小题狂做——离散型随机变量（一）(含解析）

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小题狂做——离散型随机变量（一）
一、单选题
1．播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（　　）
A．0.8 B．0.532 C．0.482 5 D．0.312 5
2．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（　　）
①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；
③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；
④已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于0.158 7
⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列正确命题的序号有（　　）
①若随机变量 ，且 ，则 .
②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则 与 是互斥事件，也是对立事件.
③一只袋内装有 个白球， 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了 个白球， .
④由一组样本数据 ， ，... 得到回归直线方程 ，那么直线 至少经过 ， ，... 中的一个点.
A．②③ B．①② C．③④ D．①④
二、多选题
5．某校11月份举行校运动会，甲 乙 丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参加，每人选择各项目的概率均为，且每人选择相互独立，则（　　）
A．三人都选择长跑的概率为 B．三人不都选择长跑的概率为
C．至少有两人选择跳绳的概率为D．在三人选择互不相同的前提下，丙同学选择跳远的概率为
6．高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A． B．
C． D．
7．下列说法中正确的是(　　)
附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
A．已知离散型随机变量，则
B．一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C．若，则事件与相互独立
D．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据的独立性检验可得：变量与独立，这个结论错误的概率不超过
三、填空题
8．盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中随机摸出3个球，记摸到黑球的个数为X，则P（X=2）=　 　，EX=　 　．
9．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝ 则X的分布列为　 　．
10．下列命题中，正确的命题的序号为　 　.
①已知随机变量服从二项分布 ，若 ， ，则 ；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为 ， ，则当 时概率最大.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，
则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，
则P(B) (Ai)P(B|Ai)＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式合互斥事件加法求概率公式，进而得出这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率。
2．【答案】C
【解析】【解答】用事件A表示“丢失一箱后任取两箱是英语书”，用事件Bk表示“丢失的一箱为第k箱”，
k＝1，2，3分别表示英语书、数学书、语文书，则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由全概率公式，得出P(A)＝ 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，再结合全概率公式得出 从剩下的9箱中任意打开两箱，结果都是英语书的概率 。
3．【答案】B
【解析】【分析】①正确；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望变小了，而方差不变，所以②错；③属于随机抽样；④，所以④正确；
⑤根据分层抽样得，得，所以⑤正确；综上可知：①④⑤正确，故选B.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：对于①：由 ，且 可得 ，
所以 ，
则 ，故①错；
对于②：因为事件 、 、 、 彼此互斥，所以 ，又 ，
所以， 与 是互斥事件，也是对立事件，故②正确；
对于③：依题意， 表示“一共取出了3个球，且前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”.因为袋内共有 个球，从中任取3个球共有 种不同的方法，“前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”有 种不同的方法，所以 ，故③正确；
对于④：回归直线方程一定过样本中心点 ，但是不一定经过样本数据中的点，故④错.
故答案为：A.
【分析】利用二项分布求概率公式结合数学期望公式和方差公式及其性质，从而推出 ；再利用已知条件结合并集的运算法则和互斥事件、对立事件的定义，推出 与 是互斥事件，也是对立事件；利用已知条件结合排列数公式和古典概型求概率公式，从而求出；回归直线方程一定过样本中心点 ，但是不一定经过样本数据中的点，从而选出正确命题的选项。
5．【答案】A,C
【解析】【解答】解：由题意，三人都选择长跑的概率为，故A正确；
三人不都选择长跑的概率为，故B错误；
至少有两人选择跳绳的概率为，故C正确；
记三人选择互不相同为事件，丙同学选择跳远为事件，
所以在三人选择互不相同的前提下，丙同学选择跳远的概率为 ，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据每人选择相互独立结合独立事件乘法概率公式和互斥事件加法求概率公式、对立事件求概率公式以及条件概率公式，从而逐项判断找出正确的选项.
6．【答案】B,C
【解析】【解答】解：记为小明随机选择1个选项的得分，则，
，，
则的分布列为：
0 2
由此可得；
记为小明随机选择2个选项的得分，则，
，，，
则的分布列
0 2 6
由此可得
．
所以，，，.
故答案为：BC．
【分析】先分别求出的分布列，即可判断AB；再由数学期望和方差公式求出，即可判断CD.
7．【答案】B,C
【解析】【解答】解：A：根据二项分布的方差公式，可得，
∴，∴A错误；
B：，根据百分位数的定义，
这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确；
C：∵，∴，∴，
根据事件独立性的定义可知，事件与相互独立，∴C正确；
D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知，
依据的独立性检验，可得变量与相互独立，
即认为变量与不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D错误．
故答案为：BC
【分析】本题考查二项分布，百分位数的定义，相互独立事件的判断，独立性检验.利用二项分布的方差计算公式可先求出，再利用方差的性质公式可求出，进而可判断A选项；根据百分位数的定义先求出第75百分位数所在数位，进而可找出第75百分位数，判断B选项；根据对立事件的定义先求出，再根据相互独立事件的定义判断是否成立，可判断C选项；将的值与临界值表的临界值进行比较可推出犯错误的概率大于0.05小于0.1，据此可判断D选项.
8．【答案】；
【解析】【解答】解：∵盒中有大小相同的5个白球和3个黑球，
从中随机摸出3个球，记摸到黑球的个数为X，
∴X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴EX= = ．
故答案为： ， ．
【分析】X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出P（X=2）和EX．
9．【答案】如下表：
X 0 1
P
【解析】【解答】P(X＝0)＝ ＝ ，P(X＝1)＝1－ ＝ ，
故答案为:X的分布列如下表.
X 0 1
P
【分析】在5个白球，6个红球，从中摸出两球,两球全红,则X=0,求出此时的概率,只有两种情况,两球非全红,则用间接法求概率,得到分布列.
10．【答案】②③④
【解析】【解答】① ，解得 ，①错；
②方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，②正确；
③ 服从正态分布 ， ，③正确；
④ ，则 ，
由 ，解得 ，所以 ．④正确．
故答案为：②③④．
【分析】 ①直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可；②根据方差公式可知方差恒不变；
③根据正态分布的大小进行求解；④根据二项分布的概率的性质进行求解判断即可.
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