第4章因式分解章末检测卷（含解析）

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第4章因式分解章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．已知，则等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　）
A． B． C． D．
5．已知，，是的三边，且，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
6．分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
7．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
8．把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
9．因式分解： ．
10．已知，则的值为 ．
11．如果a，b为实数，满足，那么的值是 ．
12．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
13．如图，这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为，的长方形卡片张现要用这张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ．
14．关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．若多项式可分解为．则的值为 ．
三、解答题
15．分解因式
(1)
(2)．
16．先分解因式，再求值：，其中，．
17．阅读下列材料：
将分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式：．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)；
(2)；
18．【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”．
【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？
【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
19．阅读例题，解答问题．
例题：已知二次三项式 有一个因式是，求另一个因式及m 的值．
解：设另一个因式为，得，则，，解得
∴ 另一个因式为，m 的值为3．
问题：已知二次三项式 有一个因式是，求另一个因式及k 的值．
20．小明从一张边长为的正方形纸板上减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述过程揭示的因式分解的等式是______；
(2)若，，求的值；
(3)利用因式分解计算：．
《第4章因式分解章末检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D B A B B C
1．D
【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式表示为几个整式的乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：选项A：右边不是整式乘积的形式，不是因式分解；
选项B：，原分解错误；
选项C：属于整式乘法，不是因式分解．
选项D：符合因式分解定义．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的有意义的条件，正确对根号下面部分式子进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：原式根号下面部分为，
，
，
，
，
∴，
，
，
，，，
，当且仅当或时，取到等号，
根据二次根式的性质只能等于0，
，
当时，；
当时，；
原式，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，利用可得答案．
【详解】解：∵，
∴；
故选：D
4．B
【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，根据公因式的确定方法解答即可，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴应提取的公因式是，
故选：．
5．A
【分析】本题考查了因式分解，因为，则，因为，，是的三边，则，故，则，即，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，是的三边，
则，
故，
则，
即，
∴一定是等腰三角形．
故选：A．
6．B
【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解．
【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则；
王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握非负数的性质是解题的关键．先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解．
【详解】解：,
因为,
所以,
当时，,
因此的最小值是，
故选：B.
8．C
【分析】本题主要考查整式的乘法运算和因式分解．先将展开，再合并同类项，根据同类项系数相等即可求解．
【详解】解：，
由于多项式跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相等，
可得：，，
解得：，，
故选：C．
9．
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．21
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．根据平方差公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：21．
11．
【分析】本题考查算术平方根及平方的非负数性质及完全平方公式，熟练掌握非负数性质是解题关键．利用算术平方根及平方的非负数性质得出、的值，代入即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：
12．或
【分析】本题考查因式分解—公式法，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．解题的关键是掌握完全平方公式：．
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
故答案为：或．
13．/
【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意，得到大正方形的面积为，因式分解得到，即可得出结果．
【详解】解：这三种规格的卡片共有张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长、宽分别为的长方形卡片张．现要用这张卡片拼成一个大正方形，
这个大正方形的面积是，
∵，
∴这个大正方形的边长为：
故答案为：．
14．8
【分析】本题主要考查了因式分解中十字相乘法．直接利用多项式乘法进而得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：多项式可分解为，
，
，
则，，
解得：，，
故．
故答案为：8．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：
（1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可；
（2）原式变形为，然后提取公因式，在根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．；64
【分析】本题考查的是因式分解，求解代数式的值，先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式，再代入数据进行计算即可.
【详解】解：
．
当，时，
原式
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查分解因式—十字相乘法，
（1）根据十字相乘法分解因式即可；
（2）根据十字相乘法分解因式即可；
掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，，
②交叉相乘，验中项：
，
③横向写出两因式：；
（2）①竖分二次项与常数项：，．
②交叉相乘，验中项：
，
③横向写出两因式：．
18．验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误
证明：证明见解析
【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论；
证明：利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证．
【详解】解：验证：
，
是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确；
，
不是“4倍数”，故淇淇的说法错误；
证明：
，
是整数，
是整数，
这三个连续偶数的平方和是“4倍数”．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
19．，
【分析】本题考查因式分解的应用，设另一个因式为，得到，将等式右边利用多项式乘以多项式的法则，进行计算后，得到二元一次方程组，进行求解即可．
【详解】解：设另一个因式为，得，
则 ，
，解得 ，
∴另一个因式为，k 的值为．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
（1）根据图形面积相等即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解；
（3）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：原式
．
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