北京市顺义区第一中学2024-2025学年第二学期高一期中考试数学试题（图片版，含答案）

2025北京顺义一中高一（下）期中
数 学
2025.04
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
一、单选题：共 10 小题，每小题 4 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项.
1．一个球的表面积为16π，则该球的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 已知向量 a = (x,1)，b = (2, 2) ，且 a //b ，则 x =（ ）
A. 1 B. 4 C. 1 D. 4
3.如图， ′ ′ ′是水平放置的△ 的直观图，则△ 的周长为( )
A. 10 + 2√ 13 B. 3√ 2 C. 10 + 4√ 13 D. 12
4.cos72 cos12 + sin72 sin12 =( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
5. 函 数 = sin( + ) 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 ( )

A. = 2sin(2 ) B. = 2sin(2 )
6 3

C. = 2sin(2 + ) D. = 2sin(2 + )
6 3
6.在△ 中， = ，则△ 的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.在△ 中，“ > 0”是“ 为钝角三角形”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.如图在△ABC 中，点 D是线段 BC 的中点，E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点，则 =（ ）
第1页/共11页
5
A．
1 2 1 1 B． + C．
1 2 1
+ D． +
3 3 3 6 3 3 3 3
9.如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知 AB =10 cm， A1B1 = 20cm，棱台的高为 12cm,先需要对该零部
D
件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为 0.5 元，则该零部 C
A
B
件的防腐处理费用是( )
C1
（A）640 元 （B）440 元 （C）390 元 （D）347.5 元 D1
10．平面向量 e1 与 e2 是单位向量，夹角为60
，那么，向量 e A1 B11 、 e2 构成平面
的一个基．若 a = xe + ye ，则将有序实数对 x, y 称为向量 a1 2 的在这个基下的斜坐标，表示为
a = x, y ．设 a = 1, 1 ， b = 2,0 ，则a b =（ ）
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
二、填空题:共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11.已知在△ ABC中，sin : sin : sin = 4: 3: 2,则cos =____________．
12.如图是以C 为圆心的一个圆，其中弦 AB 的长为 2 ，则 AC AB = _______.
π
13. 设函数 f ( x ) = s i n ( x ) ( 0)．若 f (x) f ( )对任意实数 x都成立，则 的值
3 6
可以为________. （答案不唯一,写出一个满足条件的值即可）
14. 已知a = ( 1,1)，b = (1,0)， c = a + tb ，若 a,c = b ,c ，则实数 t = ______．
15.已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的 2
倍．给出下列结论：
V1 3
①设圆柱与圆锥的体积分别为V 、V =1 2，则 ； V2 2
S1 1
②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为 S 、 S1 2 ，则 = ； S2 2
S3 4
③设圆柱与圆锥的侧面积分别为 S3 、 S4 ，则 = ；
S4 17
S5 6
④设圆柱与圆锥表面积分别为 S 、 S5 6 ，则 = . S6 1+ 17
其中正确结论的是_________
三、解答题:共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本题 13 分）已知函数 f (x) = sin 2x + 2 3 cos2 x ．
（1）求函数 f ( x)的最小正周期；
第2页/共11页
π
（2）求函数 f ( x)在区间 0, 上的最大值和最小值．
4


17．（本题 14 分）已知向量 a 和 b ，则 a = 2 , b = 2 , a,b = 60 求：
(1) a b 的值；
(2) 2a + b 的值；
(3) 求向量2a + b 在 b 方向上的投影向量；
18.（本小题 14 分如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， E, F 分别为 A C , BC 的中点． 1 1
（Ⅰ）求证： FC ∥平面 ABE ； 1
（Ⅱ）若 AB = BC =1, AC = 2 , A1A =1, 求直三棱柱 ABC A1B1C1 的体积和表面积；
19.（本题 15 分）在△ABC 中， 3a sin C + ccos A = 2c .
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求
△ABC 最长边上的高.
条件①： a = 7 , b = 8；
条件②： b = 8 ,△ABC 的周长为 20；
5 3
条件③： a = 7 , sinC = .
14
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，
按第一个解答计分.
第3页/共11页
π
20.（本小题 15 分）已知函数 f (x) = 4cos xsin x +1．
6
（1）求函数 f ( x)的最小正周期以及单调递增区间；
π
（2）若函数 f ( x)向左平移 ( 0)个单位后，所得函数 g (x)的图象关于 x = 对称，
8
（ⅰ）求 φ的最小值；
11π
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数 y = g (x) m (m R )在区间 0, 上存在零点，求m 的取值范围．
24
21．（本小题 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于非零向量a = (x1, y1 ) ,b = (x2 , y2 )，定义这两个向量的
x1y2 x2 y1
“相离度”为d(a,b) = ，容易知道 a,b 平行的充要条件为d (a,b) = 0．
x2 + y2 x2 + y21 1 2 2
(1)已知 a = (1,2),b = (4, 2)，求 d (a,b )；
(2)①已知 a,b 的夹角为 1和 c,d 的夹角为 2 ，证明： d (a,b) = d (c,d )的充分必要条件是 sin 1 = sin 2 ；
4
②在 ABC 中， AB = 2, AC = 4，角 A的平分线 AD与 BC交于点 D，且 AD = ，若PA+ PB + PC = 0 ，求
3
d (PA, PB)．
第4页/共11页
参考答案
一、单选题：共 10 小题，每小题 4 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项.
1-10 BCABA CCBAC
二、填空题：本题共 5小题，每小题 5 分，共 25 分。
11
11.【答案】 ．
16
【分析】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，考查计算能力，属于基础题．
由正弦定理可把角之比化为边之比，再利用余弦定理可得 ．
【解答】
解：sin : sin : sin = 4: 3: 2,
由正弦定理得： : : = 4: 3: 2，
设 = 4， = 3， = 2，
42+22 32 11
由余弦定理得：cos = = ．
2×4×2 16
11
故答案为 ．
16
12.【答案】2
1
如图，作CD ⊥ AB 交 AB 于 D ，则 AC = AD +DC = AB +DC，
2
1 1 2
则 AC AB = ( AB +DC) AB = AB = 2 .
2 2
故答案为：2.
13. 【答案】5（答案不唯一，符合 =12k +5( 即可）k Z)
π
【分析】利用已知条件 f (x) f ( ) 转化为函数 的最大值，然后列出关系式求解即可6 f (x) = sin( x )
3
得出答案.
π π
【详解】 f (x) f ( )对任意实数 x都成立，则 x = 时， f (x)max =1，
6 6
第5页/共11页
所以 ，则 π ，解得
=12k +5 k Zx = 2kπ+ = 2kπ+ ( )
3 2 6 3 2
因为 0 ，取 k = 0 ，则 = 5 .
故答案为：5（答案不唯一，符合 即可） =12k +5(k Z)
14. 【答案】 2
【分析】由向量坐标的运算求出向量 c 的坐标，再根据 a,c = b ,c ，利用向量夹角余弦公式列方程，求
出实数 t 的值．
【详解】由 ，b = (1,0)，则 ，
a = ( 1,1) c = a + tb = ( 1+ t,1)
又 a,c = b ,c ，则 cos a,c = cos b,c ，
a c b c a c b c
则 = ，即 = ，
a c b c a b
解得 t = 2
15.【答案】①③④
【分析】设圆锥和圆柱的底面半径为 r ，则圆柱的高为 2r ，圆锥的高为 4r ，圆锥的母线长为 17r ，利用
圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项.
【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为 r ，则圆柱的高为 2r ，圆锥的高为 4r ，圆锥的母线长为
2
(4r ) + r2 = 17r .
2 3 1 2 4 r
3 V1 3 3
对于①，V1 = πr 2r = 2πr ，V ，则 = 2 = ，①对； 2 = r 4r =
3 3 V2 4 2
2 1 2
对于②， S = (2r ) = 4r2 ， S2 = 2r 4r = 4r ，则 S1 1 S2 ，②错；
2
S 4
2 3
对于③， S3 = 2 r 2r = 4 r ， S4 = r 17r = 17 r
2 ，则 = ，③对；
S4 17
2 2 2
对于④， S5 = 2 r
2 + 4 r2 = 6 r 2 ， S6 = 17 r + r = ( 17 +1) r ，
S5 6
则 = ，④对.
S6 1+ 17
故选：C.
16.【答案】（1） π
（2）最大值为2+ 3 ，最小值为1+ 3
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 f ( x)的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数 f ( x)
的最小正周期；
第6页/共11页
π π
（2）由0 x 求出 2x + 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数 f ( x)的最大值和最小
4 3
值.
【小问 1 详解】
1+ cos 2x
解：因为 f (x) = sin 2x + 2 3 cos2 x = sin 2x + 2 3
2
π
= sin 2x + 3 cos 2x + 3 = 2sin 2x + + 3 ，
3
2π
所以，函数 f ( x)的最小正周期为T = = π .
2
【小问 2 详解】
π π π 5π
解：当0 x 时， 2x + ，
4 3 3 6
π π π
故当2x + = 时，函数 f ( x)取最大值，即 f (x) = 2sin + 3 = 2+ 3 ，
3 2 max 2
π 5π 5π
当 2x + = 时，函数 f ( x)取最小值，即 f (x) = 2sin + 3 =1+ 3 .
3 6 min 6
17.【答案】(1) 2 ；(2) 2 7 ；(3) 2b
【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量的投影公式即可求解．
【详解】（1）∵ a = 2 , b = 2 , a,b = 60 .
1
∴ a b = 2 2 = 2；
2
2
（2）∵ (2a +b ) = 4a2 + 4a b +b 2 =16+8+ 4 = 28 ,
∴ 2a + b = 2 7 ；
2
（3）∵ (2a +b ) b = 2a b + b = 4+ 4 = 8 ,
(2a + b ) b 8 2 7
∴ cos = cos 2a +b ,b = = =
2a + b b 2 7 2 7
b
2a +b cos = 2b
b
∴向量2a + b 在 b 方向上的投影向量是 2b .
（18）
解：（Ⅰ）取 AB 的中点 P ，连接 PE, PF ．
1
因为 F 为 BC 的中点， 所以 PF // AC , PF = AC ．
2
第7页/共11页
因为四边形 ACC1A1 为平行四边形， E 为 A1C1 的中点，
1
所以 EC1 //AC, 且 EC1 = AC ．
2
所以 PF //EC1, 且 PF = EC1 ．
所以四边形 PFC1E 为平行四边形．
所以 FC1 // PE．
又因为 FC1 平面 ABE， PE 平面 ABE，
所以 FC1 // 平面 ABE．
（Ⅱ） 1
V = ，S表 = 3+ 2
2
a c
（19）解：（I）由正弦定理 = 可得 a sin C = c sin A .
sin A sin C
所以 3csin A + ccos A = 2c .
因为 c 0，所以 3 sin A+ cos A = 2 .

即 2sin（A+ ）= 2，所以 sin（A+ ）=1
6 6

因为 0 A ，所以 A+ = ，即可得 A = ………6 分
6 2 3
（II）选择②
因为 a + b + c = 20，所以 a =12 c
b2 + c2 a2 1
由余弦定理 cos A = = 解得 c = 5，所以 a = 7
2bc 2
5 3
所以 b a c，最长边为 b ，设高为 h ， h = AB sin A = ………13 分
2
选择③
a c
（法一）：由正弦定理 = 得 c = 5 , c a，则 A C
sin A sin C

因为 A = ，所以C ，因为 A+B+C = ，所以 B
3 3 3
所以 b a c，在 ABC 中，最长边为 b ，
5 3
设高为 h ， h = AB sin A = ………13 分
2
a c
（法二）由正弦定理 = 得 c = 5 , c a，则 A C
sin A sin C
1 11
所以 cos A = , cosC =
2 14
第8页/共11页
4 3
sin B = sin(A+C) = sin AcosC + sin C cos A =
7
a b
= 得b = 8
sin A sin B
所以b a c，在 ABC 中，最长边为 b ，
5 3
设高为 h ， h = AB sin A = ………13 分
2
π π
20.【答案】（1）T = π，单调递增区间为：[kπ ,kπ+ ],k Z；
6 3
5π
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）m [ 1,2]；
24
π
【分析】（1）由三角恒等变换得 f (x) = 2sin(2x ) ，根据三角函数的周期公式及正弦函数的性质求解
6
即可；
π π π π
（2）（ⅰ）由题意可得 g (x) = f (x + ) = 2sin(2x + 2 ) ，由 2 + 2 = kπ + ,k Z ，可得
6 8 6 2
kπ 5π
= + ,k Z，求解即可；
2 24
11π
（ⅱ）将（ⅰ）中 值代入，求出函数 g (x)在 0, 上的值域，即可得答案.
24


【小问 1 详解】
π
解：因为 f (x) = 4cos xsin x +1
6
3 1
= 4cos x( sin x cos x) +1
2 2
= 2 3 cos xsin x 2cos2 x +1
= 3 sin 2x cos 2x
π
= 2sin(2x )，
6
2π
所以T = = π；
2
π π π
由 2kπ 2x 2kπ+ ,k Z，
2 6 2
π π
解得 kπ x kπ+ ,k Z，
6 3
π π
所以函数的单调递增区间为：[kπ ,kπ+ ],k Z；
6 3
第9页/共11页
【小问 2 详解】
π
解：（ⅰ）由题意可得 g (x) = f (x + ) = 2sin(2x + 2 )，
6
π
又因为 g (x)的图象关于 x = 对称，
8
π π π
所以 2 + 2 = kπ + ,k Z ，
8 6 2
kπ 5π
解得 = + ,k Z，
2 24
又因 0 ，
5π
所以当 k = 0 时， min = ；
24
（ⅱ）令 y = g (x) m = 0，则 g (x) = m ，
11π
即 y = g (x)的图象与直线 y = m在 0, 上有交点.
24
5π
又因为 = ，
24
π
所以 g (x) = 2sin(2x+ )，
4
11π π π 7π
因为 x 0, 24
，所以2x + , ，
4 4 6


π 1 π
所以 sin(2x + ) ,1 ， 2sin(2x + ) 1,2 ， 4 2 4
即 g(x) [ 1, 2]，
所以m [ 1,2] .
21．【答案】(1)1
3
(2)①证明见详解；②
2
【分析】（1）根据题意直接代入公式运算即可；
（2）①根据向量的坐标运算可得 cos2 a,b + d 2 (a,b) =1，进而可知 d (a,b) = sin a,b ，结合题意即可分析证
明；②根据角平分线的性质结合数量积可得 AB AC = 4，且可知点 P 为 ABC 的重心，进而求
cos PA, PB ，即可得结果.
【详解】（1）因为 a = (1,2),b = (4, 2)，
1 ( 2) 2 4 10
所以 d (a,b ) = = =1 .
12 + 22
2
42 + ( 2) 5 2 5
第10页/共11页
2 2
(x1x2 + y1y2 ) (x1y2 x2 y2 1 )
（2）①因为 cos a,b + d
2 (a,b) = +
(x21 + y2 ) (x2 + y2 2 2 2 21 2 2 ) (x1 + y1 ) (x2 + y2 )
x2 21 x2 + y
2 y2 + x2 y2 + x2 y2
= 1 2 1 2 2 1 =1
(x2 2 2 2
，
1 + y1 ) (x2 + y2 )
且 2 2d (a,b ) 0， sin a,b 0,π ，则 d (a,b) =1 cos a,b = sin2 a,b ，
所以 d (a,b) = sin a,b .
若 d (a,b) = d (c,d )，等价于 sin a,b = sin c,d ，即 sin 1 = sin 2 ，
所以 d (a,b) = d (c,d )的充分必要条件是 sin 1 = sin 2 ；
BD AB 1
②因为角 A 的平分线 AD 与 BC 交于点 D，则 = = ，即CD = 2BD，
CD AC 2
1 1 2 1
则 AD = AB + BD = AB + BC = AB + (AC AB) = AB+ AC ，
3 3 3 3
2
2 2 1 4 2 1 2 4
可得 AD = AB + AC = AB + AC + AB AC，
3 3 9 9 9
16 16 16 4
即 = + + AB AC ，可得 AB AC = 4，
9 9 9 9
1 1
又因为 PA+ PB + PC = 0 ，可知点 P 为 ABC 的重心，则 AP = AB + AC ，
3 3
1 1 2 1
可得 PA = AB AC, PB = PA+ AB = AB AC ，
3 3 3 3
2
2 1 1 1 2 1 2 4
则 PA = AB AC = AB + AC + AB AC = ，
3 3 9 9 9 3
2
2 2 1 4 2 1 2 4 16
PB = AB AC = AB + AC AB AC = ，
3 3 9 9 9 3
1 1 2 1 2 2 1 2 1 4
PA PB = AB AC AB AC = AB + AC AB AC = ，
3 3 3 3 9 9 9 3
2 16
(PA PB)
2 1
可得 cos PA, PB = =
9 =
2 2 ， 4 16
PA PB 4
3 3
2 3所以 d (PA, PB) = sin PA, PB = 1 cos PA, PB = .
2
第11页/共11页