《南充高中高 2024 级高一下期中考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B D C B C A D ACD ACD ABC
12.[0, 3]【详解】 x 0, 2x 0,
，则 tan 2x 0, 3
6 3
17
13. 【详解】 sin cos 2 1 2sin cos 17 17 1 sin 2 sin cos
4 16 4
6 , 6 1 114. 【详解】因为当 x 1,4 时， f x 2 且 f x 为“互倒函数”，
6 x 2
故当 x
1
,1 时， f x f
1 1 x
2 ，当 n 1时， f x 在 m,n 上为增函数，
4 x 2
1
f x m,n D m2 1 , n2且 在 上的值域为 1
1
2 2 ，而 f x 在 m,n 上的值域为
2 1 1 2 1 1
D 1 , 1 m n 2 1 1 ，而 D1 D2 ，故 2 n2 1 且 2n2 m2 m
2 1 ，
2 2 2 2
2 1 1
2 1
所以 m 2 n2 1 1 12 ，其中 m n 1 n 1 ，所以4 m2 2 ，2
1 1 2
1 m
m2
1 2 1
而 2 ，故 m2
1
， 所以
1 6 2
m 1
4
2
m2n2 m 1 2 5 1
1 1
1 m
2
2 4 2
m
m2 2 m2 1
2 2
2 2 1 1 2
因为 m 1
，由双勾函数的性质可得 y t , t ,1
为减函数，
3 2 t 3
2 2 1 1 13 m 1
1
2 6 m2n2
1
6 1 m2 ，所以 ，所以 mn .
2 6 4 6 2
当1 n 4时， f x 在 m,n 1 1 1 3 上的值域为D1 min m 2 , 2
,
2 n 2
2
，
1 2 1 2 1 1 1 2
而 f x 在 m,n 上的值域为D2 , min3 ，同理 m , 2 ， min m2 1 ,
1 1 2 n 2 3
2 n2 2
m 1 m2 1 2 m2 1 6 6 1若 ，则 ，故 即m ，故n 2 3 mn n
，而1 n 6，且
6 6 6 m
6 1 1 1 2
nm 1；若 m，则 2 ，故
2 即
n n 2 3 n 6 n 6
，
6
6 6
故mn 6m，而 m 1，且1 nm 6；综上，mn , 6
6 6
15.【详解】（1）由题意可得， a b a b cos a,b 1 2 1 1，因此
2
2 2 2a 2b a 2b a 4a b 4b 12 4 1 4 22 21 . .................(6 分）
（2） a b a kb a b a kb 0，利用向量数量积的分配律得
2 2
a ka b a b kb 0，带入已知条件，得
1 k 1 4k 2 0 2 5k 0，即 k .................(13 分）
5
3 1 3 sin10o cos10o 2sin(10o 30o )
16.【详解】（1）
cos10o sin10o sin10o cos10o
sin10o cos10o
2sin( 20o ) 2sin 20o
4 .................(7 分）
sin10o cos10o 1 sin 20o
2
（3）根据题目条件可得， cos 2 5 ,sin 10 ，
5 10
cos( ) cos cos sin sin 2 5 3 10 5 10 5 50 2
5 10 5 10 50 2
又 , 均为锐角， 0, ,得 .................(15 分）
4
2
17.【详解】（1）由 f (x) sin(2x )，得T .................(3 分）
3 2
y sin x 的单调增区间为 2k , 2k
，得
2 2
2k 2x 5 2k ,k Z ，即 k x k ,k Z，........(6 分）
2 3 2 12 12
5 单调增区间为 k , k ，k Z .................(7 分） 12 12
（2） g(x) sin 2 x a cos x 1 (1 cos2 x) a cos x 1 cos2 x a cos x，令
2
cos x t, t a 1,1 2，则 y t at (t )2 a ..............................(10 分）
2 4
a
当 1时，即 a 2时， g(x)min h(a) 1 a2
2
当 1 a 1时，即 2 a 2时， g(x)min h(a)
a
2 4
a
当 1时，即 a 2时， g(x)min h(a) 1 a2
1 a ,a 2
a2
综上所述， h(a) , 2 a 2 ..............................(15 分）
4
1 a ,a 2
T
18.【详解】（1）由题意可得： A 2, 1 4 3，即T 12，
4
0 2π π且 ，则 ，
T 6
π 2π
所以曲线段FBC的解析式为 y 2sin x ， x [ 4,0] . ..............................(4 分）
6 3
2π
（2）①当 x 0时， y OC 2sin 3，
3
CD 1 tan DOC CD 3又因为 ，则 ，
OC 3
π π
可知锐角 DOC ，所以 DOE ； .................................(4 分）
6 3
π
②由（1）可知OD 2，OP 2，且 POE 0, 3
,
QM PN 2sin ,ON 2cos ,OM QM 2 3 π sin 则 ，tan 3
3
可得MN 2 3 ON OM 2cos sin ，
3
则 S ( ) MN PN 2sin 2cos
2 3
sin 3
4sin cos 4 3 sin 2 2sin 2 2 3 cos 2 2 3
3 3 3
4 3 sin π 2 3 2 ； .........................................................（14 分）3 6 3
因为 0,
π π π 5π
3
，则 2 , ，
6 6 6
π π π
可知当 2 ，即 4 3 2 3 2 3时，
6 2 6 S( )
，
3 3 3
π 2 3
所以当 时， S 取得最大值 ． ..................................(17 分）
6 3
19.【详解】（1） f (1) 12 4 1 a cos 3 ..................................(3分）
2
（2）当 a 2时， f (x) x2 4x 2cos x (x 2)2 4 2cos x
2 2
因为函数 y (x 2)2 4 和y 2cos x均在 0,1 上单调递减，
2
所以函数 f (x)在 0,1 上单调递减
故 f (x)min f (1) 3, f (x)max f (0) 2，
所以函数 f (x)在 0,1 上的值域为 3,2 ..................................(8分）
f x a 4 π (x 2) 2 a cos x 1
（3） 2 ，
(x 2)2 0,0 cos π x 1 2
显然：当 x 2时， 2 ，
f x a 4由于方程 有三个不等实根 x1, x2 , x3，所以必有 a 0，
F x f x a 4 F x x
2 4x acos π x a 4
2 F 2 0令 ，则 ，显然有 ，
F 4 x (4 x)2 4 4 x acos π 4 x π a 4 x2 4x 4 acos x a
由 2 2 ，
F 4 x F得到 x F x，所以函数 关于直线 x 2对称，
F x1 F x2 F x3 0由 ，可得： x1 x3 2x2 4，
f x3 f 4 x1 x2 4x acos
π
1 1 x1
于是 2 ，
f 2x 4x21 1 8x1 acosπx1，
f 2x1 7 f x3 8x1 4x21 8x1 acosπ x 7 21 x1 4 x1 acos
π x
2 1
8 x1
3 x 2 21 12 a 2cos 2
πx 1 π 7cos x
2 1 2 1 ①，
x 2 2 a F x 0 1 cos
π x1 1
2 由 1 可得： ②，
将②代入①式可得：
f 2x1 7 f x
π π π
3 8x 3a
1 cos x
2
2 1
1 12 a 2cos x1 1 7cos x
2 2 1
π π
a 2cos
2 x1 4cos x1 2
2 2
12
2
2a π cos x
2 1
1 12 12
，
cos π x 1
2 1 x 4k k N 当且仅当 ，即 1 时等号成立，
f
由于 x a 4恰有三个不等实根， x2 2且 x1 x2 x3，
所以 x1 0，此时 x3 4，
x 2 2 a π1 cos x1 1
由 2 4 a cos0 1可得
即 4 2a a 2 ..................................(17分）南充高中高2024级高一下期中考试
数 学 试 题
总分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．下列与角终边相同的角为（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
4．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的最小值为（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
7．已知函数，的值域为，则（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
8．已知函数的最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．已知函数．则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．先向右平移，再横坐标变为原来的，纵坐标不变
11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的周期是4
C．方程
D．定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，则的值可能是2025.
（注：）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的值域是 .
13．若，，则= .
14．若对于函数定义域内的每一个，都有成立，则称该函数为“互倒函数”.已知函数是定义域为的“互倒函数”，且当时，，若存在区间满足：，，使得，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．已知向量，满足
（1）求；
（2）若，求k的值.
16．（1）计算：；
（2）设，为锐角，且，，求的值.
17．已知函数.
（1）求的周期以及单调增区间；
（2）设函数的最小值为，求的解析式.
18．为了便于市民运动，南充市市政府准备对公园旁边部分区域进行改造。如图，在道路的一侧修建一条新步道，该步道由三部分共同组成。新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
（1）求曲线段的解析式；
（2）若计划在扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，若矩形的面积记为.
（i）求的大小；
（ii）当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
19．已知函数．
（1）求的值；
（2）
（3）若关于的方程恰有三个不等实根，且，求的最大值，并求出此时实数的值．
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