(小升初典型培优)专题03 和倍问题（含解析）-2024-2025学年六年级下册数学典型培优专练通用版

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年六年级下册数学典型培优专练通用版
专题03 和倍问题
【第一部分：知识梳理】
一、和倍问题概述
和倍问题是小学奥数中的一类经典问题，其主要特点是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，要求求出这两个数。解决这类问题的关键是理解倍数关系，并学会利用线段图等直观工具来分析数量关系。
二、和倍问题的解题步骤
1、理解题意：
仔细阅读题目，明确已知条件和所求问题。
识别出题目中的和与倍数关系。
2、画线段图：
根据题目中的信息，画出线段图来表示两个数的和与倍数关系。
线段图可以帮助我们更直观地理解数量关系，并找出解题规律。
3、列式计算：
根据线段图，列出数量关系式。
利用已知条件，通过计算求出未知数。
三、和倍问题的数量关系式
和倍问题的数量关系式是：较小数=和÷(倍数+1)，较大数=较小数×倍数 或 和-较小数=较大数。
这个公式是和倍问题的核心，它可以帮助我们快速准确地求出两个未知数。
【第二部分：培优专练】
1．爸爸、妈妈带小琪去公园玩，买门票用去17.5元，已知1张成人票与3张儿童票的票价相等．1张儿童票多少元？
2．学校买来三种新书共100本，其中文艺书是科技书的3倍，画册比科技书的一半还少8本，这三种书各买了多少本？
3．学校图书馆新买来绘本和文学书共1000本，买来的文学书比绘本数量的2倍少5本。两种书各买了多少本？
4．假期里，三（1）班和三（2）班的同学们收集塑料瓶，如果三（1）班再收集100个就和三（2）班收集的数量同样多，如果三（2）班再收集112个就是三（1）班收集数量的3倍．三（1）班和三（2）班各收集了多少个塑料瓶？
5．朝阳小学弘扬劳动精神，培养学生劳动能力，开发了112平方米劳动实践基地。将基地划分为16块同样大小的菜地和8块同样大小的中药材种植地。其中每块菜地的面积是每块中药材种植地面积的3倍。每菜地和每块中药材种植地的面积各是多少平方米？
6．甲、乙两个容器一共可盛水1200毫升水，已知甲容器的容量是乙容器的3倍，甲、乙两个容器的容量各是多少毫升？
7．五（1）班有学生45人，男生人数是女生的1.5倍。五（1）班的男生和女生各有多少人？
8．湿地与森林、海洋并称为地球的三大生态系统。已知某地区的湿地总面积约为5.88万公顷，分为天然湿地和人工湿地。已知该地区人工湿地的面积是天然湿地的1.1倍，那么天然湿地和人工湿地的面积分别是多少万公顷？
9．悠悠和爸爸去上海游玩，买了两张火车票一共用去618元，儿童票价是成人票的一半，悠悠的火车票票价是多少元？
10．天誉小学开展课后服务，参加舞蹈社团、美术社团和跆拳道社团的学生一共144人，其中美术社团的人数是舞蹈社团的1.2倍，跆拳道社团的人数是舞蹈社团的1.4倍，舞蹈社团有多少人？
11．一个抽奖箱中有红球和白球共60个，红球的数量是白球的5倍。该抽奖箱中有多少个白球？（先画图，再解答）
12．学校举行废物利用环保活动，二（1）班同学共收集了66个塑料瓶和易拉罐，塑料瓶的个数是易拉罐的1.2倍，塑料瓶和易拉罐各收集了几个？
13．四、五年级学生为希望小学共捐了600本书，五年级学生捐的本数是四年级的1.5倍，四年级学生捐书多少本？
14．小红买了3个笔记本和1个练习本，共花了14元。每个笔记本的价钱是练习本的2倍。两种本子的单价分别是多少钱？
15．丁叔叔新买了三盆绿植，一共花了230元。天堂鸟的售价是绿萝的2倍，幸福树的售价比天堂鸟少20元，绿萝的售价是多少元？（先把线段图补充完整，再解答。）
16．两箱茶叶共196千克，从甲箱取出32千克放乙箱，乙箱的千克数就是甲箱的3倍．甲箱原有茶叶多少千克？
17．昌盛养殖场共养了80只兔子，黑兔的只数是白兔只数的3倍，两种颜色的兔子各有多少只？
18．一个平行四边形花坛的相邻两边的和是33米，其中长边比短边的2倍还多3米。这个平行四边形花坛的四条边分别长多少米？
19．虎门外语学校四．五．六年级学生在迎亚运征文活动中共有325人获奖，四年级比五年级多做18人，六年级比四年级多做25人．三个年级各有多少人获奖？
20．芳芳的父亲每月工资8700元，母亲每月工资6300元。全家每月生活支出的钱数是储蓄钱数的5倍，求每月能储蓄多少钱？
21．甲、乙、丙三个数之和为180，甲数是乙数的3倍，乙数是丙数的2倍，那么甲、乙、丙三个数分别是多少？
22．甲、乙两筐苹果一共有120个，如果从乙筐取出13个苹果放入甲筐，则甲筐的苹果个数是乙筐的2倍，甲、乙两筐原来各有苹果多少个？
23．用“图示法”解决两数总和是不变量的和倍问题。
淘气有课外书20本，笑笑有课外书25本，淘气给笑笑多少本后，笑笑的课外书的本数是淘气的4倍？
24．为方便市民出行，全市投放A、B两个品牌的共享电动车总量已达6.5万辆。其中A品牌的投放量是B品牌的1.5倍。A、B两种品牌的电动车各投放了多少辆？
25．小宁、小玲和小亮共有邮票180 张，小宁说：我的邮票是小玲的2倍，小玲说：我的邮票最少，小亮说：我的邮票是他俩的总和。他们各有邮票多少张？
26．小牛、小羊和小鹿一起称体重，他们一共重252千克，已知小牛的体重是小羊的4倍，小羊和小鹿一样重。你知道他们三个各重多少千克吗？
27．淘气有15本连环画，笑笑有20本连环画．淘气给笑笑多少本后，笑笑的连环画是淘气的6倍？
28．水果店新进一批苹果和香蕉一共重96千克。苹果的重量是香蕉的3倍，苹果和香蕉各重多少千克？
29．学校购买防疫物口罩和消毒液共花2.45万元，口罩花的钱是消毒液的2.5倍，口罩花了多少钱？（先在线段图中画出题中的已知条件和所求问题，再列综合算式计算。）
30．4名老师带领24名学生去参加植树活动，一共植树72棵，老师每人植树的棵数是学生每人植树的棵数的3倍，学生和老师每人分别植树多少棵？
参考答案及试题解析
1．【答案】17.5÷（3+3+1）
＝17.5÷7
＝2.5（元）
答：1张儿童票2.5元．
【分析】分析题目中的已知条件，爸爸、妈妈带小琪去公园玩，可知是2个成人和1个儿童，因为1张成人票与3张儿童票的票价相等，所以2张成人票与6张儿童票的票价相等，即门票总价相当于7张儿童票的票价，据此可求解．
【解答】解：17.5÷（3+3+1）
＝17.5÷7
＝2.5（元）
答：1张儿童票2.5元．
【点评】解决此题的关键是：爸爸、妈妈带小琪去公园玩，可知是2个成人和1个儿童，因为1张成人票与3张儿童票的票价相等，所以2张成人票与6张儿童票的票价相等，即门票总价相当于7张儿童票的票价．
2．【答案】见试题解答内容
【分析】设科技书有x本，则文艺书有3x本，画册有x﹣8本，根据等量关系：文艺书的本数+科技书的本数+画册的本数＝三种新书的总本数，列方程解答即可．
【解答】解：设科技书有x本，则文艺书有3x本，画册有x﹣8本，
x+3xx﹣8＝100
x＝108
x＝24，
24×3＝72（本），
100﹣24﹣72
＝76﹣72
＝4（本），
答：科技书有24本，文艺书有72本，画册有4本．
【点评】本题考查了和倍问题，关键是根据等量关系：文艺书的本数+科技书的本数+画册的本数＝三种新书的总本数，列方程．
3．【答案】文学书：665本；绘画书：335本。
【分析】买来的文学书比绘本数量的2倍少5本，即文学书如果加上5本就是绘本数的2倍，即买来的两本书的本数加上5后，其中的绘本书占1份，文学书占2份，据此求出1倍量，1倍量即是绘本书的本数，然后用学校买来的本数减去绘本书的本数即可求出文学书的本数。
【解答】解：（1000+5）÷（1+2）
＝1005÷3
＝335（本）
1000﹣335＝665（本）
答：文学书买来665本，绘本书买来335本。
【点评】本题考查了简单的和倍问题，找到一倍量是解题的关键。
4．【答案】106个，206个。
【分析】已知“三（1）班再收集100个就和三（2）班收集的数量同样多”设三（1）班收集塑料瓶x个，则三（2）班收集塑料瓶（x+100）个，根据三（2）班再收集112个就是三（1）班收集数量的3倍，可以建立等量关系式：x+100+112＝3x，据此解答。
【解答】解：设三（1）班收集塑料瓶x个。
x+100+112＝3x
2x＝212
x＝106
106+100＝206（个）
答：三（1）班收集塑料瓶106个，则三（2）班收集塑料瓶206个。
【点评】完成这类题列方程解答，设其中的一个未知量为x，另一个用含有x的数代替即可。
5．【答案】菜地6平方米，中药材2平方米。
【分析】根据题意可知：16块菜地的面积+8块中药材地的面积＝112，设每块中药材种植地面积是x平方米。则16×3x+8x＝112，解出x即可求解出中药材每块的面积，进而求出菜地每块的面积。
【解答】解：设每块中药材种植地面积是x平方米。
16×3x+8x＝112
48x+8x＝112
56x＝112
x＝2
3x＝3×2＝6
答：每块菜地种植地的面积是6平方米，每块中药材种植面积是2平方米。
【点评】本题考查了列方程解决问题的方法，找到等量关系是解题的关键。
6．【答案】900毫升，300毫升。
【分析】根据题意，甲容器的容量是乙容器的3倍，那么两个容器的总容量就是乙容器容量的（3+1）倍，用1200除以（3+1）即可求出乙容器的容量，再用乙容器的容量乘3，即可求出甲容器的容量。
【解答】解：1200÷（3+1）
＝1200÷4
＝300（毫升）
3×300＝900（毫升）
答：甲容器的容量900毫升，乙容器的容量是300毫升。
【点评】此题考查了和倍问题。
7．【答案】27人；18人。
【分析】把女生人数看作1份，再根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，求出女生人数，再用人数和减去女生人数就可以计算出男生人数。
【解答】解：45÷（1.5+1）
＝45÷2.5
＝18（人）
45﹣18＝27（人）
答：五（1）班男生有27人，女生有18人。
【点评】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。
8．【答案】天然湿地的面积是2.8万公顷，人工湿地的面积是3.08万公顷。
【分析】把天然湿地的面积看作1份，则人工湿地的面积为1.1份，天然湿地和人工湿地的份数之和为（1+1.1），共计5.88万公顷，用湿地总面积除以天然湿地和人工湿地的份数之和即是1份数，即天然湿地的面积，用湿地总面积减去天然湿地面积即是人工湿地面积。
【解答】解：天然湿地：5.88÷（1+1.1 ）＝2.8 （万公顷）
人工湿地：5.88﹣2.8＝3.08 （万公顷）
答：天然湿地的面积是2.8万公顷，人工湿地的面积是3.08万公顷。
【点评】本题考查了和倍问题的应用。
9．【答案】206元。
【分析】把儿童票的票价看作1倍数，则成人票的票价是2倍数，根据和倍问题：“和÷（倍数+1）＝较小数”解答。
【解答】解：618÷（1+2）
＝618÷3
＝206（元）
答：悠悠的火车票票价是206元。
【点评】熟练掌握和倍问题的求法是解题的关键。
10．【答案】40人。
【分析】根据“舞蹈社团人数+跆拳道社团的人数+美术社团的人数＝总人数”列方程解答即可。
【解答】解：舞蹈社团有x人。
x+1.2x+1.4x＝144
3.6x＝144
x＝144÷3.6
x＝40
答：舞蹈社团有40人。
【点评】本题解题关键是根据等量关系：“舞蹈社团人数+跆拳道社团的人数+美术社团的人数＝总人数”列方程解答。
11．【答案】红球和白球共60个，10个。
【分析】根据题意，红球的数量是白球的5倍，把白球看成1份，红球是5份，即5+1＝6份，用球的总数除以份数，即可求出每份球的数量，也就是白球的数量。据此先画图再解答。
【解答】解：如下图所示：
红球和白球共60个
60÷（5+1）
＝60÷6
＝10（个）
答：该抽奖箱中有10个白球。
【点评】本题考查了和倍问题的应用。
12．【答案】塑料瓶36个，易拉罐30个。
【分析】把手机到的易拉罐看作1份，则收集到的塑料瓶则有1.2份，份数之和是66，用66除以份数和即可求出1份量，即易拉罐的数量，进而求出塑料瓶的数量。
【解答】解：66÷（1+1.2）
＝66÷2.2
＝30（个）
66﹣30＝36（个）
答：塑料瓶收集了36个，易拉罐收集了30个。
【点评】本题考查了和倍问题的应用。
13．【答案】240本。
【分析】根据题意，两个年级捐的本数和是四年级的1.5+1＝2.5倍，然后再根据和倍公式进一步解答即可。
【解答】解：600÷（1.5+1）
＝600÷2.5
＝240（本）
答：四年级学生捐了240本书。
【点评】根据题意，知道两个班级捐书的本数和与倍数的关系，由和倍公式进一步解答即可。
14．【答案】2元，4元。
【分析】根据题意可知，3本笔记本的价钱+1本练习本的价钱＝14元；由于每本笔记本的价钱是练习本的2倍，则（3×2）本练习本的价钱+1本练习本的价钱＝14元；因此用14元除以买练习本的数量，即可计算出每本练习本的价钱，再用每本练习本的价钱乘2，即可计算出每本笔记本的价钱，依此解答。
【解答】解：练习本：2×3＝6（本）
6+1＝7（本）
14÷7＝2（元）
笔记本：2×2＝4（元）
答：练习本每本2元，笔记本每本4元。
【点评】此题考查的是等量代换问题的计算，应先计算出14元可以买练习本的本数再解答。
15．【答案】50元。
【分析】根据天堂鸟的售价是绿萝的2倍，幸福树的售价比天堂鸟少20元画出线段图即可；把绿萝的售价看作1倍量，则天堂鸟和幸福树加上20元后的售价都是2倍量，5倍量合计是（230+20）元，根据除法的意义即可求出1倍量，即绿萝的售价。
【解答】解：如下图所示：
（230+20）÷（1+2+2）
＝250÷5
＝50（元）
答：绿萝的售价是50元。
【点评】本题考查了解决和倍问题中线段图的画法以及和倍问题的解决方法。
16．【答案】见试题解答内容
【分析】两箱茶叶的总重量不变，所以当乙箱的重量是甲箱的3倍时，如果把总重量平均分成4份，则甲箱的重量就是其中的1份，由此即可求出甲箱此时的重量，所以加上32千克就是甲箱原来的重量．
【解答】解：196÷（3+1）+32
＝196÷4+32
＝49+32
＝81（千克）
答：甲箱原有茶叶81千克．
【点评】根据变化后甲乙两箱的重量倍数关系，根据和倍公式进行解答．
17．【答案】白兔有20只，黑兔有60只。
【分析】可设白兔有x只，则根据黑兔的只数是白兔的3倍，那么黑兔为3x只，由等量关系：白兔的只数+黑兔的只数＝80只可以列出方程解决问题。
【解答】解：设白兔有x只，黑兔为3x只，根据题意可得方程；
x+3x＝80
4x＝80
x＝20
20×3＝60（只）
答：白兔有20只，黑兔有60只。
【点评】此题利用了方程思想解答问题，题目中的两个等量关系一般用表示倍数的等量关系用来设未知数，另一个用来列方程，由此可以解决问题。
18．【答案】两条长边是23米，两条短边是10米。
【分析】平行四边形对边相等，先把短边看作1份，则长边是2份，用平行四边形花坛的相邻两边的和减去3米，再除以两边的份数之和，即可计算出短边的长度，再用短边长度乘2加上3米，计算出长边的长度。
【解答】解：（33﹣3）÷（2+1）
＝30÷3
＝10（米）
10×2+3
＝20+3
＝23（米）
答：这个平行四边形花坛的两条长边是23米，两条短边是10米。
【点评】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。
19．【答案】见试题解答内容
【分析】如果五年级增加18人，六年级减少25人，那么都和四年级的人数同样多，则325+18﹣25＝318人，就相当于四年级人数的3倍，然后根据和倍公式解答即可求出四年级的人数，再进一步解答即可．
【解答】解：（325+18﹣25）÷3
＝318÷3
＝106（人）
106﹣18＝88（人）
106+25＝131（人）
答：四年级有106人获奖，五年级有88人获奖，六年级有131人获奖．
【点评】此题属于和倍问题，运用关系式：和÷（倍数+1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）．关键是找到数量和与它对应的倍数和．
20．【答案】2500元。
【分析】先计算出芳芳的父亲和母亲每月的工资总和，再把储蓄钱数看作1份，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，可以计算出每月能储蓄多少钱。
【解答】解：（8700+6300）÷（5+1）
＝15000÷6
＝2500（元）
答：每月能储蓄2500元。
【点评】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。
21．【答案】120；40；20。
【分析】把丙数看作1份，则乙数是2份，加数是3×2，也就是6份，最后用甲、乙、丙三个数之和除以三个数的份数之和，可以计算出丙数是多少，再用丙数乘2，可以计算出乙数是多少，最后用乙数乘3，计算出甲数是多少。
【解答】解：180÷（1+2+3×2）
＝180÷（1+2+6）
＝180÷9
＝20
20×2＝40
40×3＝120
答：甲数是120，乙数是40，丙数是20。
【点评】本题解题关键是把丙数看作1份，则乙数是2份，甲数是6份，再用三个数的和除以份数和，求出丙数是多少，进而求出乙数、甲数各是多少。
22．【答案】67个；53个。
【分析】根据甲筐的苹果个数是乙筐的2倍，可以将总数看成3份，取出13个之后，乙筐占其中的1份，利用除法即可求出乙筐取出13个之后的个数，再加13，即可求出乙筐原来的个数，用总数减去乙筐的个数，即可求出甲筐的个数。
【解答】解：乙筐现在：120÷（2+1）
＝120÷3
＝40（个）
40+13＝53（个）
120﹣53＝67（个）
答：甲筐原来有苹果67个，乙筐原来有苹果53个。
【点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
23．【答案】；11本。
【分析】根据提示画出线段图示，再结合图示列出算式即可。根据淘气剩余的本数等于总数除以总份数，再用淘气课外书的总本数减去淘气剩余的本数，即可求出淘气给笑笑多少本。
【解答】解：
（20+25）÷（4+1）
＝45÷5
＝9（本）
20﹣9＝11（本）
答：淘气给笑笑11本后，笑笑的课外书的本数是淘气的4倍。
【点评】解答本题的关键是画出符合题意的图示，再根据图示列算式进行计算。
24．【答案】A品牌共享电动车投放了3.9万辆，B品牌共享电动车投放了2.6万辆。
【分析】设B品牌共享电动车投放了x万辆，则A品牌共享电动车投放1.5x万辆，根据等量关系：A品牌共享电动车投放辆数+B品牌共享电动车投放辆数＝6.5万辆，列方程解答即可。
【解答】解：设B品牌共享电动车投放了x万辆，则A品牌共享电动车投放1.5x万辆。
1.5x+x＝6.5
2.5x＝6.5
x＝2.6
2.6×1.5＝3.9（万辆）
答：A品牌共享电动车投放了3.9万辆，B品牌共享电动车投放了2.6万辆。
【点评】此题关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
25．【答案】30张；60张；90张。
【分析】把小玲邮票的张数看作1份，小宁邮票的张数是2份，小亮邮票的张数是3份，再用3人邮票的总数量除以总份数，可以计算出小玲邮票的张数，用小玲邮票的张数乘2，可以计算出小宁邮票的张数，最后把小玲和小宁的邮票张数相加，可以计算出小亮邮票的张数。
【解答】解：1+2＝3
180÷（1+2+3）
＝180÷6
＝30（张）
30×2＝60（张）
30+60＝90（张）
答：小玲有30张邮票，小宁有60张邮票，小亮有90张邮票。
【点评】本题解题关键是把小玲邮票的张数看作1份，小宁邮票的张数是2份，小亮邮票的张数是3份，再根据总数量÷总份数＝1份数，列式计算。
26．【答案】小牛重168千克，小羊重42千克，小鹿重42千克。
【分析】小牛、小羊和小鹿一共重252千克，已知小牛的体重是小羊的4倍，小羊和小鹿一样重，则小羊和小鹿的体重为252÷（4+1+1），之后即可求出小牛的体重。
【解答】解：252÷（4+1+1）
＝252÷6
＝42（千克）
42×4＝168（千克）
答：小牛重168千克，小羊重42千克，小鹿重42千克。
【点评】本题关键是理解小羊和小鹿一样重。
27．【答案】见试题解答内容
【分析】由“笑笑的连环画是淘气的6倍“，可得笑笑和淘气本数总和看作7份，那么淘气有1份，笑笑有6份．这时总本数是20+15＝35（本），每一份是35÷7＝5（本），淘气要给笑笑15﹣5＝10（本），据此解答．
【解答】解：15﹣（20+15）÷（6+1）
＝15﹣35÷7
＝15﹣5
＝10（本）
答：淘气给笑笑10本后，笑笑的连环画是淘气的6倍．
【点评】此题重点理解“笑笑的连环画是淘气的6倍”的含义，考查学生的分析理解能力．
28．【答案】苹果72千克，香蕉24千克。
【分析】设香蕉重x千克，则苹果重3x千克，根据苹果和香蕉一共重96千克列方程为：3x+x＝96，解方程即可。
【解答】解：设香蕉重x千克，则苹果重3x千克
3x+x＝96
4x＝96
x＝24
3×24＝72
答：苹果重72千克，香蕉重24千克。
【点评】本题主要考查用方程解决实际问题，解题的关键是根据等量关系列方程。
29．【答案】1.75万元。
【分析】口罩花的钱是消毒液的2.5倍，先画一条线段表示消毒液花的钱数，再画一条线段，它的长度是上一条线段的2.5倍，这表示口罩花的钱数，然后表示出两种商品的总价2.45万元；根据图可知，总价2.45万元相当于消毒液钱数的（2.5+1）倍，用2.45除以（2.5+1）即可求出消毒液花的钱数，再乘2.5就是口罩花的钱数。
【解答】解：画图如下：
2.45÷（2.5+1）×2.5
＝2.45÷3.5×2.5
＝0.7×2.5
＝1.75（万元）
答：口罩花了1.75万元。
【点评】本题考查了和倍问题：两数和÷倍数和＝1倍的量；画图更容易理解。
30．【答案】2棵，6棵。
【分析】设学生每人植树x棵，则老师植3x棵，老师植树的棵数+学生植树的棵数＝72棵，根据等量关系列方程解答即可。
【解答】解：设学生每人栽树x棵，则老师栽树3x棵。
3x×4+24x＝72
12x+24x＝72
36x＝72
x＝2
2×3＝6（棵）
答：学生每人植树2棵，老师每人植树6棵。
【点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)