2025年浙江省中考数学模拟试卷（4）（含解析）

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2025年浙江省中考数学模拟试卷（4）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 厦门模拟）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的点表示的数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣3
2．（2025 尉氏县一模）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 泰安模拟）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
4．（2025 亳州二模）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a3）2＝a5 D．a7÷a3＝a4
5．（2025 成都模拟）为响应习近平总书记强调的“着眼满足人民群众多样化、多层次、多方面的精神文化需求”这一号召，某市夜校开设漆扇制作课程，一周内每天报名的人数分别为：72，86，67，59，91，82，94，则这组数据的中位数是（　　）
A．59 B．67 C．82 D．86
6．（2025 浙江模拟）如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（　　）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣1）
7．（2025 宿城区一模）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 临夏州一模）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝2，BN＝4，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025 浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x3＜x2＜x1，下列正确的选项是（　　）
A．若y3＜y1＜y2，则x1 x2 x3＞0 B．若y2＜y3＜y1，则x1 x2 x3＜0
C．若y2＜y1＜y3，则x1 x2 x3＞0 D．若y1＜y3＜y2，则x1 x2 x3＞0
10．（2025 德阳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（　　）
A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 楚雄州一模）分解因式：m2﹣9m＝　 　 ．
12．（2025 新郑市模拟）方程组的解为　 　 ．
13．（2025 余姚市一模）某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道，8条赛道的编号分别为1到8．若琪琪第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 　 　 ．
14．（2025 衢州一模）如图，直线BC与⊙O相切于点C，点A在⊙O上，AB⊥BC于点B．若AB＝3，BC＝6，则⊙O的半径为 　 　 cm．
15．（2025 苏州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　 　 ．
16．（2025 温州一模）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD上，连结DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点H．若，CF＝1，则＝ 　 　 ，AE＝ 　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 襄州区二模）计算：．
18．（2025 扬州模拟）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
19．（2024 普陀区二模）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点D在边BC上，AB＝AD＝13，BC＝23．
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
20．（2025 西和县模拟）为弘扬向善、为善的优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，九年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）本次抽查的学生人数是　 　 ，并补全条形统计图；
（2）本次捐款金额的众数为　 　 元，中位数为　 　 元；
（3）若该校九年级学生为600名，请你估算捐款金额为20元及以上的学生人数．
21．（2025 大庆一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证EO＝OF；
（2）若FC＝2，求矩形ABCD的面积．
22．（2025 佳木斯一模）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与折线B﹣C﹣D﹣E分别表示两人离家的距离y（单位：km）与小王的行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象，请结合图象回答下列问题：
（1）求CD所在直线的函数表达式；
（2）求点K的坐标；
（3）请直接写出小王行驶多长时间时和妈妈相距4km．
23．（2024 海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（m，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，其中m≠0．
（1）当m＝4，n＝0时．求抛物线的对称轴；
（2）已知当0＜m＜4时，总有n＜0．
①求证：4a+b≤0；
②点P（k，y1），Q（3k，y2）在该抛物线上，是否存在a，b，使得当1＜k＜2时，都有y1＜y2？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由．
24．（2025 蚌埠模拟）如图1，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．
（1）求证：OC平分∠ACD．
（2）如图2，延长AC，DB相交于点E．
①求证：OC∥BE．
②若，BD＝6，求⊙O的半径．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 厦门模拟）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的点表示的数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣3
【点拨】到原点距离最远的点，即绝对值最大的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【解析】解：∵0、1、2、﹣3四个点所表示的有理数的绝对值分别为0、1、2、3，其中绝对值最大的是﹣3，
∴与原点距离最远的点表示的数是﹣3．
故选：D．
【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．
2．（2025 尉氏县一模）“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【解析】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，即看到的图形为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．
3．（2025 泰安模拟）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011
【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：175000000000＝1.75×1011．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2025 亳州二模）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（ab）2＝ab2 C．（a3）2＝a5 D．a7÷a3＝a4
【点拨】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、a2 a3＝a5，故此选项不符合题意；
B、（ab）2＝a2b2，故此选项不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故此选项不符合题意；
D、a7÷a3＝a4，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2025 成都模拟）为响应习近平总书记强调的“着眼满足人民群众多样化、多层次、多方面的精神文化需求”这一号召，某市夜校开设漆扇制作课程，一周内每天报名的人数分别为：72，86，67，59，91，82，94，则这组数据的中位数是（　　）
A．59 B．67 C．82 D．86
【点拨】利用中位数的定义求解即可．
【解析】解：将数据按照从小到大的顺序排列：59，67，72，82，86，91，94，
一共有7个数，处在中间位置的数是82，
∴这组数据的中位数是82．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念，正确理解中位数的概念是解题的关键．
6．（2025 浙江模拟）如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（　　）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（2，0） D．（0，﹣1）
【点拨】根据位似的两个图形对应点的连线都经过同一点解答．
【解析】解：延长A′A、B′B交于点P，
则点P（1，﹣1）为位似中心，
故选：A．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似的两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点是解题的关键．
7．（2025 宿城区一模）《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．
【解析】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：
×2＝，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
8．（2025 临夏州一模）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝2，BN＝4，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】依据题意，连接BM，记BD与MN交于点O，先证△DMO≌△BNO，从而得DM＝BN＝4，再由线段MN垂直平分BD从而BM＝DM＝2，又在Rt△BAM中可得AM的值，从而再在Rt△BAD中可求得BD．
【解析】解：由题意，连接BM，记BD与MN交于点O，
∵线段MN垂直平分BD，
∴BO＝DO，BM＝DM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠MDO＝∠NBO．
又∠DOM＝∠BON，
∴△DMO≌△BNO．
∴DM＝BN＝BM＝4．
在Rt△BAM中，
∴．
∴在Rt△BAD中可得，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
9．（2025 浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x3＜x2＜x1，下列正确的选项是（　　）
A．若y3＜y1＜y2，则x1 x2 x3＞0 B．若y2＜y3＜y1，则x1 x2 x3＜0
C．若y2＜y1＜y3，则x1 x2 x3＞0 D．若y1＜y3＜y2，则x1 x2 x3＞0
【点拨】根据x3＜x2＜x1，利用反比例函数的性质即可判断．
【解析】解：A、∵x3＜x2＜x1，
若y3＜y1＜y2，则k＞0，
则x3＜0，0＜x2＜x1，
故x1 x2 x3＜0，本选项不正确；
B、∵x3＜x2＜x1，
若y2＜y3＜y1，则k＞0，
则x3＜x2＜0，x1＞0，
故x1 x2 x3＞0，本选项不正确；
C、∵x3＜x2＜x1，
若y2＜y1＜y3，则k＜0，
则x3＜0，0＜x2＜x1，
故x1 x2 x3＜0，本选项不正确；
D、∵x3＜x2＜x1，
若y1＜y3＜y2，则k＜0，
则x3＜x2＜0，x1＞0，
故x1 x2 x3＞0，本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质，属于中考常考题型．
10．（2025 德阳模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，连接AF，过点E作EG⊥AF交CD于点G，连接FG．若AE＝2BF，∠BAF＝α，则∠EGF一定等于（　　）
A．45°+α B．45°﹣α C．2α D．α
【点拨】过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，证明△ABF和△DAH全等得AH＝BF，AF＝DH，再根据AE＝2BF得AH＝HE＝BF，再证明四边形DGEH是平行四边形得HE＝DG＝AH，进而再证明△AHD和△DGA全等得∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG，则∠FAG＝90°﹣2α，AF＝DH＝AG，进而得∠AFG＝∠AGF＝45°+α，根据EG⊥AF得∠AGE＝90°﹣∠FAG＝2α，然后根据∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE即可得出答案．
【解析】解：过点D作DH∥EG交AB于点H，连接AG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠CDA＝90°，AB∥CD，
∴∠BAF+∠FAD＝90°，
∵EG⊥AF，DH∥EG，
DH⊥AF，
∴∠ADH+∠FAD＝90°，
∴∠BAF＝∠ADH＝α，
在△ABF和△DAH中，
，
∴△ABF≌△DAH（ASA），
∴AH＝BF，AF＝DH，
∴AE＝AH+HE＝BF+HE，
∵AE＝2BF，
∴BF+HE＝2BF，
∴HE＝BF，
∴AH＝HE＝BF，
∵AB∥CD，DH∥EG，
∴四边形DGEH是平行四边形，
∴HE＝DG，
∴AH＝DG，
在△AHD和△DGA中，
，
∴△AHD≌△DGA（SAS），
∴∠ADH＝∠DAG＝α，DH＝AG，
∴∠FAG＝∠BAD﹣（∠BAF+∠DAG）＝90°﹣2α，
∵AF＝DH，DH＝AG，
∴AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF＝（180°﹣∠FAG）＝45°+α，
∵EG⊥AF，
∴∠AGE＝90°﹣∠FAG＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
∴∠EGF＝∠AGF﹣∠AGE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解 正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 楚雄州一模）分解因式：m2﹣9m＝　m（m﹣9）　 ．
【点拨】直接提取公因式m即可．
【解析】解：原式＝m（m﹣9）．
故答案为：m（m﹣9）．
【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．
12．（2025 新郑市模拟）方程组的解为　　 ．
【点拨】利用加减消元法求解即可．
【解析】解：，
由①×3﹣②得，8x＝8，解得x＝1，
把x＝1代入①中得3×1+y＝5，解得y＝2，
故原方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键．
13．（2025 余姚市一模）某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道，8条赛道的编号分别为1到8．若琪琪第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 　　 ．
【点拨】直接由概率公式求解即可．
【解析】解：∵8条赛道的编号分别为1到8，
∴若琪琪第一个抽签，她随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
14．（2025 衢州一模）如图，直线BC与⊙O相切于点C，点A在⊙O上，AB⊥BC于点B．若AB＝3，BC＝6，则⊙O的半径为 　　 cm．
【点拨】连接OC、OA，过点A作AD⊥OC于D，根据切线的性质得到OC⊥BC，根据矩形的性质得到CD＝AB＝3，AD＝BC＝6，根据勾股定理计算即可．
【解析】解：如图，连接OC、OA，过点A作AD⊥OC于D，
∵直线BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝6，
设⊙O的半径为x，则OD＝x﹣3，
在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2，即x2＝62+（x﹣3）2，
解得：x＝，
∴⊙O的半径为cm，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15．（2025 苏州一模）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的图象以点A（1，m），B（3，m），C（0，﹣m），其中m为常数，且m≠0，则方程ax2+bx﹣2c＝0的解为 　2　 ．
【点拨】列出方程组求出a、b、c的值，则方程ax2+bx﹣2c＝0为﹣mx2++2m＝0，即可求解．
【解析】解：由题意得：，
解得：，
则方程ax2+bx﹣2c＝0为﹣mx2++2m＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键．
16．（2025 温州一模）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD上，连结DE，EF，点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，连结FG交BC于点H．若，CF＝1，则＝ 　　 ，AE＝ 　　 ．
【点拨】连接DG，由平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，则∠AED＝∠EDF，由轴对称的性质得EF垂直平分DG，∠EGF＝∠EDF，则∠EGF＝∠AED，所以FG∥ED，可证明四边形DEGF是菱形，则EG＝FG，由＝，得GH＝EG＝FG，＝，求得FH＝FG，则＝，再证明△CFH∽△BGH，得＝＝，求得BG＝CF＝，再证明△BGH∽△AED，得＝＝，求得AE＝BG＝，于是得到问题的答案．
【解析】解：连接DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在边AB，CD上，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AED＝∠EDF，
∵点D关于EF的对称点G恰好在AB的延长线上，FG交BC于点H，
∴EF垂直平分DG，EG∥FD，∠BGH＝∠FDE，∠GBH＝∠A，
∴EG＝ED，FG＝FD，
∵EF＝EF，
∴△GEF≌△DEF（SSS），
∴∠EGF＝∠EDF，
∴∠EGF＝∠AED，
∴FG∥ED，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∵EG＝ED，
∴四边形DEGF是菱形，
∴EG＝FG，
∵＝，
∴GH＝EG＝FG，＝，
∴FH＝FG﹣FG＝FG，
∴＝＝，
∵CF∥BG，CF＝1，
∴△CFH∽△BGH，
∴＝＝，
∴BG＝CF＝，
∵∠BGH＝∠AED，∠GBH＝∠A，
∴△BGH∽△AED，
∴＝＝，
∴AE＝BG＝×＝，
故答案为：，．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的秘技、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明四边形DEGF是菱形是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 襄州区二模）计算：．
【点拨】利用绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂计算后再算乘法，最后算加减即可．
【解析】解：原式＝
＝﹣2．
【点睛】本题考查实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（2025 扬州模拟）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
【点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解析】解：，
由①得：x＜，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为x≤1．
在数轴上表示为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2024 普陀区二模）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点D在边BC上，AB＝AD＝13，BC＝23．
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
【点拨】（1）利用外角定理，结合等角对等边即可解决问题．
（2）过点A作BC的垂线构造出直角三角形即可解决问题．
【解析】解：（1）∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
又∵∠B＝2∠C，
∴∠ADB＝2∠C．
又∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠C＝∠CAD，
∴AD＝CD．
∵AB＝AD＝13，BC＝23，
∴BD＝23﹣13＝10．
（2）过点A作BC的垂线，垂足为M，
∵AB＝AD，
∴BM＝DM＝，
∴CM＝13+5＝18．
在Rt△AMD中，
AM＝，
∴tanC＝＝．
【点睛】本题考查解直角三角形，过点A作BC的垂线构造出直角三角形是解题的关键．
20．（2025 西和县模拟）为弘扬向善、为善的优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，九年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
（1）本次抽查的学生人数是　50　 ，并补全条形统计图；
（2）本次捐款金额的众数为　15　 元，中位数为　15　 元；
（3）若该校九年级学生为600名，请你估算捐款金额为20元及以上的学生人数．
【点拨】（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的16%，根据频率＝可求出答案；
（2）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可．
【解析】解：（1）解：8÷16%＝50（人），
“捐款为15元”的学生有50﹣8﹣14﹣6﹣4＝18（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数＝＝15（元），
这50名学生捐款人数最多的是15元，因此众数是15元．
故答案为：15，15；
（3）全校九年级学生为600名，估算捐款金额为20元及以上的学生人数为600×＝120（名），
答：估算捐款金额为20元及以上的学生人数为120名．
【点睛】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
21．（2025 大庆一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证EO＝OF；
（2）若FC＝2，求矩形ABCD的面积．
【点拨】（1）由AAS可证△AOE △COF，可得EO＝OF；
（2）由直角三角形的性质可得CF＝AE＝2，BC＝2，BF＝2CF＝4，即可求解．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE △COF（AAS），
∴EO＝OF；
（2）解：如图，连接OB．
∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF．
∴∠BEF+∠ABO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠ABO，
又∠BEF＝2∠BAC，
∴2∠BAC+∠BAC＝90°．
∴∠BAC＝30°，∠BEO＝60°，
∴△EBF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°，EB＝BF，
∴∠CBF＝30°，
∵CF＝2，
∴CF＝AE＝2，BC＝2，BF＝2CF＝4，
∴BF＝BE＝4，
∴AB＝AE+BE＝6，
∴矩形ABCD的面积＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．（2025 佳木斯一模）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段OA与折线B﹣C﹣D﹣E分别表示两人离家的距离y（单位：km）与小王的行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象，请结合图象回答下列问题：
（1）求CD所在直线的函数表达式；
（2）求点K的坐标；
（3）请直接写出小王行驶多长时间时和妈妈相距4km．
【点拨】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）写出OA所在直线的函数表达式，与CD所在直线的函数表达式联立建立关于x和y的二元一次方程组并求解，从而得到点K的坐标；
（3）按照t的不同的取值列关于t的方程并求解即可．
【解析】解：（1）设CD所在直线的函数表达式为y＝kt+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标C（0.1，8）和D（0.5，0）分别代入y＝kt+b，
得，
解得，
∴CD所在直线的函数表达式为y＝﹣20t+10（0.1≤t≤0.5）．
（2）小王的速度为8÷0.8＝10（km/h），
∴OA所在直线的函数表达式为y＝10t（0≤t≤0.8），
，
解得，
∴点K的坐标为（，）．
（3）当0≤t≤0.1时，当二人相距4km时，得8﹣10t＝4，
解得t＝0.4（舍去），
当0.1＜t≤0.5时，当二人相距4km时，得|﹣20t+10﹣10t|＝4，
解得t＝或．
答：小王行驶h或h和妈妈相距4km．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
23．（2024 海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（m，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，其中m≠0．
（1）当m＝4，n＝0时．求抛物线的对称轴；
（2）已知当0＜m＜4时，总有n＜0．
①求证：4a+b≤0；
②点P（k，y1），Q（3k，y2）在该抛物线上，是否存在a，b，使得当1＜k＜2时，都有y1＜y2？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由．
【点拨】（1）理由待定系数法求得a，b的关系式，再利用利用二次函数的性质解答即可；
（2）①令y＝0，则ax2+bx＝0，得到抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与x轴交于点（0，0），，利用分类讨论的思想方法分b＞0，和b＜0两种情况利用二次函数的性质讨论解答即可；
②利用分类讨论的思想方法，利用二次函数的图象的性质讨论解答即可．
【解析】（1）解：由题意可知：点（m，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，m＝4，n＝0
∴16a+4b＝0，
∴b＝﹣4a，
∴x＝，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
（2）①证明：令y＝0，则ax2+bx＝0（a＞0），
解得：x＝0或 ，
∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与x轴交于点（0，0），，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
（Ⅰ）当b＜0时，
∵，
∴当0＜x＜﹣时，y＜0；当x＜0或时，y＞0，
∵当0＜m＜4时，总有n＜0，
∴．
∵a＞0，
∴4a+b≤0，
（Ⅱ）当b＞0时，
∵，
∴当时，y＜0；当 或x＞0时，y＞0，
∴当0＜m＜4时，n＞0，不符合题意，
综上，4a+b≤0；
②解：存在a，b，使得当1＜k＜2时，都有y1＜y2，理由：
抛物线的对称轴为直线x＝t＝﹣，
由①知：．
∴﹣≥2，即t≥2．
∵a＞0，
∴当x≥t时，y随x的增大而增大；当x≤t时，y随x的增大而减小．
∵1＜k＜2，
∴3＜3k＜6，k＜3k，
（Ⅰ）当t＝2时，
∵k＜t＜3k，此时P，Q均在对称轴的两侧，
∵y1＜y2，
∴4﹣k＜3k，
∴k＞1，恒成立；
∴当t＝2时，符合题意；
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0．
（Ⅱ）当2＜t≤3时，
令，
∴，则y1＝y2，不符合题意，
（Ⅲ）当3＜t＜6时，
令3k＝t，则k＜3k≤t，
∴y1＞y2，不符合题意；
（Ⅳ）当t≥6时，
∵k＜3k＜t，
∴y1＞y2，不符合题意，
综上，4a+b＝0．
综上，存在a，b，使得当1＜k＜2时，都有y1＜y2，a与b之间的数量关系为：4a+b＝0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，不等式的性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握二次函数的性质和利用分类讨论的方法解答是解题的关键．
24．（2025 蚌埠模拟）如图1，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为的中点，连结CD，CA，AD．
（1）求证：OC平分∠ACD．
（2）如图2，延长AC，DB相交于点E．
①求证：OC∥BE．
②若，BD＝6，求⊙O的半径．
【点拨】（1）由点C为的中点，得＝，所以AC＝DC，由垂径定理得OC⊥AD，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明OC平分∠ACD；
（2）由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，由OC⊥AD，BE⊥AD，得OC∥BE；
②连结BC，则∠ACB＝90°，由OC＝OA，∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得∠OCA＝∠E，则∠OAC＝∠E，所以EB＝AB，而BC⊥AE，则CA＝CE＝4，所以AE＝8，设⊙O的半径为r，则EB＝AB＝2r，DE＝6+2r，由勾股定理得（2r）2﹣62＝（8）2﹣（6+2r）2＝AD2，求出符合题意的r值即可．
【解析】（1）证明：∵点C为的中点，
∴＝，
∴AC＝DC，OC⊥AD，
∴OC平分∠ACD．
（2）①证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BE⊥AD，
∵OC⊥AD，BE⊥AD，
∴OC∥BE．
②解：如图2，连结BC，则∠ACB＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵OC∥BE，
∴∠OCA＝∠E，
∴∠OAC＝∠E，
∴EB＝AB，
∵BC⊥AE，
∴CA＝CE＝4，
∴AE＝2CE＝8，
设⊙O的半径为r，则EB＝AB＝2r，
∵BD＝6，
∴DE＝BD+EB＝6+2r，
∵AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2＝AD2，
∴（2r）2﹣62＝（8）2﹣（6+2r）2，
整理得r2+3r﹣40＝0，
解得r1＝5，r2＝﹣8（不符合题意，舍去），
∴⊙O的半径长为5．
【点睛】此题重点考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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