期中综合试卷 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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期中综合试卷
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）
A．点A到直线的距离是2 B．
C． D．
4．在中，若比大，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝1，则BD的长为(　　)
A． B．2 C． D．3
6．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
C．全等三角形的对应角相等 D．对顶角相等
7．如图，从电线杆离地的处向地面处拉一条长的缆绳，则处到电线杆底部处的距离为（ ）

A． B． C． D．
8．已知是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
9．在中，D、E分别是、的中点，若，则的值（ ）
A．3 B．6 C．9 D．24
10．如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形的对角线，相交于点O，，，点M，N分别是，的中点，连接，若四边形的周长是16，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8
12．如图，点是正方形对角线上一点，过点作交于点，连接，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
14．已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是 ．
15．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ．
16．如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为 ．
17．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝ ．
三、解答题
18．计算：
(1)．
(2)．
19．如图，正方形网格中有，点、、都在格点上，每个小方格的边长为．
(1)求出、、的长；
(2)求证：．
20．如图，在平行四边形中，是对角线，、是直线上的点，且．求证：四边形是平行四边形．

21．已知，，求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
22．如图，我校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，给八年级的学生分别种“番茄”和“土豆”．经测量，，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，交CB延长线于E，交AD延长线于点F．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若，，求OB的长．
24．如图，在中，，，，求的面积．
(1)古希腊的几何学家海伦在他的数学著作《度量》一书中给出了海伦公式：如果一个三角形的三条边的长为a，b，c，记，那么三角形的面积为．请你运用海伦公式求出的面积；
(2)“日新”学习小组合作交流后，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
过点A作于点D，设，用含x的代数式表示 → 根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x → 利用勾股定理求出的长，再计算的面积
25．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
参考答案
1．A
根据二次根式的被开方数大于等于0列出不等式，解不等式即可.
若在实数范围内有意义，则，解得,故选A.
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数.
2．A
根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案．
解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、的被开方数含有开的尽的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、的被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、=，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
本题考查最简二次根式，熟知最简二次根式满足的条件是解答的关键．
3．D
本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，二次根式的运算，利用勾股定理求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，面积公式求出的面积，过点作，等积法求出的长，进行判断即可．
解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确；
∴，
∴为直角三角形，，故选项B正确；
∴，故选项D错误；
过点A作于点D，
则，
∴，
即点A到直线的距离是2，故选项A正确；
故选：D．
4．C
根据平行四边形的对角相等，邻角之和为，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
解：画出图形如下所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，．
又∵，
∴，，
∴．
故选：C．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边行的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分．
5．C
在△ABC中，∠A=45°，CD⊥AB
∴△ACD是等腰直角三角形
∴CD=AD=1
又∵∠B=30°
∴Rt△BCD中，BC=2CD=2
∴BD=
故选C．
6．A
首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
解：A、逆命题是两直线平行，同旁内角互补是真命题，故本选项符合题意；
B、逆命题是如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数是假命题，可能都是负数，故本选项不符合题意；
C、逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形是假命题，大小不一定相同，故本选项不符合题意；
D、逆命题是相等的角是对顶角是假命题，故本选项不符合题意．
故选A．
本题主要考查了逆命题的真假性，是易错题，难度适中．
7．C
在中，已知斜边，一条直角边，用勾股定理求得另一条直角边即可．
解：如图：

在中，，，
，
故选：．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
8．D
本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴三角形的形状是直角三角形，
故选：．
9．B
根据三角形的中位线性质求解即可．
解：∵在中，D、E分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
本题考查三角形的中位线，熟知三角形的中位线性质是解答的关键．
10．D
作轴于M，轴于N，则，，证明，得出，，得出，即可得出答案．
解：作轴于M，轴于N，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标是；
故选D．
本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11．B
先证明四边形是菱形，利用周长为16，求出菱形的边长，然后利用三角形中位线性质求解．
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵矩形，
∴，
∴四边形是菱形
∵四边形的周长是16，
∴
∵点M，N分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
本题考查平行四边形的定义，矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握平行四边形的定义、矩形的性质定理、菱形的判定与性质定理，三角形中位线的性质定理是解题的关键．
12．A
过点作与，根据正方形性质得到，，根据角平分线性质得到，利用等腰三角形的性质推出，得到，利用勾股定理求得的长进而得到正方形的边长，利用勾股定理即可得到正方形的对角线．
解：如下图，过点作与，
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，，
，
，，
，
，
，
，
同理，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
在中，．
故选：．
本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
13．/
本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于零建立不等式求解，即可解题．
解：要代数式有意义，
则即，
x的取值范围是，
故答案为：．
14．25或7/7或25
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．
解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是，
②当是斜边时，则第三边的平方是．
故答案为：25或7．
15．8
本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故答案为：8．
16．
本题考查平行四边形的性质，坐标与平移，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，利用平移思想，进行求解即可．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∵点向左平移个单位得到点，
∴点向左平移个单位得到点，
∴，即：；
故答案为：．
17．2+
如图作FH//BC交BD于点H．首先证明△OHF是等腰直角三角形，推出HF＝BH＝，求出OB即可解决问题；
解：如图作FH//BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH//BC，
∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，
∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝，
∵BF平分∠OBC，
∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，
∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，
∴BC＝OB＝2+．
故答案为:2+．
本题主要考查正方形的性质和勾股定理,等腰三角形判定与性质解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和勾股定理.
18．(1)
(2)
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可；
（2）根据零指数幂，二次根式的运算法则进行计算即可．
（1）解：原式．
（2）解：原式．
19．(1)
(2)见解析
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理解答即可．
（1）解：，，；
（2）解：由（1）知，，，，
，，
，
．
20．见解析
连接，交于点O，根据平行四边形的性质可得，根据推出，即可求证．
解：连接，交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形．

本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
21．(1)
(2)10
本题考查了因式分解，完全平方公式，二次根式的混合运算．
（1）首先求出，，根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解；
（2）首先求出，根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解．
（1）∵，，
∴，，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴．
22．(1)
(2)18
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理即可求得；
（2）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可．
（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴
答：四边形的面积为18．
23．(1)证明见详解；
(2)
（1）根据菱形的性质；矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形便可求证；
（2）根据菱形的性质，在Rt△AEB，Rt△AEC，Rt△AOB中分别利用勾股定理即可求出OB的长；
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键．
24．(1)；
(2)解答过程见解析．
本题主要考查了二次根式的计算，勾股定理，理解海伦公式是解题的关键．
（1）直接求出的值，再代入海伦公式即可求出答案；
（2）作，设，则，直接利用勾股定理进而得出的值，利用三角形面积求法即可得出答案．
（1）解：由题意知：，，，
∴，
∴，，，
∴；
（2）解：如图所示，作，
，
设，则，
在中，
，
即，
在中，
，
即，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形
（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
本题考查平行四边形的判定与性质和中点四边形，综合性较强，作出适当辅助线是本题的关键．
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