2025年中考数学计算题专题系列：解一元二次方程与分式方程（含解析）

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2025年中考数学计算题专题系列：解一元二次方程与分式方程
1．解下列方程：
(1)；
(2)．
2．解下列方程：
(1)；
(2)．
3．用适当的方法解方程：
(1)．
(2)．
4．解方程
(1)；
(2)
5．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
6．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
7．解方程
(1)（公式法）
(2)（配方法）；
(3)
8．解方程：
(1)
(2)
9．解方程：
(1)；
(2)．
10．解方程：
(1)；
(2)．
11．用适当的方法解下列方程
(1)；
(2)；
(3)
(4)．
12．解下面的方程：
(1)
(2)
13．解方程：
(1)(用因式分解法)
(2)(用配方法)
14．解方程：
(1)；
(2)．
15．计算．
(1)．
(2)．
16．解分式方程：
(1)；
(2)．
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．解分式方程：
(1)．
(2)．
19．解方程：
(1)；
(2)
20．解下列方程：
(1)
(2)
21．解分式方程：
(1)；
(2)．
22．解分式方程：
(1)
(2)．
23．解方程：
(1)
(2)
24．解方程：
(1)
(2)
《2025年中考数学计算题专题系列：解一元二次方程与分式方程》参考答案
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取合适的解法是解题的关键；
（1）用开平方法即可求解；
（2）利用配方法即可求解．
【详解】（1）解：开平方得：，
解得：．
（2）解：移项得：，
配方得：，
即，
解得：．
2．(1)，；
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、解分式方程，解分式方程时要注意检验所求的根是否原方程的增根．
用公式法解方程即可；
首先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出方程的解为，，再把求出的解代入分式方程的最简公分母检验是否增根．
【详解】（1）解：，
其中，，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
方程的解为，；
（2）解：，
方程两边同时乘以，
可得：，
整理得：，
分解因式可得：，
解得：，，
检验：当时，，
当时，，
是原方程的增根，是原分式方程的根，
方程的解为．
3．(1)方程无实数根
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法，如判别式判断根的情况，因式分解法等．
（1）对于一元二次方程，可通过判别式判断根的情况；
（2）先将方程进行变形，再通过因式分解求解．
【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中．
根据判别式，将代入可得：
因为，所以此方程无实数根；
（2）解：
即或，
解得：．
4．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用配方法解答即可；
（2）移项，再利用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：，即
∴，则，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，即，
∴或，
∴，．
5．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；
（2）先把原方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
6．(1)，
(2)；
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（3）根据公式法解一元二次方程即可；
（4）方程化为，根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：整理，得
根据平方根的意义，得
即或
即，；
（2）解：
∴；；
（3）解：方程化为
，，
方程有两个不相等的实数根
即，；
（4）解：方程化为，
因式分解，得，
于是得或，
即，．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
∴，
∴；
（2）
，
，
∴
（3）
或
∴．
8．(1)，
(2)，
【分析】此题考查了解一元二次方程．
（1）变形后利用因式分解法解方程即可；
（2）变形后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
∴，
则
∴或
解得，；
（2）解：
∴
则
∴或
解得，
9．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
，；
（2）解：，
移项得：，
因式分解得，
或，
，．
10．(1)或．
(2)或．
【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或．
（2）解：，
，
，
，
或．
11．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）先把两边都除以3，然后用直接开平方法求解即可；
（2）整理后用公式法求解即可；
（3）用因式分解法求解即可；
（4）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，
整理得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴或，
∴．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）用公式法求解，先用判别式，判断根的存在性，再代入求根公式即可求解；
（2）用因式分解法求解，先用十字相乘法将方程左边进行因式分解，得出或，即可解答．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：，
，
，
解得：．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握各种解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先因式分解，即可解答；
（2）利用配方法得到，即可解答．
【详解】（1）解：，
，
解得；
（2）解：，
，
，
，
可得，
解得．
14．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解二元一次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键．
（1）运用直接开平方法求解即可；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：
变形为：，
两边开方，得：，
解得：，；
（2）解：
∵，，，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
即，
∴，．
15．(1)
(2)无解
【分析】先去分母、去括号，然后移项合并，系数化为1，最后进行检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
系数化为1得：
经检验是原分式方程的解
∴方程的解为．
（2）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
系数化为1得：
经检验不是原分式方程的解，是分式方程的增根
∴方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的去分母去括号．
16．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，基本思想是化分式方程为整式方程，注意要检验；
（1）方程两边同乘，化为整式方程，再求解并检验即可；
（2）方程两边同乘，化为整式方程，再求解并检验即可；
【详解】（1）解：方程两边同乘，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故分式方程的解为．
（2）解：方程两边同乘，得：，
化简得：，
解得：，
经检验是原方程的增根，
故原方程无解．
17．(1)
(2)分式方程无解
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
去分母得到：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是分式方程的解；
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是增根，分式方程无解．
18．(1)
(2)无解
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．
（1）根据分式方程的解法即可求出答案．
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【详解】（1）解：
；
当时，，
故是该分式方程的解；
（2）解：
，
当时，；
故该方程无解
19．(1)；
(2)方程无解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．
（1）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案；
（2）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案．
【详解】（1）解：
去分母得到，
解得
经检验，是分式方程的解；
（2）
去分母得到，
解得，
当时，，
∴是增根，分式方程无解．
20．(1)
(2)原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为；
（2）解：
去分母得，
解得
检验：将代入
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
21．(1)
(2)原方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键，需要注意的是，最后需要检验是否为增根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
∴原方程的解为：；
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的增根．
∴原方程无解．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤解答即可，注意验根．
（2）根据解分式方程的基本步骤解答即可，注意验根．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：
方程两边同乘以，约去分母，得．
解这个整式方程，得．
检验：把代入，得，
故是原方程的解．
（2）解：
方程两边同乘以，约去分母，得．
解这个整式方程，得．
检验：把，得．
故是原方程的解．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程，熟记解方程步骤，去分母，去括号，移项合并，系数化１，即可求解．
（1）方程两边同时乘去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
（2）方程两边同时乘去分母，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并解得：
经检验，是原方程的解
所以；
（2）
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
解得：
经检验，是原方程的解
所以．
24．(1)
(2)无解
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴原方程的根为：
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验：是增根，
∴原方程无解；
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