2025年浙江省中考数学模拟试卷（5）（含解析）

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2025年浙江省中考数学模拟试卷（5）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 郑州模拟）﹣2024的相反数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．（2025 禄丰市一模）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 常州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 武汉模拟）下列运算正确的是（　　）
A．2x2 x3＝2x5 B．（x﹣2）2＝x2﹣4 C．x2+x3＝x5 D．（x3）4＝x7
5．（2025 南昌模拟）甲、乙、丙、丁四名同学参加某市中小学电脑机器人比赛，经过几轮初赛后，他们成绩的平均数都为95分，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.09，s丙2＝0.3，s丁2＝0.18，从发挥稳定的角度看，你认为最应该被派去参加决赛的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2025 阳西县一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝26°，则∠D的度数为（　　）
A．38° B．45° C．52° D．64°
7．（2025春 义乌市月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022+a+b的值为（　　）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
8．（2024秋 竞秀区期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
9．（2025 永春县模拟）A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，若，则m的取值范围（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
10．（2025春 新华区期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC．下列关于结论①、②的判断正确的是（　　）
①∠BAD的度数为100°；②线段OC长度的最大值为．
A．①、②都对 B．①错②对 C．①对②错 D．①、②都错
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 灞桥区四模）分解因式：9a2﹣4b2＝ 　 　 ．
12．（2025 松江区二模）一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯40秒、黄灯4秒、绿灯36秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是　 　 ．
13．（2025 哈尔滨一模）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离OA＝　 　 m．
14．（2025 蚌埠模拟）用半径为30cm圆心角为72°扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　 　 cm．
15．（2025 常熟市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝3x+3与x轴的交点为A，点B为直线l上位于第一象限内的一点，以AB为斜边，在直线l的右侧作等腰直角△ABC，若点B、点C均在反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象上，则k的值为 　 　 ．
16．（2025 高邮市一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，点D是边BC上的一动点，连接AD，以AD为一边作矩形ADEF，连接BE，若，则线段BE的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 浙江一模）计算：．
18．（2025 北京模拟）解不等式组：．
19．（2025 东港区一模）为了落实中学生“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对部分学生进行体育活动项目抽测，抽测的活动项目为：A．坐位体前屈、B．跳远、C．仰卧起坐、D．引体向上、E.50米，每个学生选择自己擅长的一个项目进行测试，请结合下面的信息回答下列问题．
项目 人数
A．坐位体前屈 6
B．跳远 m
C．仰卧起坐 10
D．引体向上 4
E.50米 18
（1）本次抽样调查的学生共有　 　 人，m＝　 　 ；
（2）若抽测C项目的10人成绩分别为36，49，48，47，50，54，52，53，52，60，则这组数据的中位数是 　 　 ；
（3）求扇形统计图中抽测D活动的学生人数所对应圆心角的度数．
（4）全校有学生3000人，估计全校擅长跳远的学生人数是多少？
20．（2025 天津一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量有关高度的问题．如图，已知某建筑物AB底部B到一斜坡底部C的距离是（即），在C处测得建筑物顶部A的仰角（∠ACB）为60°，沿斜坡走到D处，在D处测得点A的仰角为37°，已知斜坡的坡角（∠DCE）为14°，DE⊥CE，垂足为E，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，E在同一直线上．
（I）求建筑物AB的高度；
（Ⅱ）求线段DE的长（结果取整数）．
参考数据：取1.7．
21．（2025 长春模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作线段AB的中点O．
（2）在图②中，作线段AB的垂直平分线EF．
（3）在图③中，过点C作线段CD⊥AB于点D．
22．（2025 绵竹市模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元，3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
23．（2025 禹州市模拟）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
（1）若抛物线y＝x2﹣ex+2是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
（2）已知抛物线y＝mx2+nx﹣m+n（m，n为常数，且m≠0）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若m＜0，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点（2，s），（k，t），当s＜t时，求k的取值范围．
24．（2025 晋江市模拟）四边形ABCD为正方形．
（1）如图1，AG⊥BP，垂足为F，求证：△BFG∽△ABG．
（2）如图2，当点E为AB中点，连接CE，在CE上取EF＝AE，连接AF并延长AF交BC于点G．
①求证：BG＝CF；
②求证：．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 郑州模拟）﹣2024的相反数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【点拨】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解析】解：﹣2024的相反数是2024．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（2025 禄丰市一模）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】找到从几何体的左面看所得到的图形即可．
【解析】解：这个“堑堵”的左视图如下：
故选：D．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
3．（2025 常州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】利用勾股定理列式求出BC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可．
【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∴sinA＝＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是关键．
4．（2025 武汉模拟）下列运算正确的是（　　）
A．2x2 x3＝2x5 B．（x﹣2）2＝x2﹣4 C．x2+x3＝x5 D．（x3）4＝x7
【点拨】根据单项式乘法、完全平方公式、合并同类项法则、幂的乘方的运算方法，利用排除法求解．
【解析】解：A、2x2 x3＝2x5，故本选项正确；
B、应为（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，故本选项错误；
C、x2与x3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、应为（x3）4＝x12，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的法则，完全平方公式，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2025 南昌模拟）甲、乙、丙、丁四名同学参加某市中小学电脑机器人比赛，经过几轮初赛后，他们成绩的平均数都为95分，方差分别是s甲2＝0.2，s乙2＝0.09，s丙2＝0.3，s丁2＝0.18，从发挥稳定的角度看，你认为最应该被派去参加决赛的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【点拨】根据平均数相同时，方差越小，发挥越稳定即可判断．
【解析】解：∵甲、乙、丙、丁四人的平均数都为95分，方差大小是：s乙2＜s丁2＜s甲2＜s丙2，
∴发挥最稳定的是乙．
故选：B．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．（2025 阳西县一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝26°，则∠D的度数为（　　）
A．38° B．45° C．52° D．64°
【点拨】连接OC，根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB＝52°，进而求出∠COD，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解析】解：如图，连接OC，
∵∠CAB＝26°，
∴∠COB＝2∠CAB＝52°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°，
∴∠COD＝90°﹣52°＝38°，
∵CD是半圆的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°﹣38°＝52°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7．（2025春 义乌市月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022+a+b的值为（　　）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
【点拨】把x＝1代入一元二次方程得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2022+a+b＝2022+（﹣1）＝2021．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
8．（2024秋 竞秀区期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
【点拨】由菱形的性质得AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，则∠BOC＝90°，所以BC＝＝5，而AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD＝5AE＝×6×8，求得AE＝，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，
∴AC⊥BD，OC＝OA＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵AE⊥BC于点E，
∴S菱形ABCD＝5AE＝×6×8，
∴AE＝，
故选：A．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出BC的长是解题的关键．
9．（2025 永春县模拟）A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，若，则m的取值范围（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【点拨】根据题意，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣2＞0，解之可得出m的取值范围．
【解析】解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是直线y＝（m﹣2）x+5图象上相异的两点，且，
∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，
∴y随x的增大而增大，
∴m﹣2＞0，
解得：m＞2．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
10．（2025春 新华区期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC．下列关于结论①、②的判断正确的是（　　）
①∠BAD的度数为100°；②线段OC长度的最大值为．
A．①、②都对 B．①错②对 C．①对②错 D．①、②都错
【点拨】取AD的中点E，连接CE，OE，AC，先证明△ABC和△ADC是等边三角形，即可求出∠BAD的度数和CE的长，再在Rt△ABO中利用斜边中线性质求出OE，最后根据OE+CE≥OC确定当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为OC＝OE+CE，据此求解即可．
【解析】解：连接AC，由题意得AB＝BC＝AC＝4＝AD＝DC，
∴△ABC和△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝120°；故①错．
如图，取AD的中点E，连接CE，OE，
∵边长为4的菱形ABCD，AB的中点E，
∴BE＝，CE⊥AB
∴CE＝＝2，
∵在Rt△ABO中，OE＝，
∴OC≤OE+CE＝2+2，
∴当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为2+2．故②对．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，直角三角形斜边中线．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 灞桥区四模）分解因式：9a2﹣4b2＝ 　（3a+2b）（3a﹣2b）　 ．
【点拨】直接根据平方差公式分解因式即可．
【解析】解：根据平方差公式分解得：
原式＝（3a+2b）（3a﹣2b），
故答案为：（3a+2b）（3a﹣2b）．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握公式法分解因式是关键．
12．（2025 松江区二模）一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯40秒、黄灯4秒、绿灯36秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是　0.45　 ．
【点拨】根据概率的定义进行计算即可．
【解析】解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：＝0.45．
故答案为：0.45．
【点睛】本题考查概率公式，理解概率的定义是正确解答的关键．
13．（2025 哈尔滨一模）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离OA＝　10　 m．
【点拨】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
【解析】解：在中，
令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴OA＝10m．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．
14．（2025 蚌埠模拟）用半径为30cm圆心角为72°扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　6　 cm．
【点拨】设这个圆锥的底面圆半径为r cm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解析】解：∵扇形的弧长为： cm，
∴圆锥的底面的周长为：12π cm，
∴圆锥的底面圆半径为12π÷2π＝6cm．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
15．（2025 常熟市模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝3x+3与x轴的交点为A，点B为直线l上位于第一象限内的一点，以AB为斜边，在直线l的右侧作等腰直角△ABC，若点B、点C均在反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象上，则k的值为 　6　 ．
【点拨】过点C作y轴的平行线交x轴于点F，过点B作BE⊥CF，垂足为F，根据等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质得出CE＝AF，BE＝CF，设点B坐标为（a，3a+3）（a＞0），点C的纵坐标为m（m＞0），然后求出点C坐标为2a+1，a+1），再根据点B、点C均在反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象上，得出关于a的方程，解方程求出a的值即可．
【解析】解：过点C作y轴的平行线交x轴于点F，过点B作BE⊥CF，垂足为F，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACF＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△CBE和△ACF中，
，
∴△CBE≌△ACF，
∴CE＝AF，BE＝CF，
∵点A是直线y＝3x+3与x轴的交点，
∴A（﹣1，0），
设点B坐标为（a，3a+3）（a＞0），点C的纵坐标为m（m＞0），
则EF＝3a+3，CF＝BE＝m，
∴CE＝AF＝3a+3﹣m，
∴OF＝AF﹣1＝3a﹣m+2＝a+m，
∴m＝a+1，
∴C（2a+1，a+1），
∵点B、点C均在反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象上，
∴a（3a+3）＝（2a+1）（a+1），
解得a＝1，
∴B（1，6），
∴k＝1×6＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是用这些知识求出点C坐标．
16．（2025 高邮市一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，点D是边BC上的一动点，连接AD，以AD为一边作矩形ADEF，连接BE，若，则线段BE的最小值为 　　 ．
【点拨】如图，取BC的中点O，连接AO，OE，AE．利用相似三角形的性质证明∠AOE＝90°，推出点E的运动轨迹的射线OE，当BE⊥OE时，BE的值最小．
【解析】解：如图，取BC的中点O，连接AO，OE，AE．
∵CA＝CB，CO＝OB，
∴AC＝2OC，
∵四边形ADEF是矩形，
∴∠ADE＝90°，
∵tan∠EAD＝＝，tan∠DAC＝＝，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAO＝∠DAC，
∵＝，∠ADE＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ACO，
∴＝，
∴＝，
∴△AOE∽△ACD，
∴∠AOE＝∠ACD＝90°，
∴点E的运动轨迹是射线OE，当BE⊥OE时，BE的值最小，
∵AC＝4，OC＝2，
∴AO＝＝2，
∴sin∠OAC＝＝，
∵∠EOB+∠AOC＝90°，∠OAC+∠AOC＝90°，
∴∠EOB＝∠OAC，
∴sin∠EOB＝sin∠OAC＝，
∴BE的最小值＝OB sin∠EOB＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 浙江一模）计算：．
【点拨】分别计算出负整数指数幂，绝对值，立方根，然后再计算加减法即可．
【解析】解：原式＝3+4﹣3＝4．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，实数的运算，掌握相应的运算法则是关键．
18．（2025 北京模拟）解不等式组：．
【点拨】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【解析】解：解不等式3（x﹣1）＜2x+1，得x＜4，
解不等式﹣1≥x，得x≥，
所以原不等式组的解集为≤x＜4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的求解方法是解答本题的关键．
19．（2025 东港区一模）为了落实中学生“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对部分学生进行体育活动项目抽测，抽测的活动项目为：A．坐位体前屈、B．跳远、C．仰卧起坐、D．引体向上、E.50米，每个学生选择自己擅长的一个项目进行测试，请结合下面的信息回答下列问题．
项目 人数
A．坐位体前屈 6
B．跳远 m
C．仰卧起坐 10
D．引体向上 4
E.50米 18
（1）本次抽样调查的学生共有　50　 人，m＝　12　 ；
（2）若抽测C项目的10人成绩分别为36，49，48，47，50，54，52，53，52，60，则这组数据的中位数是 　51　 ；
（3）求扇形统计图中抽测D活动的学生人数所对应圆心角的度数．
（4）全校有学生3000人，估计全校擅长跳远的学生人数是多少？
【点拨】（1）利用A组的已知人数和占比求样本数量；计算出B组的人数，可得m的值；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）利用扇形图中占比计算对应的圆心角；
（4）利用样本估计总体即可求解．
【解析】解：（1）本次抽样调查的学生共有6÷12%＝50（人），
m＝50﹣6﹣10﹣4﹣18＝12，
故答案为：50，12；
（2）抽测C项目的10人成绩从小到大排列为36，47，48，49，50，52，52，53，54，60，中位数是第5、6个数的平均数，分别是50，52，
∴这组数据的中位数是＝51，
故答案为：51；
（3）扇形统计图中抽测D活动的学生人数所对应圆心角的度数为360°×＝28.8°；
（4）3000×＝720（人），
答：估计全校擅长跳远的学生人数是720人．
【点睛】本题主要考查扇形统计图和频数分布表的应用，以及中位数和样本估计总体，掌握中位数的概念及样本估计总体的计算方法是解题的关键．
20．（2025 天津一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量有关高度的问题．如图，已知某建筑物AB底部B到一斜坡底部C的距离是（即），在C处测得建筑物顶部A的仰角（∠ACB）为60°，沿斜坡走到D处，在D处测得点A的仰角为37°，已知斜坡的坡角（∠DCE）为14°，DE⊥CE，垂足为E，点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，E在同一直线上．
（1）求建筑物AB的高度；
（2）求线段DE的长（结果取整数）．
参考数据：取1.7．
【点拨】（1）在Rt△ABC中利用正切的定义可求出AB的长；
（2）过D点作DF⊥AB于F点，如图，在△CDE中利用正切的定义得到CE＝＝4DE，再证明四边形BFDE为矩形得到BF＝DE，DF＝BE＝BC+CE＝20+4DE，接着在Rt△ADF中利用正切的定义得到DF＝＝（60﹣DE），所以20+4DE＝（60﹣DE），然后解方程即可．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB＝，
∴AB＝20×tan60°＝20×＝60（m）．
答：建筑物AB的高度为60m；
（2）过D点作DF⊥AB于F点，如图，
在△CDE中，∵tan∠DCE＝，
∴CE＝＝＝4DE，
∵∠DEB＝∠EBF＝∠BFD＝90°，
∴四边形BFDE为矩形，
∴BF＝DE，DF＝BE＝BC+CE＝20+4DE，
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，
∴DF＝＝＝（60﹣DE），
∴20+4DE＝（60﹣DE），
解得DE≈9（m），
答：线段DE的长约为9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要仰角俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．也考查了坡度．
21．（2025 长春模拟）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作线段AB的中点O．
（2）在图②中，作线段AB的垂直平分线EF．
（3）在图③中，过点C作线段CD⊥AB于点D．
【点拨】（1）利用网格直接取AB的中点即可．
（2）取格点E，使△ABE是以AB为斜边的等腰直角三角形，再取AB的中点F，连接EF即可．
（3）根据垂直的定义画图即可．
【解析】解：（1）如图①，点O即为所求．
（2）如图②，EF即为所求．
（3）如图③，CD即为所求．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2025 绵竹市模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售；据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元，3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【点拨】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价＝单价×数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【解析】解：（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意得：，
解得．
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，
依题意得：25m+10n＝200，
解得．
∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共8种购买方案，方案一：购进A型车6辆；方案二：购进A型车4辆；方案三：购进A型车3辆；
（3）方案一获得利润：8000×6+5000×5＝73000（元）；
方案二获得利润：8000×4+5000×10＝82000（元）；
方案三获得利润：8000×2+5000×15＝91000（元）．
∵73000＜82000＜91000，
∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润为91000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价＝单价×数量求出三种购车方案获得的利润．
23．（2025 禹州市模拟）新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
（1）若抛物线y＝x2﹣ex+2是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
（2）已知抛物线y＝mx2+nx﹣m+n（m，n为常数，且m≠0）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若m＜0，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点（2，s），（k，t），当s＜t时，求k的取值范围．
【点拨】（1）把（﹣1，0）代入y＝x2﹣ex+2，即可求解；
（2）①证明：当x＝﹣1时，y＝mx2+nx﹣m+n，得y＝m﹣n﹣m+n＝0，即可求解；
②，其顶点坐标为．因为m＜0，当顶点在最低位置时，设y′＝﹣n2+n﹣m，函数y′在对称轴处取得最小值，即n＝﹣＝2m，则抛物线的表达式为：y＝mx2+nx﹣m+n＝m（x+1）2，即可求解．
【解析】（1）解：抛物线y＝x2﹣ex+2是“定点抛物线”，
把（﹣1，0）代入y＝x2﹣ex+2，得1+e+2＝0，
解得e＝﹣3，
所以抛物线的表达式为y＝x2﹣3x+2；
（2）①证明：当x＝﹣1时，y＝mx2+nx﹣m+n，得y＝m﹣n﹣m+n＝0，
∴该抛物线为“定点抛物线”；
②解：，
其顶点坐标为．
因为m＜0，
当顶点在最低位置时，
设y′＝﹣n2+n﹣m，
函数y′在对称轴处取得最小值，即n＝﹣＝2m，
则抛物线的表达式为：y＝mx2+nx﹣m+n＝m（x+1）2，
该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点（2，s），关于对称轴的对称点为（﹣4，0），
故当s＜t时，﹣4＜k＜2．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数最值得确定、新定义，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
24．（2025 晋江市模拟）四边形ABCD为正方形．
（1）如图1，AG⊥BP，垂足为F，求证：△BFG∽△ABG．
（2）如图2，当点E为AB中点，连接CE，在CE上取EF＝AE，连接AF并延长AF交BC于点G．
①求证：BG＝CF；
②求证：．
【点拨】（1）利用正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）①连接BF并延长，交CD于点H，利用直角三角形的判定定理得到BF⊥AG，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到CH＝BG，再利用等腰三角形的性质与判定解答即可得出结论；
②在①的基础上，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质得到，则结论可得．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠GBF＝90°，
∵AG⊥BP，
∴∠ABF+∠FAB＝90°，
∴∠GBF＝∠FAB，
∵∠GFB＝∠ABG＝90°，
∴△BFG∽△ABG．
（2）①连接BF并延长，交CD于点H，如图，
∵点E为AB中点，
∴AE＝BE，
∵EF＝AE，
∴AE＝BE＝EF＝AB，
∴∠AFB＝90°，
∴BF⊥AG，
∴∠HBG+∠AGB＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠AGB+∠BAG＝90°，
∴∠HBG＝∠BAG．
在△HBC和△GAB中，
，
∴△HBC≌△GAB（ASA），
∴CH＝BG，
∵EF＝BE，
∴∠EBF＝∠EFB，
∵∠EFB＝∠HFC，
∴∠HFC＝∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF＝∠CHF，
∴∠CHF＝∠CFH，
∴CH＝CF，
∴BG＝CF；
②由（2）①知：∠HBG＝∠BAG，
∵∠ABG＝∠BFG＝90°，
∴△ABG∽△BFG，
∴，
∵BG＝CF，
∴．
∵AE＝EF，
∴∠BAF＝∠AFE，
∵∠HBG＝∠BAG，
∴∠AFE＝∠HBG，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠HBG，
∵∠FCG＝∠BCF，
∴△CFG∽△CBF，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
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