小题狂做——计数原理（含解析）

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小题狂做——计数原理（含解析）
一、单选题
1．将4本不同的书全部分给3个学生，每个学生至少一本，则不同的分法种数（　　）种．
A．12 B．36 C．72 D．108
2．在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为(　　)
A．150 B．200 C．600 D．1200
3．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（　　）
A．38 B．56 C．62 D．80
4．图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
二、多选题
5．如图，在某城市中， ， 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 、 、 、 、 是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，现在甲需要从道路网M出发，随机选择一条沿街的最短路径走到 处为止，下列说法正确的是（　　）
A．如果甲需要经过 ，那么从 到 的线路有4条；
B．如果甲需要经过 ，那么从 到 的线路有16条；
C．如果甲需要经过 ，那么从 到 的线路有36条；
D．甲从 到 的线路一共有70条；
6．某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（　　）
A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C．若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法
7．保定某中学上午大课间跑操，为了提升班级跑操水平，某班在跑操后进行分组训练，现六名同学一组进行队列训练，则下列说法正确的是（　　）
A．若不在第一个，则不同的排序种数有480种
B．若和不相邻，则不同的站队方式共有480种
C．若和相邻，且不在两端，则不同的站队方式共有120种
D．排在之前的概率为
8．给出下列命题，其中正确的命题有（　　）
A．若.则
B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种
D．西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种
三、填空题
9．现在共有5个从左至右依次排开的洞，一只狐狸每天从中选择一个洞住，且相邻两天它会住在相邻的洞里，猎人每天可以去查看一个洞，则至少需要　 　天可以确保抓住狐狸.
10．如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有　 　种.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、从4本书中选出2本组成一个复合元素，共有 种，②、把3个元素（包含一个复合元素）全排列，对应分给三个学生，有 种情况，
根据分步计数原理不同的分法种数有6×6=36种，
故选B
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、将4本书分成3组，从4本书中选出2本组成一个复合元素即可，②、把3个元素（包含一个复合元素）全排列，分给三个学生；分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
2．【答案】D
【解析】【分析】如图的棋盘中，
黑
黑
白
黑
白
首先放入三颗黑子，在的棋盘中，选出三行三列，共种方法，然后放入三颗黑子，每一行放一颗黑子，共种方法，然后在剩下的两行两列放两颗白子，共种方法，所以不同的方法种数为种方法.故选D.
3．【答案】C
【解析】【解答】由题意甲收集运筹算、成数算、把头算中一种、二种或三种，总方法数是：
。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，从而结合分类加法计数原理，进而求出不同的分配方案种数。
4．【答案】C
【解析】【解答】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1；
第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1，2，1，
第三层有三个小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，
第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，
第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，
第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，
故小球落入D区的路线数有20条。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分类加法计数原理，进而得出小球落入D区的路线数。
5．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：如果甲需要经过A5，那么从M到N的线路有1条，故A错误；
如果甲需要经过A2，从M到A共有=4条，从A2到N共有=4条，所以从M到N的线路有4x4=16条，故B正确；
如果甲需要经过A3，从M到A3共有=6条，从4到N共有=6条，所以从M到N的线路有6x6=36条，故C正确；
因此从从M到N的线路有=70条，故D正确.
故答案为：BCD
【分析】结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理逐项分析即可求出结果.
6．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确；
B、若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法，故B正确；
C、若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，
则共有种不同的安排方法，故C错误；
D、若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用全排列即可判断A；先将人员分组为2，1，1，再将三组人员送到三个地方计算即可判断B；全排中除去甲去区，乙去区，再加上多减的即可判断C；隔板法，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，再计算即可判断D.
7．【答案】B,D
【解析】【解答】解：对于，若甲不排第一个，则甲有5种排法，其余5个人全排，共有种；
对于，先排列除与外的4个人，有种方法，利用插空法将和插入5个空，有种方法，则共有种方法；
对于，若和相邻，利用捆绑法不同站队方式有种，
若和相邻且在两端，则站队方式有种，故由间接法得站队方式共有192种；
对于排在之前的概率为.
故答案为：BD.
【分析】对于ABC，根据题意结合排列数、组合数分析求解；对于D，根据排列组合结合古典概型分析求解.
8．【答案】A,C,D
9．【答案】6
10．【答案】264
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