江苏省徐州市铜山区2024-2025学年高二下学期4月期中学情调研数学试卷（含答案）

2024～2025学年度第二学期期中学情调研
高二数学试题
本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.
A. B. C. D.
2. 已知，则
A. B. C. D.
3. 从0，1，2，3，4这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件
的三位数的个数为
A．24 B．36 C．48 D．60
投掷一枚质地均匀骰子，当出现2点或3点时，就说这次试验成功，每次试验相互独立，
则在90次试验中成功次数X的均值是
A．15 B．30 C．45 D．60
设为实数，若随机变量的分布列为，则
A． B． C． D．
6. 展开式中的系数为
A．45 B．55 C．120 D．165
7．函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域（）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有
A．480种 B．720种
C．1080种 D．1560种
二．选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，下列说法正确的是
A．函数的极大值是1 B．函数有三个零点
C．函数的单调递增区间为 D．函数的图象关于点对称
10. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和4个编号为1，2，3，4的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是
A．共有24种不同的放法
B．恰有一个盒子不放球，共有144种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有8种
D．将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有12种
11. 已知随机事件满足：，则下列选项正确的是
A．若，则 B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则 D．若，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.如果随机变量，且，那么的值为 .
13. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件
（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，
语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，
处于嘈杂环境的概率为0.75,则该天测试结果为语音识别成功的概率为_________.
14.直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为 ．
四、解答题:本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本题13分）
已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6.
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）若,求的值.
（本题15分）
某袋中装有大小相同质地均匀的6个球，其中4个白球和2个红球．从袋中随机一次取出3个球.
（1）求至少有一个红球的概率；
（2）记取出白球的个数为，求的概率分布、数学期望和方差.
17.（本题15分）
已知函数，.
（1）当时，求在上的最值；
（2）讨论的单调性.
18.（本题17分）
2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
(1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．
（i）为多少？
（ii）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列．
(2)如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜
制中获胜的概率，求的取值范围？
19. （本题17分）
已知函数，其中 .
（1）若在单调递增，求的取值范围；
（2）求函数的零点；
（3）已知，记.
问是否存在实数,使得对任意恒成立？若存在,求的取值范围；
若不存在，说明理由.
2024～2025学年度第二学期期中学情调研
高二数学试题答案
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. C 2. B 3. C 4. B 5. A 6.D 7.B 8.D
二．选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. ABD 10. BCD 11. AD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.0.3 13. 0.69 14.
四、解答题:本大题共5小题，共77分．
15. 解:(1)展开式的通项公式为，----2分
因为第5项与第3项的系数之比为7:6,所以，-------------4分
即，解之得或（舍），所以.-------------6分
(2)因为所以展开式中二项式系数最大的项为----10分
(3)令所以----13分
16.解：(1)记至少有一个红球为事件,则没有红球为
所以至少有一个红球的概率为.----4分
(2)依题意的可能取值为1,2,3
所以，，，----10分
所以的分布列为：
1 2 3
所以，----12分----15分
解：（1）当时，
--------------2分
令，则，令，则,所以在上单调递减，在上单调递增.又因为----------4分
所以的最大值为，最小值为----------6分
的定义域为
---------7分
①当时，令则，令，则
所以在上单调递减，在上单调递增.---------8分
②当时，令则或，令，则
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.--------10分
③当时，恒成立，所以在上单调递增.-------12分
④当时，令则或，令，则
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.---------14分
综上所述;①当时，在上单调递减，在上单调递增;
②当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增;
③当时，在上单调递增;
④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上递增.-15分
18.解（1）（i）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为0.4．-2分
（ii）由题知，可取值为2或3
，，所以的概率分布表为------8分
2 3
0.52 0.48
三局两胜制郑钦文最终获胜概率，--10分
五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率---------12分
所以， 化简得，---------14分
因为，所以，即，所以---------16分
所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率的取值范围是．---17分
19. 解：（1）因为在单调递增，所以恒成立，--------1分
即恒成立，所以.--------3分
（2）函数的定义域为，且，-----4分
当时，；当时，，
所以函数在上为增函数，在上为减函数
又因为，当时，恒成立，-------6分
,故函数有且只有一个零点.--------7分
（3）由（2）知，当时，，当时，恒成立，
又，所以当时，恒成立，-------8分
所以等价于：当时，，且.
下面考虑，当时，恒成立，
①若，当时，，
故，在递减，此时，不合题意；-------10分
②若，当时，由知，
存在，使得，根据余弦函数的单调性可知，在上递减，
故当，，递减，此时，不合题意；-------12分
③若，当时，由知，对任意，，递增，
此时，符合题意.-------14分
且当时，，合乎题意，------16分
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.-------17分