第7章平行线的判定专项训练（含解析）

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第7章平行线的判定专项训练-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
1．如图，已知，，平分，与平行吗？请说明理由．
2．如图，已知平分，，求证：．
3．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
4．如图，在三角形中，，垂足为D，，．求证： ．
5．如图，分别是的平分线，且．试说明：．
6．如图．
(1)已知，，平分，与平行吗？为什么？
解：．理由如下：
因为，平分（已知），
所以（__________），
又因为（已知），
所以____________________，
所以（__________）．
(2)已知，平分，与平行吗？为什么？
7．如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由．
补全以下解题过程：
解：平行．理由如下：
因为，平分，
所以__________=__________°（角平分线的定义）
又因为，
所以____________________，
所以（__________）．
8．完成下面的证明：
如图，平分，平分，且．
求证：．
证明：∵平分（已知），
∴（ ）．
又∵平分（ ），
∴______（ ）．
（ ）．
又∵（已知），
（______）（ ）．
∴（ ）．
9．如图，在四边形中，于点，平分交于点，．
(1)请完成下面的说理过程．
∵平分（已知）
∴__________________（____________________）
∵（已知）
∴________________________（等量代换）
∴（______________________）
(2)若，求的度数．
10．如图，已知平分，说明．
解：因为平分（已知），
所以（角的平分线的意义），
因为（三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和）
又因为（已知），
所以______（等式性质），
（完成以下说理过程）
11．已知：如图，平分，，求证：．

证明平分（已知）
______________（__________________）
（已知）
_________（__________________）
（__________________）
12．如图，直线交于点O，分别平分和，已知．

(1)若，求的度数．
(2)试判断与的位置关系，并说明理由；
13．如图，在台球运动中（每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边点B，然后又反弹击中球C．
(1)若，求的度数．
(2)母球P经过的路线与一定平行吗？请说明理由．
14．如图，中，D为上一点，，的角平分线交于点F．

(1)求证：；
(2)G为上一点，当平分，求证：；
(3)在（2）的基础上，连接求证：．
15．如图，，．试说明：．

16．光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
17．如图，是的高，，点、分别在、上，且，试判断与有怎样的位置关系？为什么？
18．如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作，G为射线EC上一点，连接BG、AB，且．
(1)试说明；
(2)若试判断AB与EF平行吗？并说明理由．
19．如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．

(1)求证：；
(2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒．
①当，且时，求t的值；
②当，，则t的值是___________．
20．（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为：___________；

（2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行”
已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由）
（3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？

《第7章平行线的判定专项训练-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
1．平行，见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明．
【详解】解：平行，理由如下：
∵，平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
2．证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，由角平分线的定义可得，则可得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明结论．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证；
（2）根据同角的余角相等，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
4．见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定，同角的余角相等以及垂直的定义，由垂直的定义得出，由已知条件得出，再根据同角的余角相等即可得出，进而可判定．
【详解】证明：∵，
∴（垂直的定义）．
∵，．
∴（等量代换）．
∴（同角的余角相等）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
5．见解析
【分析】本题考查了平行线，角平行线的综合题，平行线的判定，角平分线定义，将两个角的互补关系转化为两条直线的平行关系是解题的关键．根据角平分线定义，平行线的判定问题可以得证．
【详解】解：分别是的平分线，
．
，
，
．
6．(1)见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，由内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，平分（已知），
∴（角平分线的定义），
又∵（已知），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，，，内错角相等，两直线平行；
（2）解：平行．理由如下：
∵EF平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
7．；60；；；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，先因为，平分，得，结合，则，即可证明．
【详解】解：解：平行．理由如下：
因为，平分，
所以（角平分线的定义）
又因为，
所以，
所以（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行．
8．角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可．
【详解】证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∴（等量代换）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的判定，与角平分线有关的计算：
（1）根据平行线的判定和性质，进行作答即可；
（2）垂直得到，求出，角平分线求出的度数，进而求出即可．
【详解】（1）∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵
∴
∵，
∴
∴
∴．
10．见解析
【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的判定，角平分线的定义；由平分得；由三角形外角性质，结合，得，从而得，由平行线的判定即可得．
【详解】因为平分（已知），
所以（角的平分线的意义），
因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又因为（已知），
所以（等式性质），
所以，
所以．
故答案为：；不相邻；
11．见解析
【分析】本题考查平行线的判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义，等量代换，平行线的判定方法，进行作答即可．
【详解】证明平分（已知）
∴（角平分线的定义）
（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）．
12．(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的判定，找准角度之间的等量关系，是解题的关键．
（1）根据角平分线平分角，得到，结合平角的定义和，进行求解即可；
（2）角平分线平分角，结合平角的定义推出，推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．(1)
(2)与一定平行，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，平角的性质，正确掌握相关性质是解题的关键．
（1）先得出，再根据平角定义，得，代入数值进行计算，即可作答．
（2）与（1）同理，得，，再结合，进行角的等量代换，即可作答．
【详解】（1）解：∵每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的夹角相等，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：与一定平行．
理由：因为，，
所以．
同理可得．
因为，
所以，
所以．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】利用三角形外角的性质得, 从而证明结论;
利用内错角相等，两直线平行证明即可；
利用证明,得到，然后再利用证明，从而得出结论.
【详解】（1）证明: ∵是的角平分线,
∴,
∵分别是的外角,
∴,
又∵,
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）

∵平分,
∴,
∵,
∴,
在和中,
，
∴,
∴，
又∵,，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键.
15．见解析
【分析】先由等量代换得，再根据内角错相等，两直线平行可得．
【详解】证明： 且 ，
，
（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解决此题的关键．
16．平行，理由见解析
【分析】根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据，结合内错角相等，两直线平行即可判定．
【详解】解：平行，理由如下：
如图，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．
17．，见解析
【分析】由两直线平行内错角相等得到，结合得到，再由同旁内角互补，两直线平行得到，最后根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行解答即可．
【详解】解：，理由如下，
，
．
，
．
是的高，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．(1)见解析
(2)ABEF，理由见解析
【分析】（1）根据互相垂直的意义，以及同角或等角的余角或补角相等，得出结论；
（2）根据角平分线以及同角或等角的余角或补角相等，得出∠A=∠AEF，利用内错角相等两直线平行，得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解： ，
理由如下：
∵平分 ，
∴，
∵，，
∴，
又∵ ，
∴，
∴ ．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，同角(或等角)的余角相等，角平分线的有关证明，能根据同角(或等角)的余角相等完成角度之间的转化是解题关键．
19．(1)见解析
(2)①；②32或50
【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义得到，则，由此即可证明；
（2）①如图所示，过点G作，则，由平行线的性质得到，，则，再由
， 得到，解方程即可；②分图2-1和图2-2，过点G作，则，利用平行线的性质求出，的度数，然后根据建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的邻补角，，
∴，
又∵平分．
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵
∴，
如图所示，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴

又∵，
∴，
∴；
②如图2-1所示，当时，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得；

如图2-2所示，
由（2）①，
∴，
∵，
∴
解得；
综上所述，t的值为或50．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，利用分类讨论的思想是解题的关键．
20．（1）同位角相等，两直线平行；（2）见解析；（3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；见解析
【分析】（1）依据同位角相等，两直线平行作答；
（2）根据同角的补角相等可得，再根据同位角相等，两直线平行作答即可；
（3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；然后利用（1）的基本事实和（2）的结论证明即可．
【详解】（1）用移动三角尺的方法画出了两条平行线，依据的基本事实为：同位角相等，两直线平行；
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）证明：如图2，∵与互补，即（补角的定义），
又∵（邻补角的定义），
∴（同角的补角相等），
∴（同位角相等，两直线平行）；
（3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；
理由：∵是直角，
∴，
若，则，由（2）同旁内角互补，两直线平行可知；
若，则，根据同位角相等，两直线平行可知；
若，由于，则，根据同位角相等，两直线平行可知．
【点睛】本题考查了平行线的判定和演绎推理，正确理解题意、熟知同位角相等、两直线平行是解题的关键．
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