漳州市 2024-2025 学年（下）乙丙级联盟校高一联考
高 一 数 学 选 填 解 析
一、单项选择题
1．【解析】依条件得， 4 3 2x 0，所以 x 6
故选：C
2．【解析】
故选：D
3．【解析】【详解】根据斜二侧画法还原VABC在直角坐标系的图形，如下图所示：
2
由图得 AO 3， AB AC 3 12 2 BC ，故VABC为等边三角形，
故选：A
4．【解析】【详解】因为 a 2， b 3， a b 19，
2 2 2 r r
则 a b a 2a b b ，即19 4 2a b 9 ，可得 a b 3，
则cos a,b
a b 3 1
= = =
a b 2 3 2
，
且 a,b 0,π π，所以 a,b .
3
故选：A.
5．【解析】对于 A，若 m//α，n//β，α//β，则 m//n或 m与 n相交或 m与 n异面，故 A错误；
对于 B，若 m//α，则在平面α内存在不同于 n的直线 l，使得 l//m，则 l//β，
从而 l//n，故 m//n，故 B正确；
对于 C，若 n//α，n//β，则α//β或α与β相交，故 C错误；
对于 D，若 m//n，n α，则 m//α或 m α，故 D错误．
故选：B．
6．【解析】若圆台上下底面半径分别为 r,R且 R r，则圆台轴截面腰长为 (R r)2 3，
所以 2(R r) 2 (R r) 2 3 10 ， 3(R r) 3 3，即 R r 3，
高一数学选填答案 第 1页 （共 4页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
所以 (R r)2 1，可得 R r 1，故 R 2, r 1，
综上，圆台的表面积为 πR2 πr 2 π(R r) (R r)2 3 4π π 3π 2 11π .
故选：C
7 CA CB CA CB cosC cosC 5
．【解析】因为 ∣ ∣ ∣ ，及 和CA CB 5，
5
5
所以∣CA∣ CB∣ 5 ,解得：∣CA∣ CB∣ 5，
5
又因为0 C π ,
2
所以 sinC 1 cos2 C 1 5 5 20 2 5 1 .
5 25 25 5
S 1所以 ABC ∣ CA∣ CB∣ sinC
1 5 2 5 1 2 5 5 .
2 2 5 2
故选：D.
1
8. a ,b a ,b 60 a b 1 1 cos60 【解析】由单位向量 ，且向量 的夹角为 ，得 ，
2
由 | a b | | a b | ，得 a 2 2b 2 2 a b a 2 2b 2 2 a b ，
即1 2 1 2 ，依题意，对任意的 R，1 2 1 2 恒成立，
2 1 2 3 3 1
而1 ( ) ，当且仅当 时取等号，
2 4 4 2
因此1 2
3 1
，整理得 ( )2 0
1
，所以 .
4 2 2
故选：B．
二、多项选择题
9．【解析】
2
由题 a b 3, 3 32 3 2 3, a b 1, 3 12 ( 3)2 2，
所以 a b a b ，故 A错；
又a b 2 1 0 3 2，故 B正确；
a 22 02 2 a
b cos a ,b a b a b a a b a 1 ，所以 b在 上的投影向量为： aa a b a | a
|2 2 ，故
C正确；
2 2
因为 b 1 3 2,cos a
,b a b 2 1 a ,b π 0, π
a b 2 2 2，又 ，所以 a,b ，故 D错误.3
高一数学选填答案 第 2页 （共 4页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
故选：BC.
10．【解析】
故选：ABC
11．【解析】
对于 A：正确；
对于 B：因为O 为 ABC的外心，设 AB中点为D，连接OD，则OD AB
2
所以 AB AO AB AD DO 1 1 AB AD AB DO AB 2 2
AB BC AC BC对于 C：错误．因为
AB
AC BC
AB cosB AC cosC AB cosB AC cosC
AB BC cos B AC BC cosC
BC BC 0
AB cosB AC cosC
AB所以
AC
与 垂直，
AB cosB AC cosC BC
AB AC
又因为 AH BC，所以 AH 与 共线AB cosB AC cosC
对于 D：正确．因为 H 为VABC的垂心，则 AH BC，即 AH BC 0，
即 AH HC HB AH HC AH HB 0，则HA HC HA HB ，
同理，HA HC HC HB ，所以HA HC HA HB HC HB ，
设HA HC HA HB HC HB x ，
因为 2HA 3HB 4HC 0，所以3HB 2HA 4HC ，
2
即3HB 2HA HB 4HC HB 6x，则 HB 2x ，
2 4HC 2HA 3HB ，即 4HC 2HA HC 3HB HC 5x，
则 HC 5 x， cos BHC cosHB,HC
HB HC
4 HB HC
x x 10
5 2 5 5 ， x 0，故 D正确.x x
2 2
故选：ABD
三、填空题
高一数学选填答案 第 3页 （共 4页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
12．【解析】由1 i是方程 x2 bx c 0(b ,c R)的一个根，得1 i是该方程的另一根，
则 b 1 i 1 i 2， c (1 i)(1 i) 2，解得 b 2,c 2，
所以b c 0 .
故答案为：0
13．【解析】因为向量 a 2,3 ，b 3,1 ，
则a kb 2 3k,3 k , a b 1,2 ，
又因为 a kb a b ，所以 a kb · a b 0，则 2 3k 6 2k 0
则 k 4．
故答案为：4.
14．【解析】四边形 ABCD中， AB BC CD 1，DA 3，
设△ABD与△BCD面积分别为 S1， S2 ，
1 1
则 S 11 AB·AD·sinA
3
sinA， S2 CD·BC·sinC sinC．
2 2 2 2
在△ABD中，利用余弦定理： BD2 AD2 AB2 2·AD·AB·cosA，
即BD2 3 1 2 3 cosA 4 2 3 cosA ，
在△BCD中，利用余弦定理： BD2 CD2 CB2 2·CD·CB·cosC，
即BD2 1 1 2cosC 2 2cosC，
所以 cosC 3 cos A 1．
S 2 S 2 3 sin2 A 1 sin2 C 3 1 cos2 A 1 1 cos2则 1 2 C4 4 4 4
1 2
3cosA
1 7
2 2
4
，
当 3cosA
1
3，即 时， S 2 S 2
7
最大值，最大值为 ，
2 cos A 1 26 8
7
故答案为：
8
高一数学选填答案 第 4页 （共 4页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}漳州市2024-2025学年（下）乙丙级联盟校高一联考
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分150分）
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且，则
A.9 B.8 C.6 D.3
2.复数的共轭复数等于
A. B. C. D.
3．把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
4.已知，，，则与的夹角为（ ）.
A． B． C． D．
5.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m//α，n//β，α//β，则m//n
B．若m//α，m//β，α∩β＝n，则m//n
C．若n//α，n//β，则α//β
D．若m//n，n α，则m//α
6．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为
A． B． C． D．
7．在中，已知，，则的面积为
A． B． C．2 D．
8．已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若向量，则
A． B．
C．在上的投影向量为 D．与的夹角为
10．记，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
11．已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是
A．若是中点，
B．若，则
C．与不共线
D．若，则.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知是方程的一个根，则 ．
13．已知向量，，若，则 ．
14．已知四边形中，，，则 ．设与面积分别为，．的最大值为 ．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在中，，点是的中点，设，,
（1）用表示，；
（2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．
16．（15分）
已知复数，其中是实数．
(1)若，求实数的值；
(2)若是纯虚数，求
17.（15分）
在中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
18．（17分）
在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若．
(1)求；
(2)若为____________，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值．
（从条件①内心,②垂心，③重心，,任选一个作答）
19．（17分）
如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
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数学参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A A B C D B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BC ABC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【解析】
（1）因为，
所以，
因为是的中点，
．
（2）因为，
所以，所以．
16．（15分）
【解析】【详解】（1）复数，则，又a是实数，
因此，解得，
所以实数a的值是.
（2）复数，，
则，
因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，
则，即有，
所以.
17．（15分）
【解析】
【详解】（1）在中，由，则，
由余弦定理知：，
因为，所以.
（2）因为，所以，即，
由正弦定理，
由，所以，，
由，，解得：或，
即或，
当时，，
在中，由正弦定理，所以，
所以；
当时，三角形为等边三角形，，
.
综上：当时，；当时，.
18．（17分）
【解析】（1）由正弦定理可得，
又，
所以,
又，
所以，即，又，所以；
（2）若选条件①：
因为为的内心，所以，
由，得
因为，所以，
所以，即，
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件②：
因为为的垂心，且，所以，
故，即，
又，
即，所以
所以.
当且仅当时取面积最小值.
若选条件③：
因为为的重心，且，所以，
又，故，
即，
即，所以
所以.
当且仅当时取最大值.
19．（17分）
【解析】（1）在正四棱锥中，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
（2）如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，
当M为SA的中点时，，
又平面平面，
所以平面；
（3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足.
理由如下：
取的中点Q，由，得，
过Q作的平行线交于E，连接，，
中，有，又平面，平面，
所以平面，由，得.
又，又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，而平面，
所以平面.漳州市 2024-2025 学年（下）乙丙级联盟校高一联考
数 学 试 卷
（考试时间：120分钟 满分 150分）
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡
上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知向量 a (2, 4)，b (3, x)，且 a//b，则 x
A.9 B.8 C.6 D.3
2.复数 z (3 2i)i 的共轭复数 z等于
A. 2 3i B. 2 3i C.2 3i D.2 3i
3．把VABC按斜二测画法得到△A B C ，如图所示，其中 B O C O 1 A O 3 ， ，那么
2
VABC是一个
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
4.已知 a 2， b 3， a b 19，则 a与b的夹角为（ ）.
π π 2π 5π
A． B． C． D．
3 6 3 6
5.已知 m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 m//α，n//β，α//β，则 m//n
B．若 m//α，m//β，α∩β＝n，则 m//n
C．若 n//α，n//β，则α//β
D．若 m//n，n α，则 m//α
高一数学 第 1页（共 4页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
6．已知某圆台轴截面的周长为 10、面积为3 3，圆台的高为 3，则该圆台的表面积为
A． 6π B．10π C．11π D．12π
5 7．在VABC中，已知 cosC ，CA CB 5，则VABC的面积为
5
1
A B 5． ． C．2 D． 5
5 5
8 ．已知单位向量 a,b ，且向量 a,b 的夹角为 60 ，若对任意的 R,| a b | | a b |恒成立，
则实数 的值为
1 1 1
A． 1 B． C． D． 2 3 4
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．若向量 a 2,0 ,b 1, 3 ，则
A． a b a b B ． a b 2
C a
1 π
． b在 上的投影向量为 a D． a与 b的夹角为
2 6
10．记 1 3 i，则下列结论正确的是
2 2
A. 1 B. 2 1 C. 2025 1 D. 2 0
11．已知 ABC的重心为G，外心为O，内心为 I ，垂心为H，则下列说法正确的是
A．若M 是 BC中点， AG :GM 2 :1
B．若 AB 1 AB 1，则 AO
2
AB AC
C． AH与 AB B AC C 不共线cos cos
D．若 2HA 3HB 4HC 0 ，则 cos BHC 10 .
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知1 i是方程 x2 bx c 0(b ,c R)的一个根，则b c ．
13．已知向量 a 2,3 ，b 3,1 ，若 a kb a b ，则 k ．
14．已知四边形 ABCD中， AB BC CD 1，AD 3，则 3 cos A cosC ．设△ABD
与△BCD面积分别为 S1， S 2 22 ． S1 S2 的最大值为 ．（第一空 2分，第二空 3分）
高一数学 第 2页（共 4页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
1
如图，在 ABC中， AD AB ，点 E是CD的中点，设 AB a ，3 AC b
,
（1）用 a，b表示CD， AE；
（2）如果 a 3 b ，CD， AE有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．
16．（15分）
已知复数 z1 i a， z2 1 i其中 a是实数．
(1) z2若 1 2i，求实数 a的值；
z 2 3 20251 z z z z (2)若 z 是纯虚数，求
1 1 1 1
2 z
2 z
2 z2 z2
17.（15 分）
在VABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且满足 a2 b2 ab c2 .
(1)求角C的大小；
(2)若b 2， c 2b cosB，求VABC的面积.
高一数学 第 3页（共 4页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
18．（17分）
在锐角VABC 3中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若b acosC csin A．
3
(1)求 A；
(2)若Q为____________，线段 AQ的延长线交 BC于点D，求 S ABC 的最大值或最小值．
（从条件①内心, AD 3,②垂心， AD 3③重心， AQ 2 ,任选一个作答）
19．（17分）
如图所示正四棱锥 S ABCD， SA SB SC SD 2， AB 2 ， P为侧棱 SD上的点，且
SP 3PD，求：
(1)正四棱锥 S ABCD的表面积；
(2)若M 为 SA的中点，求证： SC / /平面 BMD；
SE
(3)侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE / /平面 PAC .若存在，求 的值；若不存在，试说明
EC
理由.
高一数学 第 4页（共 4页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
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数学参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的
主要考察内容比照评分标准制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A A B C D B
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 10 11
BC ABC ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
7
12．0 13． 4 14．1 8
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【解析】
1
（1）因为 AD AB，
3
1
所以CD AD AC AB AC 1 a b ，
3 3
因为 E是CD的中点，
1 1 1 1 1 AE (AD AC) ( AB AC) AB AC 1 a 1 b ．
2 2 3 6 2 6 2
（2）因为 a 3 b ，CD AE
1
a b 1 1 a + b
3 6 2
高一数学参考答案 第 1页（共 5页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
1 a2 1 a b 1 a b 1 b2 1 1 a2 b2
18 6 6 2 18 2
1
a 2 1 1 1 b 2 (3 b )2 b 2 0
18 2 18 2
所以CD AE，所以CD AE．
16．（15分）
【解析】【详解】（1）复数 z1 i a，则 z21 ( a i)
2 (a2 1) 2ai 2i，又 a是实数，
a2 1 0
因此 ，解得 a 1，
2a 2
所以实数 a 的值是 1.
（2）复数 z1 i a， z2 1 i a R，
z1 a i ( a i)(1 i) (1 a) (a 1)i 1 a a 1
则 iz2 1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
，
1 a
z 01 2 z1
因为 z 是纯虚数，于是 ，解得 a 1，因此
i，又 i1 i, i2 1,i3z i, i
4 1，
2 a 1 0 2
2
则n N* , i4n 3 i, i4n 2 1,i4n 1 i, i4n 1，即有 n N*, i4n 3 i4n 2 i4n 1 i4n 0 ，
z1 ( z1 )2 z ( 1 )3 z ( 1 )2025 506(i i2所以 i3 i4) i iz z z .2 2 2 z2
17．（15分）
【解析】
【详解】（1）在 ABC中，由 a2 b2 ab c2，则 a2 b2 c2 ab，
a2 b2 c2 ab 1
由余弦定理知： cosC ，
2ab 2ab 2
因为C 0, π ，所以C π .
3
π
（2）因为b 2,c 2b cosB ，所以 cosB 0 B
，即 0, ，
2
由正弦定理 sinC 2sin Bcos B ，
π 3 3
由C ，所以
3 2sin BcosB
， sin 2B ，
2 2
由B
π 0, ， 2B 0, π 2B
π 2π
，解得： 或 2B ，
2 3 3
B π B π即 或 ，
6 3
①当 B
π
时， A π B
π
C ，
6 2
高一数学参考答案 第 2页（共 5页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
b 2
ABC a b a 4在 中，由正弦定理 ，所以 1 ，
sin A sin B sin B 2
S 1所以 VABC ab sinC 2 3；2
π
②当 B 时，三角形为等边三角形， a b c 2，
3
S 1 1 3 ABC ab sinC 2 2 3 .2 2 2
π π
综上：当 B 时， S 2 3；当 B 时， S 3 .
6 ABC 3 ABC
18．（17分）
3
【解析】（1）由正弦定理可得 sin B sin AcosC sinC sin A ，
3
又sin B sin A C sin AcosC cos AsinC，
所以 cos AsinC 3 sinC sin A,
3
又sinC 0，
π
所以 cos A 3 sin A，即 tan A 3 ，又 A 0, π ，所以 A ；
3 3
（2）若选条件①：
因为Q为VABC的内心，所以 BAD CAD
1
BAC π ，
2 6
由 S ABC S ABD S
1 π 1 π 1 π
ACD，得 bc sin c AD sin b AD sin2 3 2 6 2 6
3bc
因为 AD 3，所以b c ，
3
3bc
所以b c 2 bc ，即bc 12，
3
S 1bcsin BAC 1 12 3所以 △ABC 3 3 .2 2 2
当且仅当b c时取面积最小值3 3 .
若选条件②：
因为Q为VABC 1 1 3 1的垂心，且 AD 3，所以 S△ABC bcsin BAC bc a 3 ，2 2 2 2
2
故bc 2 3a，即 bc 12a2，
又 a2 b2 c2 2bccos
π
，
3
2 2 2
即 bc 12 b c bc 12 2bc bc ，所以bc 12
高一数学参考答案 第 3页（共 5页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
所以 S
1 1 3
△ABC bcsin BAC bc 3 3 .2 2 2
当且仅当b c时取面积最小值3 3 .
若选条件③：
3
因为Q为VABC的重心，且 AQ 2，所以 AD AQ 3，
2
AD 1
2 2 2
又 AB AC ，故 AD 1 AB AC 2 AB AC cos BAC2 4 ，
1 2 2
即9 c b bc ，4
即36 c2 b2 bc 3bc，所以bc 12
1
所以 S△ABC bcsin BAC
1 3
bc 3 3 .
2 2 2
当且仅当b c时取最大值3 3 .
19．（17分）
【解析】（1）在正四棱锥 S ABCD中， SA SB SC SD 2, AB 2，
则正四棱锥侧面的高为 h 2 14 22 ( )2 ，
2 2
1 14
所以正四棱锥的表面积为 S 4 2 2 2 2 7 2；
2 2
（2）如图，连接 BD交 AC于点 O，连接MO,BM ,DM ，则 O为 AC 的中点，
当 M 为 SA 的中点时，OM / /SC，
又OM 平面 BMD,SC 平面 BMD，
所以 SC / /平面 BMD；
SE
（3）在侧棱 SC 上存在点 E，使得 BE / /平面 PAC，满足 2 .
EC
理由如下：
取 SD的中点 Q，由 SP 3PD，得 PQ PD，
过 Q 作PC的平行线交 SC 于 E，连接 BQ， BE，
△BDQ中，有 BQ / /PO，又 PO 平面PAC， BQ 平面 PAC，
SQ SE SQ
所以 BQ / /平面PAC，由 2 2QP ，得 EC QP .
高一数学参考答案 第 4页（共 5页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
又QE / /PC，又PC 平面 PAC，QE 平面 PAC，
所以QE / /平面PAC，又 BQ QE Q, BQ、QE 平面 BEQ，
所以平面 BEQ / /平面PAC，而 BE 平面 BEQ，
所以 BE / /平面PAC .
高一数学参考答案 第 5页（共 5页）
{#{QQABLQS54ggwgBYACD4KVwEgCUmQkIGQJWoGBVCcqAQrQIFIFIA=}#}
