(小升初典型培优)专题25 容斥原理-2024-2025学年六年级下册数学典型培优专练通用版（含解析）

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2024-2025学年六年级下册数学典型培优专练通用版
专题25 容斥原理
【第一部分：知识梳理】
一、容斥原理的基本概念：在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
二、一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
三、容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
四、容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C
【第二部分：培优专练】
1．“六一”少儿美术作品展览，有26件不是四年级的，有16件不是五年级的，四五年级共有作品28件，四五年级各有作品多少件？
2．某班一次考试有52人参加，共有5道题，每道题做错的人数如下：
题号 1 2 3 4 5
人数 4 6 10 20 39
又知道每人至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全做对的有6人，做对2道题的人数和3道题的人数一样多，那么做对4道题的有多少人？
3．王老师出了两道数学题，全班42人，答对第一题的有28人，答对第二题的有32人，两题都答错的有1人。那么，两题都答对的有多少人？
4．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中小学生必须参与的教育活动，光明小学组织“农田基地”劳动，40人参加“农田除杂草”劳动，25人参加“农田施肥”劳动，其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人？
5．学校的社团活动，三一班每个人都参加了书法或绘画活动。参加书法的有25人，参加绘画的有30人，两种活动都参加的有16人，三一班有多少人？算一算，填一填。
6．三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有32人订了《数学王国》，有26人订了《作文天地》，其中有12人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？
7．四年级有36名同学进行剪纸和篆刻的才艺展示，展示剪纸的有26名，展示篆刻的有18名。两种都展示的有多少名同学？
8．同学们到动物园游玩，参观金丝猴馆的有50人，参观大象馆的有38人，两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人？
9．在三（1）班思维课堂上，老师出了两道考察思维能力的题。做对第一道题的有28人，做对第二道题的有30人，（每人至少做对一道题）。两道题都做对的有多少人？
10．一个班有38人，班主任在班会上问：“谁参加美术兴趣小组？请举手！”有30人举手。又问：“谁参加体育兴趣小组？请举手！”有35人举手。最后问：“谁美术、体育小组都没有参加？”没有人举手。求这个班美术、体育小组都参加的人数。
11．2021年是红军长征胜利85周年。一个44人的国际旅游团到中央红军长征胜利纪念园参观，其中会讲英语的有37人，会讲汉语的有25人，每人至少会讲英语和汉语中的一种，英语和汉语都会讲的有多少人？
12．二（3）班有学生45名，现有两份报纸可以订阅，每人至少订一份。已知订《少年日报》的有32人，订《东方少年报》的有25人，那么两种报纸都订的有几人？
13．聪聪调查了五（1）班50名同学最喜欢吃的水果情况。有的同学最喜欢吃香蕉，有的同学最喜欢吃苹果。最喜欢吃香蕉的和最喜欢吃苹果的一共有多少人？
14．全班有57人参加考试，每人至少有一门课考100分，其中：语文考100分的有30人，数学考100分的有36人，英语考100分的有28人，两门都考100分的有52人．有多少人三门都考了100分？
15．外语实验学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英语和日语的有5人，能教法语和日语的有3人，能教英语和法语的有4人，能教英语、法语、日语的只有2人．只能教法语的教师有多少人？
16．杭城某小区共有143户住户，据统计订阅《都市快报》和《钱江晚报》这两种报纸情况如下：订阅《都市快报》的有80户，订阅《钱江晚报》的有75户，两种报纸都订的有25户．根据提供的材料你还能获取哪些信息？请补上一个问题，并解答．
17．47名学生组织游泳和跳水训练，其中参加游泳的有12人，参加跳水的有15人，两项都不参加的有26人。求两项训练都参加的有多少人？
18．二（3）班调查每个组学生喜欢吃的水果，每人可以选择三种。第一组4个同学喜欢的水果如下。
小明：西瓜、苹果、梨子文文：芒果、西瓜、橘子 小军：桃子、苹果、西瓜小丽：西瓜、桃子、橙子
（1）4个同学都喜欢的水果是 　 　。
（2）你是怎么知道的？把你的想法用写一写、画一画等方式表示出来。
19．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？
20．三（1）班共有36名同学订阅杂志，其中订阅《数学天地》的有21人，订阅《语文天地》的有18人，每人至少订阅一种．有多少名同学订阅了两种杂志？
21．班上42名同学喜欢水果情况如下，每人最少喜欢一种水果，其中34名同学喜欢菠萝，25名同学喜欢水蜜桃。你知道这两种水果都喜欢的人数吗？
22．三年级一班有12人参加了数学竞赛，有15人参加了语文竞赛，有4人两项竞赛都参加了，三年级一班参加数学和语文竞赛的有多人？
23．六（5）班有48人，其中的同学订阅了《英语辅导报》，的同学订阅了《数学报》，并且每人至少订阅了其中一种报纸．两种报纸都订阅的有多少人？
24．三（1）班订《数学报》的人数有27人，订《语文报》的人数有32人，两份都订的有15人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有多少人？
25．【文明中的教学】三（2）班学生为我市争创“文明城市”参加义务劳动。已知全班共58人，帮助清洁工进行垃圾分类的有36人，帮助交警进行交通疏导的有29人，每人至少参加一种劳动。两种劳动都参加的有多少人？
26．《流浪地球》和《中国机长》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《流浪地球》的有31人，看了《中国机长》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有多少人？
27．逸夫小学组织学生参加周末公益活动。有66人参加周六的活动，90人参加周日的活动，其中有35人这两天的活动都参加。至少参加一天活动的有多少人？
28．三年级（2）班喜欢踢足球的有20人，喜欢打乒乓球的有15人，这两项运动都喜欢的有6人，三年级（2）班喜欢这两项运动的一共有多少人？
29．杨老师给1801班的同学出了两道思考题，批改后发现：全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有35人，两道题都做对的有15人，1801班一共有多少位学生？
30．四年级（1）班有42名同学，其中会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会下的有10人。那么两种棋都会下的有多少人？
31．三（1）班有学生42人，爱画画的有24人，爱喝歌的比爱画画的少4人，即不爱画画也不爱唱歌的有8人．既爱画画又爱唱歌的有多少人？
32．某班一共有35名学生，20名同学会打篮球，24名同学会踢足球，则最少有多少名同学既会打篮球，又会踢足球？
33．四（1）班有30人会下棋，会下象棋的有16人，会下围棋的有19人。
（1）请根据以上信息，把如图中各部分的人数填在括号里。
（2）两种棋都会下的有多少人？
34．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？
35．三年级一班的同学喜欢打球的有35人，喜欢跳绳的有27人，两种运动都喜欢的有12人，都不喜欢的有4人。三年级一班一共有多少个同学？（用图可以表示题中的信息，先把图补充完整，再列式解答。）
参考答案及试题解析
1．【答案】见试题解答内容
【分析】26件不是四年级的，即26件是1，2，3，5，6年级的；16件不是五年级的，即16件是1，2，3，4，6年级的；则5年级比4年级多：26﹣16＝10件，已知四五年级共有作品28件，所以4年级有：（28﹣10）÷2＝9件；5年级有：28﹣9＝19或9+10＝19件；由此解答即可．
【解答】解：四年级：[28﹣（26﹣16）]÷2
＝18÷2
＝9（件）；
五年级：28﹣9＝19（件）；
答：四年级有作品9件，五年级有作品19件．
【点评】此题较难，应根据题意，进行认真分析，明确5年级参赛的作品比4年级多26﹣16＝10件，是解答此题的关键．
2．【答案】31 人。
【分析】首先计算出总共有题52×5＝260（道），这样做对的题有260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）。对2道，3道，4道题的人共有52﹣7﹣6＝39（人），他们共做对181﹣1×7﹣5×6＝144（道），由于对2道和3道题的人数一样多，可以把他们看作是对2.5道题的人，这样结合做对2道、3道题、4道题的题目总数为144道，做对2道、3道题、4道题的人数为39人，最后计算出对4道题的有（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）＝31（人）。
【解答】解：52×5＝260（道）
260﹣（4+6+10+20+39）＝181（道）
52﹣7﹣6＝39（人）
181﹣1×7﹣5×6
＝181﹣7﹣30
＝144（道）
（2+3）÷2＝2.5（道）
（144﹣2.5×39）÷（4﹣2.5）
＝（144﹣97.5）÷1.5
＝46.5÷1.5
＝31（人）
答：做对4道题的有31人。
【点评】本题考查容斥原理及鸡兔同笼问题，属于较难问题，分析时一定需要细致入微。
3．【答案】19人。
【分析】根据两题都答对的学生数＝（答对第一题的人数+答对第二题的人数）﹣（总人数﹣两题都答错的人数）；据此解答。
【解答】解：（28+32）﹣（42﹣1）
＝60﹣41
＝19（人）
答：两题都答对的有19人。
【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解两题都答对的学生数＝（答对第一题的人数+答对第二题的人数）﹣（总人数﹣两题都答错的人数）。
4．【答案】55人。
【分析】用参加“农田除杂草”劳动的40人加参加“农田施肥”劳动的25人的和，减去两项都参加的10人即得总人数。
【解答】解：40+25﹣10
＝65﹣10
＝55（人）
答：参加这两项劳动的学生一共有55人。
【点评】解答依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素的个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
5．【答案】；39人。
【分析】先用25减去16求出只参加书法的人数，同理求出只参加绘画的人数，然后填图，再把三部分的人数相加即可。
【解答】解：25﹣16＝9（人）
30﹣16＝14（人）
9+14+16＝39（人）
答：三一班有39人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
6．【答案】46人。
【分析】订了《数学王国》的人数+订了《作文天地》的人数﹣两种杂志都订的人数＝总人数。
【解答】解：（32+26）﹣12
＝58﹣12
＝46（人）
答：三（1）班一共有46人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
7．【答案】8名。
【分析】先用26加18求出展示剪纸和展示篆刻的人数和，再减去四年级这两项才艺展示的总人数36就是重复计算的人数，也就是这两种都展示的有的人数。
【解答】解：26+18﹣36
＝44﹣36
＝8（名）
答：两种都展示的有8名同学。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
8．【答案】68人。
【分析】先用50加38求出参观金丝猴馆和参观大象馆的共有的人数，然后去掉重复计算的人数即两个馆都参观的人数，就是去动物园的一共的人数；据此解答即可。
【解答】解：50+38﹣20
＝88﹣20
＝68（人）
答：去动物园的一共有68人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
9．【答案】13人。
【分析】先用28加上30求出做对第一道题与做对第二道题的人数和，再减去三（1）班的总人数45就是重复计算的人数，也就是两道题都做对的人数。
【解答】解：28+30﹣45
＝58﹣45
＝13（人）
答：两道题都做对的有13人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
10．【答案】27人。
【分析】通过题意可知，全班同学都至少参加了美术和体育兴趣小组中的一个，根据“A类人数+B类人数﹣全班人数＝既A又B类人数”即可求解。
【解答】解：30+35﹣38＝27（人）
答：这个班美术、体育小组都参加的人数是27人。
【点评】本题考查了容斥原理的应用。
11．【答案】18人。
【分析】先用37加25求出会讲英语的和会讲汉语的人数和，再减去总人数44就是重复计算的人数，也就是英语和汉语都会讲的人数。
【解答】解：37+25﹣44
＝62﹣44
＝18（人）
答：英语和汉语都会讲的有18人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
12．【答案】12人。
【分析】根据容斥原理，订《少年日报》的人数+订《东方少年报》的人数﹣学生总人数＝两种报纸都订的人数。
【解答】解：32+25﹣45
＝57﹣45
＝12（人）
答：两种报纸都订的有12人。
【点评】此题主要考查了两集合容斥原理的应用，要熟练掌握。
13．【答案】35人。
【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法解答；据此分别求出最喜欢吃香蕉的和最喜欢吃苹果的有多少人，再求和即可。
【解答】解：5050
＝20+15
＝35（人）
答：最喜欢吃香蕉的和最喜欢吃苹果的一共有35人。
【点评】本题考查了分数乘法应用题的运用，是熟练掌握整数乘分数的计算方法。
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据容斥原理公式：A∩B∩C＝A∪B∪C﹣（A+B+C）﹣（A∩B+B∩C+A∩C），代入数据解答即可．
【解答】解：（30+36+28）﹣57﹣52
＝109﹣57﹣52
＝5（人）
答：有5人三门都考了100分．
【点评】本题考查了容斥原理2：三量重叠问题，即A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】根据容斥问题原理，能教英，日语的有5人，三种都能教的有2人，说明只能教英，日语的有3人，同理可得只能教法，日语的有1人，只能教英，法语的有2人．设只能教法语的有X人，则：8+6+x+3+1+2+2＝27，解得：x＝5
【解答】解：设只能教法语的有x人，则：
8+6+X+3+1+2+2＝27
22+x＝27
x＝5
答：只能教法语的有5人．
【点评】本题主要考查容斥问题，关键弄清各部分与整体的关系．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】因为两种报纸都订的有25户是重叠部分的户数，所以根据容斥原理求出订阅的户数是：80+75﹣25＝130（户），而杭城某小区共有143户住户，则相差的143﹣130＝13（户）就是没有订报纸的户数，由此得出提出问题并解答即可．
【解答】解：可提出问题：没有订报纸的一共有多少户？
80+75﹣25＝130（户）
143﹣130＝13（户）
答：没有订报纸的一共有13户．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
17．【答案】6人。
【分析】47名学生组织游泳和跳水训练，两项都不参加的有26人，用47减去26就是参加训练的总人数。然后用12加上15求出参加游泳与参加跳水的人数和，再减去参加训练的总人数就是重复计算的人数，也就是两项训练都参加的人数。
【解答】解：47﹣26＝21（人）
12+15﹣21
＝27﹣21
＝6（人）
答：两项训练都参加的有6人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
18．【答案】（1）西瓜
（2）小明和小军都喜欢的水果有苹果和西瓜，文文和小丽都喜欢的水果是西瓜，则4个同学都喜欢的水果是西瓜。（答案不唯一，合理即可）
【分析】（1）根据4个同学喜欢的水果得出都喜欢的水果品种即可；
（2）可以先两个人两个人的比较，然后再得出结论。
【解答】解：（1）4个同学都喜欢的水果是西瓜。
（2）小明和小军都喜欢的水果有苹果和西瓜，
文文和小丽都喜欢的水果是西瓜，
则4个同学都喜欢的水果是西瓜。（答案不唯一，合理即可）
故答案为：西瓜。
【点评】本题考查了容斥原理的灵活运用。
19．【答案】8人。
【分析】既喜欢踢足球又喜欢打篮球的人数＝喜欢踢足球的人数+喜欢打篮球的人数﹣总人数+既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的人数。据此计算即可。
【解答】解：19+21﹣36+4
＝40﹣36+4
＝8（人）
答：既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有8人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
20．【答案】见试题解答内容
【分析】用21加上18求出它们的和，这样两种杂志都订的多算了一次，然后减去36就是两种杂志都订的．
【解答】解：21+18﹣36＝3（名）
答：有3名同学订阅了两种杂志．
【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
21．【答案】17人。
【分析】先用34加上25求出两者的和，这样两种水果都喜欢的人数多算了一次，然后减去实际的总人数42就是这两种水果都喜欢的人数。
【解答】解：34+25﹣42
＝59﹣42
＝17（人）
答：两种水果都喜欢吃的有17人。
【点评】完成本题的依据为容斥原理之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣A类B类元素个数总和A。
22．【答案】23人。
【分析】根据容斥原理公式：总人数＝A+B﹣既A又B解答即可。
【解答】解：12+15﹣4
＝27﹣4
＝23（人）
答：三年级一班参加数学和语文竞赛的有23人。
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝A+B﹣既A又B。
23．【答案】见试题解答内容
【分析】把班级总人数看作单位“1”，用订了《英语辅导报》的占总人数的分率加订了《数学报》的占总人数的分率，再减去1，就是两种都订的人数至少占了总人数的几分之几，用48乘上这个分率即得两种报纸都订的有多少人．
【解答】解：48×（1）
＝48
＝16（人）
答：两种报纸都订阅的有16人．
【点评】本题考查了分数四则复合应用题，已知一个数求它的几分之几是多少，用乘法计算．
24．【答案】44人。
【分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两份都订的人数＝总人数，据此计算即可。
【解答】解：27+32﹣15
＝59﹣15
＝44（人）
答：三（1）班共有44人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
25．【答案】7人。
【分析】先用36加29求出帮助清洁工进行垃圾分类的和帮助交警进行交通疏导的人数和，再减去总人数58就是重复计算的人数，也就是两种劳动都参加的人数。
【解答】解：36+29﹣58
＝65﹣58
＝7（人）
答：两种劳动都参加的有7人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
26．【答案】20人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。
【解答】解：31+23﹣（43﹣9）
＝54﹣34
＝20（人）
答：两部电影都看了的有20人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
27．【答案】121人。
【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【解答】解：66+90﹣35
＝156﹣35
＝121（人）
答：至少参加一天活动的有121人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
28．【答案】29人。
【分析】先用20加上15求出两者的和，再减去重复计算的6人即可。
【解答】解：20+15﹣6
＝35﹣6
＝29（人）
答：三年级（2）班喜欢这两项运动的一共有29人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，容斥原理的计算公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
29．【答案】48位。
【分析】根据容斥原理可知，第1题做对的人数+第2题做对的人数﹣两道题都做对的人数＝总人数。
【解答】解：28+35﹣15
＝63﹣15
＝48（位）
答：1801班一共有48位学生。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
30．【答案】6人。
【分析】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数42，就是两种棋都会下的人数。
【解答】解：21+17+10﹣42
＝48﹣42
＝6（人）
答：两种棋都会下的有6人。
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数。
31．【答案】见试题解答内容
【分析】不爱画画也不爱唱歌的有8人，则爱画画的+爱唱歌的﹣既爱画画又爱唱歌的＝全班总人数﹣不爱画画也不爱唱歌的，可得既爱画画又爱唱歌的＝不爱画画也不爱唱歌的+爱画画的+爱唱歌的﹣全班总人数，据此解答即可．
【解答】解：爱画画的有：24﹣4＝20（人）
既爱画画又爱唱歌的有：
8+24+20﹣42
＝32+20﹣42
＝10（人）
答：既爱画画又爱唱歌的有10人．
【点评】根据容斥原理之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数是完成本题的关键．
32．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，用会打篮球的同学人数和会踢足球的同学人数的和减去全班人数，就是既会打篮球，又会踢足球的人数．把数代入计算即可．
【解答】解：24+20﹣35
＝44﹣35
＝9（名）
答：最少有9名同学既会打篮球，又会踢足球．
【点评】本题主要考查容斥问题，关键弄清楚全班同学人数和会打篮球和踢足球的人数之间的关系．
33．【答案】（1）；（2）5人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数，求出两种棋都会下的有多少人，然后填写上边的图即可。
【解答】解：（1）如图所示：
（2）16+19﹣30
＝35﹣30
＝5（人）
答：两种棋都会下的有5人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
34．【答案】11人。
【分析】先用27加上36求出喜欢喝牛奶与喜欢喝豆浆的人数和，再减去三年级（1）班的总人数52就是重复计算的人数，也就是既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的人数。
【解答】解：27+36﹣52
＝63﹣52
＝11（人）
答：既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有11人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
35．【答案】；54个。
【分析】两种运动都喜欢的有12人，先用35减去12求出只喜欢打球的人数；同理，用27减去12求出只喜欢跳绳的人数；都不喜欢的有4人，然后把四部分的人数填入图中，再求出四部分的人数和即可。
【解答】解：35﹣12＝23（人）
27﹣12＝15（人）
23+12+15+4＝54（个）
答：三年级一班一共有54个同学。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
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