期中综合试卷 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册

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期中综合试卷 2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列各组数据中，是勾股数的是（ ）
A．8、10、6 B．1、1、 C．、、 D．5、12、14
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，，则矩形的对角线的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为了测量一个人工湖湖畔A、B两点之间的距离，实践小组先在湖边地面上确定点O，再用卷尺分别确定、的中点C、D，最后用卷尺量出，则A、B之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形中，，，则菱形的周长为（ ）

A．48 B．40 C．24 D．20
8．如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ）
A． B．2 C．4 D．8
9．如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
10．有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在实数范围内，若有意义，则的取值范围是 ．
12．已知，则的值为 ．
13．如图，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，若S1＝9，S2＝16，则S3＝ ．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 ．

15．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
17．如图，有一块四边形绿地，已知，，，，的面积是．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求这块四边形绿地的面积．
18．如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，．
(1)请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线；
(2)求村庄A到县城C的距离的长．
19．如图，的对角线，相交于点，分别延长，，，至点，，，，使点，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形．
20．如图，在中，于点，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形．
21．如图，矩形的顶点A，C分别在菱形的，上，顶点B，D分别在菱形的对角线上．
(1)求证：；
(2)若A为的中点，菱形的周长是28，求的长．
参考答案
1．A
本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义进行判断即可．
解：，故选项A符合题意；
不是正整数，故选项B不符合题意；
、、均不是整数，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选A．
2．C
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行判断即可．
解：不属于最简二次根式，故选项A不符合题意；
不属于最简二次根式，故选项B不符合题意；
属于最简二次根式，故选项C符合题意；
不属于最简二次根式，故选项D不符合题意；
故选C．
3．B
本题考查了矩形的性质：对角线相等且互相平分，由题意可得是等边三角形，据此即可求解．
解：由题意得：
∵，
∴是等边三角形
∴，
∴．
故选：B
4．C
根据二次根式的运算法则进行判断便可．
解：A、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
B、不是同类二次根式不能合并，选项错误；
C、，选项正确；
D、，选项错误；
故选：C．
本题主要考查了二次根式的四则运算，熟记法则是解题的关键．
5．B
本题考查了同类二次根式和化为最简二次根式．将各项化为最简二次根式，然后找出被开方数为3的最简二次根式即可得出答案．
解：A、，不能与合并，故本选项不符合题意；
B、，能与合并，故本选项符合题意；
C、，不能与合并，故本选项不符合题意；
D、，不能与合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．D
本题考查了中位线的判定与性质，根据三角形的中位线等于第三条边的一半进行作答即可．
解：∵点C、D分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
7．D
本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识．由菱形的性质得到，，由勾股定理求出，即可得到菱形的周长．
解：，四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴菱形的周长为，
故选：D．
8．C
先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出．
本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．
解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
9．C
本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解．
解：由作图得：平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
此题考查了勾股定理，找出规律是解答本题的关键．
根据题意可知“生长”次后，所有正方形的面积和是；“生长”次后，所有正方形的面积和是；即可求出“生长”次后形成图形中所有正方形的面积之和．
解：由勾股定理可知，“生长”次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形的面积和为；
“生长”次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积和为；
，
经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是；
经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，
故选：C．
11．x≥3
根据二次根式有意义的条件求解即可．
解：由题意，得
x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．
12．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解．
解：∵
∴，
故答案为：．
13．25
由勾股定理得出AC2+BC2=AB2，得出S1+S2=S3，即可得出结果．
解：∵∠ACB=90°，
∴勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴S3＝S1+S2＝9+16＝25，
故答案为：25．
本题考查勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出正方形的面积关系．
14．2秒或3.5秒
由AD∥BC，则PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9-3t=5-t，解方程即可；
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t-9=5-t，解方程即可．

∵E是BC的中点，
∴BE=CE=BC=9，
∵AD∥BC，
∴PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，
则得：9 3t=5 t，
解得：t=2，
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，
则得：3t 9=5 t，
解得：t=3.5；
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2秒或3.5秒．
本题是动点问题与图形的结合，分情况讨论，根据平行四边形的性质，列出关系式即可求解．
15．16
根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积，
解：∵在中，，，，
∴，
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
以为直径半圆的面积：；
的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：16．
本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键．
16．(1)
(2)5
(3)1
(4)
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
（1）首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）首先计算乘法，然后合并同类二次根式即可求解；
（3）利用平方差公式计算乘法即可求解；
（4）首先对二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
17．(1)直角三角形，见解析
(2)
（1）利用的面积求出的长，分别求出，，利用勾股定理逆定理判断出三角形为直角三角形；
（2）分别求出和的面积，两个三角形的面积的和即为四边形绿地的面积．
（1）解：是直角三角形．
理由：的面积是，，，
，
，
，，
，
是直角三角形；
（2），
四边形的面积是．
本题考查了勾股定理逆定理，三角形面积的求解，熟练掌握勾股定理逆定理是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
本题考查了勾股定理及其逆定理，注意计算的准确性即可；
（1）判断是否成立即可；
（2）根据即可求解．
（1）解：∵，，
∴．
∴是直角三角形，且．
∴．
根据“垂线段最短”可知新公路是村庄A到高速公路的最短路线．
（2）解：设，则．
由（1）知，即．
在中，，
∴，
解得．
答：村庄A到县城C的距离是．
19．见解析
本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．根据平行四边形的性质可得，，由点，，，分别是，，，的中点，可得，，，，进而得到，，即可证明．
证明：的对角线，相交于点，
，，
点，，，分别是，，，的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形．
20．详见解析
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．由平行四边形的性质得，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形．
21．(1)见解析；
(2)7．
本题考查矩形和菱形性质，全等三角形的性质和判定，数量掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．其中辅助线的添加是解决本题的重点，也是难点．
（1）通过矩形和菱形的性质，根据证明和全等，再根据全等的性质即可证明结论；
（2）连接，可证四边形是平行四边形，与相等，而根据矩形对角线相等可得与相等，从而将求的长转化为求菱形的边长．
（1）证明：四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中
，
．
（2）如图，连接．
为的中点，
．
由（1）知，
．
四边形是菱形，
．
，．
四边形是平行四边形
．
菱形的周长是28，
．
．
四边形是矩形，
．
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