第26章反比例函数综合解答题专项训练（含解析）

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第26章反比例函数综合解答题专项训练-2024-2025学年数学九
1．如图1，在中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B﹑C不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动，的面积为3，设点运动时间为秒，的长度为，的长度为，请解答下列问题：
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，当时，直接写出的取值范围（误差不超过0.2）．
2．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘（点）可以在横梁BC段滑动（点不与重合）．已知，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）．
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为的长为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点由点向点滑动，向空瓶中加入的水后，发现点移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积；
(3)若、是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系．
4．如图，直线与双曲线（为常数，）相交于和，．
(1)求直线和双曲线所对应的函数解析式；
(2)若，，为双曲线上的三点，且，请写出，，及0的大小关系．
(3)观察图象，请直接写出不等式的解集．
5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标；
(3)若，请直接写出关于的不等式的解．
6．已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求的值；
(2)以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标．
7．如图，直线（，为常数）与双曲线（为常数）相交于两点．
(1)求的值．
(2)在双曲线上任取两点和．若，试确定和的大小关系，并写出判断过程．
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
8．如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点．
(1)直接写出的取值范围；
(2)当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标．
9．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
10．列表法、解析式法、图象法是函数的三种表示方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．如表是函数与部分自变量与函数值的对应关系．
x a 1
a 1
7
(1)求k，a，b的值，并补全表格；
(2)结合表格，写出与的交点坐标；
(3)直线（）与直线交于点A，与双曲线交于点B，求的长．（用含n的代数式表示，要求化简）
11．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动．当点到达点时，、停止运动，连接、．设点运动的时间为，的面积为，
(1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（保留一位小数，误差不超过）．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，的外心为点，反比例函数的图象过点A．
(1)求反比例函数和直线l的解析式；
(2)在函数的图象上取异于点A的一点B，作轴于点C，连接OB交直线l于点P．若的面积是面积的3倍，求点P的坐标．
13．在科技手工课上，老师带领同学们制作简易天平装置．在天平的左侧固定位置放置一个重为G的小摆件A，右侧悬挂一个可在间移动的水杯B（不包含支点C和端点D），水杯自重4g．往水杯中添加水可以使天平平衡．改变水杯与天平支点C的距离，记录水杯中添加水的质量，得到如下表：
水杯与点C的距离 … 5 10 15 20 25 30 40 …
水杯与水的总质量 … 60 30 20 15 10 …
加入的水的质量 … 56 26 16 11 a 6 …
(1)根据实验结果，填空：_______，根据实验数据直接写出与x的的函数关系式：_______；
(2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质：_______；
(3)【深入探究】已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当时x的取值范围：_______；
14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出满足时x的取值范围．
(3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积．
15．如图，直线，都与反比例函数的图象交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
(1)求和的函数解析式；
(2)当时，求不等式的解集；
(3)将点和点同时向下移动个单位长度，使得移动之后对应的两点都在同一个反比例函数的图象上，则的值为________．
《第26章反比例函数综合解答题专项训练-2024-2025学年数学九年级下册人教版》参考答案
1．(1)，
(2)图见解析；函数的性质：当时，随的增大而减小；函数的性质：当时，随的增大而减小
(3)或
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题；
（1）根据，，即可得出，结合三角形的面积公式可得的解析式，
（2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质；
（3）直接利用函数图象得到的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：，，，
当时，，，
∴
∵的面积为，即，
∴，
∴
（2）解：如图，，的图象如下：
函数的性质：当时，随的增大而减小；
函数的性质：当时，随的增大而减小
（3）解：当时，，解并检验得： 或
由图象可得：当时，或
2．(1)
(2)这个空矿泉水瓶的质量为
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
（1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式；
（2）设空瓶的质量为，加水后的质量均为，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程求解即可得到空瓶的质量．
【详解】（1）解：∵左盘砝码重量右盘物体重量，右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，砝码的质量是，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵点P可以在横梁段滑动，
∴．
即．
答：y关于x的函数表达式为：；
（2）解：设空矿泉水瓶的质量为．
根据题意，得，
解得．
这个空矿泉水瓶的质量为．
3．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)3
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式和反比例函数的性质．
（1）把B点坐标代入得，则反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定A点坐标；然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用一次函数解析式确定，求出,根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）根据反比例函数的性质求解．
【详解】（1）解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代入得，解得；
∴，
把，分别代入得，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：当时，，则，
∵点D与点C关于x轴对称，
∴,
∴；
（3）解：根据图象知，当时，．
4．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）首先根据反比例函数系数的几何意义求出，然后求出，，然后利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）根据双曲线函数的性质可得出增减性，即可得出大小关系；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）∵，轴
∴
∴
∵反比例函数图象在第一，三象限
∴
∴
∴双曲线所对应的函数解析式；
将代入得，
解得
∴
将代入
∴
将，代入得
解得
∴直线所对应的函数解析式为；
（2）∵在第三象限内随的增大而减小，故，
又∵是正数，故，
∴．
（3）∵，
∴由图可知或．
【点睛】本题考查了双曲线与一次函数，熟悉双曲线的性质以及两个函数大小比较是解决本题的关键．
5．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题：
（1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解．
（3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答．
【详解】（1）解：依题意把代入，得出，
解得，
反比例函数的解析式为：；
把代入中，得出，
，
则把和分别代入，
得出，
解得，
；
（2）解：如图，记直线与直线的交点为，
当时，则
，
是直线上的一个动点，
设点，
的面积为21，
，
即，
，
解得或，
点坐标为或．
（3）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
则结合图象，当时，则或．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）把点代入一次函数的解析式求出，待定系数法求出的值 即可；
（2）作轴，轴，于点，证明，进而求出点坐标即可；
（3）平移得到，直线与反比例函数的交点即为点，求出直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：把点代入，得：，
∴，
∴；
故；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∴，
作轴，过点作轴，则：轴，，，
∴，
∵，
∴，
∵等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵将沿直线平移，
∴，
∴设的解析式为：，把代入，得：，
解得：，
∴，
由（1）可知：反比例函数的解析式为：，
联立，解得：或（舍去）；
∴
7．(1)，
(2)当或时，；当时，，判断过程见详解
(3)或
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的结合，以及数形结合，
（1）利用待定系数法求得，即可求得点中a的值；
（2）根据反比例函数k，可知反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，分情况讨论即可；
（3）结合一次函数和反比例函数的交点，以及图象位置关系即可求得满足条件的x．
【详解】（1）解：将代入，得，
双曲线的解析式为．
将代入，得．
则，；
（2）解：对于，故反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
当或时，；
当时，根据图象可得．
综上所述，当或时，；当时，．
（3）解：∵交于两点，且，
∴或．
8．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数解析式的求法，正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征．
（1）当函数过点A时，则，当函数过点C时，同理可得：，即可求解；
（2）先由已知得，进而得，再由边所在的直线为，代入即可得出答案．
【详解】（1）解：∵、，
∴正方形的边长为2，
∴点D、C的坐标分别为：、，
当函数过点A时，则，
当函数过点C时，则，
∴；
（2）解：∵是的中点，
∴，
∴，
即反比例函数解析式为，
边所在的直线为，
当时，，
∴反比例函数与边的交点的坐标为．
9．(1)，能
(2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解；
（2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解．
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为，
可得，
解析式为，
令，则，
，
此运动员落地达标，
故答案为：，能；
（2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系．
设，
将代入得，
解得，
．
将代入验证：当时，成立，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点，
将和分别代入，
得，．
由得，
又
．
答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
10．(1)，，，补全表格见解析
(2)与的交点坐标为，
(3)
【分析】本题考查了待定系数系数法，两点间的距离公式，二次函数与一次函数交点情况，解题的关键在于根据表格得到需要的信息．
（1）根据表格中的数据，利用待定系数系数法求出k、a、b的值，进而补全表格，即可解题；
（2）根据表格中的数据可直接得出结论；
（3）根据题意判断出点B在点A的左侧，并分别表示出点B与点A的横坐标，根据两点间的距离公式即可得出结论．
【详解】（1）解：当，，
，
当，则， 即，
当，，
解得，，
综上所述，，，；
即，，
，
当时，，当时，，
故补全表格如下：
x 1
1 7
7
（2）解：由表格可知与的交点坐标为，；
（3）解：直线（）与直线交于点A，与双曲线交于点B，
结合解析式与交点可知点B在点A的左侧，
有，，
解得，，
．
11．(1)
(2)见解析．函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、反比例函数的图象与性质等知识，熟练掌握函数图象法是解题关键．
（1）分两种情况：①和②，利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）利用描点法画出两段函数的图象，再写出函数的增减性即可得；
（3）画出函数的图象，求出两个函数的交点的横坐标，结合函数图象即可得．
【详解】（1）解：由题意可知，点从点出发运动到点所需时间为，从点出发运动到点所需时间为；点从点出发到点所需时间为，
∴．
当点与点相遇时，，解得，
则分以下两种情况：
①如图，当点在上，即时，，
则；
②如图，当点在上，即时，，
∴，
则，
综上，．
（2）解：在平面直角坐标系中，画出函数的图象如下：
函数的一条性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（3）解：画出函数图象如下：
当时，联立，
解得（经检验，是方程组的解），
即此时函数与的交点的横坐标为；
当时，联立，
解得（经检验，是方程组的解）或（舍去），
即此时函数与的交点的横坐标为；
结合函数图象可知，在内，当函数时，的取值范围为或．
12．(1)反比例函数解析式为，直线l的解析式为
(2)
【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，反比例函数k的几何意义，以及坐标与图形性质．
（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式；由A为直角三角形外心，得到A为斜边中点，根据A坐标确定出M与N坐标，设直线l解析式为，将M与N坐标代入求出m与n的值，即可确定出直线l解析式；
（2）利用反比例函数k的意义求出的面积，由的面积是面积的3倍求出的面积，确定出P的横坐标，即可得出P坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数解析式为；
∵的外心为点，
∴A为中点，即，，
设直线l解析式为，
将，代入得：
，
解得：，，
则直线l解析式为；
（2）解：∵B为反比例函数图象上的点，且轴，
∴，
∵的面积是面积的3倍，，
∴，
设P横坐标为，
∴，
∴，
把代入，得．
则P坐标为．
13．(1)8，；
(2)见解析，当时，随的增大而减小
(3)或
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，理解题意是解答本题的关键．
（1）根据表格中的数据关系可知水杯与点C的距离与水杯与水的总质量成反比例，可得，；
（2）根据描点连线画出的图象，根据图象写出性质即可；
（3）根据函数图象写出结论即可．
【详解】（1）解：格中的数据关系可知水杯与点C的距离与水杯与水的总质量成反比例，可得，；
当时，，
故答案为：8，；
（2）解：根据表格中的数据描点连线得，
性质：当时，随的增大而减小；
（3）解：一次函数与的图象如图，
所以，当或时，
14．(1)
(2)或；
(3)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用．
（1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式；
（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意得，解得，
，
即反比例函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
由图象和两函数交点坐标，可知，
不等式的解集为：或；
（3）解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D，
由反比例函数图象的中心对称性质可知，
∵，在一次函数的图象上，
，解得，
∴直线解析式为：，
当时，，
∴，
15．(1)，
(2)
(3)1
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，平移的规律等知识是解题的关键．
（1）把点代入直线中，求出的值，再将代入与中，即可求解；
（2）设直线与反比例函数的另一个交点为，先求出，根据反比例函数图象的性质即可求解；
（3）根据函数与坐标轴的交点可得，由平移的性质可得，，结合两点都在同一反比例函数的图像上，由反比例函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入直线中，则，
∴
将代入与中，
则，解得，
，解得：，
∴，；
（2）解：如图，设直线与反比例函数的另一个交点为，
令，即，
解得：，
当时，，
∴，
根据函数图象：当时，，
∴当时，求不等式的解集为；
（3）解：令，解得：，
∴，
将点和点同时向下移动个单位长度，
∴，，
由题意得：，
解得：．
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