数学：4.4.2《特征值与特征向量》教案（人教版选修4-2）

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4.4.2特征值与特征向量
变换的不变量
（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
（2）会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
引例：根据下列条件试判断M是否与共线：
⑴M= ，非零向量=
⑵ M= ，非零向量=
⑶M＝ ，非零向量＝，
解：⑴ M= ==3，所以M与共线。
⑵ M= =，而与不共线。 即此时M与不共线。
⑶M与共线。
二、特征向量与特征值
设二阶矩阵A ，对于实数，存在一个非零向量，使得A＝，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量。
几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上。＞0方向不变；＜0方向相反；＝0，特征向量就被变换成零向量。
代数方法：特征多项式
例2 求初等变换矩阵的特征值与特征向量，并作出几何解释。
例3 求矩阵M= 的特征值和特征向量：
解：矩阵M的特征值满足方程 =(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0
解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2
⑴设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：(1+1)x+(-2)y=0
即：(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,则可取为属于特征值1=4的一个特征向量。
⑵设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：(2+1)x+(-2)y=0
即：(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量。
综上所述：M= 有两个特征值1=4，2=-2，
属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。
例3 已知：矩阵M= ，向量 = 求M3
解：由上题可知1 =,2 =是矩阵M= 分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1与2不共线。又==3+=31+2
∴M3= M3(31+2)=3 M31+ M32 =3131+232=3×43+(-2)3×
=192×-8×==
例4 已知M＝，＝，试计算M50
例5 自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，并有关系式 eq \b\lc\{(\a\al(,))，其中a1＝6，b1＝4，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势。
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