问题与二元一次方程组专项训练（含解析）

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10.3实际问题与二元一次方程组专项训练-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
一、单选题
1．用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．设鸡有只，兔有只，可列二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （ ）
A． B．
C． D．
4．《九章算术盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十，盈六；人出九，不足十．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）正确的是 （ ）
隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤． 《算法统宗》注：明代时1斤16两，故有“半斤八两”这个成语
A． B．
C． D．
6．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．甲、乙两人共有图书本，若甲给乙本后，甲的图书数是乙的倍，则甲原有图书 本．
8．已知4辆小卡车和5辆大卡车一次能运货52吨，10辆小卡车和3辆大卡车一次能运货54吨．设每辆小卡车每次运货x吨，每辆大卡车每次运货y吨，列二元一次方程组是 ．
9．A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，这艘轮船在静水中的速度是 千米/时．
10．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q为点P的“关联点”．例如，点，则点是点P的“关联点”．若点Q是点P的“关联点”，若点P向右平移3个单位可与Q重合，则点P的坐标 ．
11．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神，我校决定购买A、B两种数学类图书，若购买3本A种图书和2本B种图书共需130元；若购买5本A种图书和4本B种图书共需230元．则购买9本A种图书和10本B种图书一共需要 元．
12．某校去年有名学生，今年比去年增加，其中住宿学生增加，走读学生减少．若设该校去年住宿学生有名，走读学生有名，则可列方程组为 ．
13．某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有 箱货物装错．
14．如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ．
三、解答题
15．《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，求每头牛和每只羊各值多少金？
16．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题．
17．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案．
(3)若该汽车销售公司销售一辆型汽车可获利元，销售一辆B型汽车可获利元，在（）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
18．某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元．
(1)两种取暖器各购进多少台？
(2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？
19．如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要．
(1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？
(2)求的长度．
20．法库寒富苹果以果实硕大、酸甜多汁、营养丰富、风味独特而驰名省外，沈阳某特产品商店购进、两种不同包装的寒富苹果共件，总费用为元，这两种包装苹果的进价、售价如表：
包装 包装
进价（元/件）
售价（元/件）
(1)该特产品店购进、两种包装的苹果各多少件？
(2)来自外地的王先生到该特产品商店打算购买、两种包装的苹果各件．现在该特产品店在做销售活动：
方案一：打“九折”销售；
方案二：总价“满元减元”，
请问王先生会选择到哪个方案买更优惠？说明理由．
《10.3实际问题与二元一次方程组专项训练-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A C A D A
1．D
【分析】本题考查列二元一次方程组的应用．根据图形得到大长方形的长与小长方形的长之间的数量关系，小长方形的长与宽之间的数量关系，列出方程即可．
【详解】解：由图可知，大长方形的长等于2倍的小长方形的长，等于小长方形的长加上3倍的小长方形的宽，小长方形的长等于3倍的小长方形的宽；
即：，，
故可列方程组：，，；
不能得到；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程组，根据上有三十五头，下有九十四足，列出方程组即可。
【详解】解：设鸡有只，兔有只，由题意，得：
，
故选A．
3．C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
根据图的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为、的系数，第三个数为方程右侧常数的十位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图所示的算筹图列出二元一次方程组即可．
【详解】解：图所示的算筹图所表示的方程组为，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．根据如果每人出钱，就多了钱；如果每人出钱，就少了钱，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设共有人，物品的价格为钱，
∴由题意可得，，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程、二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程、二元一次方程组是解题的关键．根据“如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两”，即可列出关于（或的一元一次方程、二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两，
或或．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可．
【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱，
依题意得，
故选：A．
7．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有图书本，乙原有图书本，根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：设甲原有图书本，乙原有图书本，
根据题意得：，
解得：，
甲原有图书本，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是理解题意．
设每辆小卡车每次运货x吨，每辆大卡车每次运货y吨，根据“4辆小卡车和5辆大卡车一次能运货52吨，10辆小卡车和3辆大卡车一次能运货54吨”即可建立方程组．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
9．17
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，由于A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，由此即可方程组解决问题．
【详解】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，
依题意得
，
解得：，
答：这艘船在静水中的速度为17千米/小时．
故答案为：17．
10．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，坐标与图形变化——平移，点的坐标，熟练掌握平移后点的坐标变化规律是解题的关键．先设点P的坐标为，结合“关联点”的定义得点Q的坐标为，因为点P向右平移3个单位可与Q重合，故，即可作答．
【详解】解：依题意，设点P的坐标为，
∵点Q是点P的“关联点”，
则点Q的坐标为，
∵点P向右平移3个单位可与Q重合，
∴将点P向右平移个单位后，所得点的坐标为，
即此点与Q重合，
∴，
解得，
∴点P的坐标为．
故答案为：
11．470
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据购买3本A种图书和2本B种图书共需130元；若购买5本A种图书和4本B种图书共需230元，列出，再解出，即可作答．
【详解】解：依题意，设A种图书和A种图书的单价为元，元，
则，
解得，
则（元），
∴购买9本A种图书和10本B种图书一共需要元．
故答案为：
12．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键.
根据题意列出方程组即可.
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：.
13．2
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干可得已知条件，A种货物有20箱，B种货物有20箱，甲车一共装了20箱，甲车比乙车重，则可设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，列二元一次方程组解答即可．
【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得：
，
解得：，
∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B，
所以，甲车有2箱货物装错
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，小长方形的宽为，根据图形列出方程组即可求解，根据图形正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为，
由题意得，，
解得，
∴阴影部分的总面积为，
故答案为：．
15．每头牛值金，每只羊值金
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每头牛值金，每只羊值金，根据“牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金”，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：设每头牛值金，每只羊值金，
根据题意得：，
解得：．
答：每头牛值金，每只羊值金．
16．个客人，个盘子
【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键．
【详解】解：设有个客人，个盘子．
根据题意，得 ，
解得 ，
答∶有个客人，个盘子．
17．(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元
(2)共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆
(3)购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元
【分析】（）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解；
（）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论；
（）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论；
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
由题意得，，
解得，
答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
由题意得，，
解得，
，均为正整数，
，，，
共种购买方案，方案一：购进型车辆，型车辆；方案二：购进型车辆，型车辆；方案三：购进型车辆，型车辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元；
，
购进型车辆，型车辆获利最大，最大利润是元．
18．(1)A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台
(2)A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元
【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台，根据“用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台”，列出方程组，解之即可得出结论；
（2）设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，根据＂这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利＂，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台．
由题意得：，
解得：
答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台．
（2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元，
由题意得：
解得：
答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元．
19．(1)
(2)的长度分别是
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；
（1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可；
（2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可．
【详解】（1）解： ．
故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要．
（2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要，
∴沿骑行需要．
又∵沿骑行需要，
∴沿骑行需要．
设的长度是的长度是．
根据题意，得，
解得，
故的长度分别是．
20．(1)该特产品店购进包装的苹果50件，包装的苹果件
(2)王先生选择方案二购买更优惠，理由见解析
【分析】（）设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件，根据题意列出方程组即可求解；
（）求出产品销售活动前购买所需费用，再分别求出销售活动后两种方案购买所需费用，比较即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：设该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件，
根据题意得，，
解得，
答：该特产品店购进包装的苹果件，包装的苹果件；
（2）解：王先生选择方案二买更优惠，理由如下：
（元），
选择方案一购买所需费用为（元），
选择方案二购买所需费用为（元），
，
王先生选择方案二购买更优惠．
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