八年级数学下册北师大版 1.2 直角三角形 小节复习题 （含答案）

1.2 直角三角形小节复习题
【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】
1.如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ．
2.南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3.两直角三角形如图放置，且，若直接应用“”判定≌，则需要添加的一个条件是 ．
4.在和中，，下列条件中能判定的个数为（　　）
①，；
②，；
③，；
④，．
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 判定三角形全等的依据】
1.在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

对这两种画法的描述中正确的是（ ）
A．小赵同学作图判定的依据是
B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．小刘同学作图判定的依据是
D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
2.如图，，，，，则判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，，，以下能作为与全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
4.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，O画射线，由画法得的依据是 ．
【题型3 由HL证全等】
1.如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
(1)求证：△ABH≌△DEG；
(2)求证：CE＝FB．
2.如图，相交于点O，，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
3.如图，在中，，分别以为斜边作和，使，，连接相交于点F，连接并延长交于点G．

(1)求证：；
(2)求证：G为的中点．
4.定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成．
任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________．
任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论：
南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成．
以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善．
如图，在和中，，，．
求证：．
证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
∵，
∴，即点、、B在同一条直线上．
……
【题型4 由HL和全等三角形的性质求线段长度】
1.如图，在中，于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，则 ．

2.如图，在中，，过点A作，连接，点E是边上一点，，过点D作于F，若，则 ．
3.如图，在和中，，，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为，，则的长是 ．

4.如图，在中，，是延长线上的一点，点是的平分线上的一点，，过点作于点，于点．
(1)求证：
(2)若，，求的长．
【题型5 由HL和全等三角形的性质求角度】
1.如图，已知，，与相交于点G．求的度数．
2.如图，，，垂足分别为D，C，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
3.如图，在四边形ABCD中，，，点E是上一点，若，，则的度数为 ．
4.如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 由HL和全等三角形的性质进行证明】
1.已知：平分，点A，B分别在边，上，且．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，当时，作于点C．求证：．
2.如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：．
3.如图，中，，点A在直线上，，，垂足分别为点，，求证：．
4.在中，，点在边上，过点作于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在边上，连接，使，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作，交边于，点是中点，求证：是等边三角形．
【题型7 由HL解决坐标系中的全等问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限，且，过点C作轴于点D，．求点C的坐标．
2.如图，在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标是 ．

3.如图，在直角坐标系中，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为点，，取的中点，连接，作点关于直线的对称点，直线与交于点，则直线的函数表达式为 ．

4.已知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，如果要使与全等，且C、D不重合，那么点D的坐标是 ．
【题型8 直角三角形的性质】
1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．

2.如图，在中，，点E，F分别为上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点A落在点处，，分别交边于点M，N．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，将绕点逆时针旋转得到，，，．连接，则的长为 ．
4.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为 ．
【题型9 直角三角形的判定】
1.下列条件中，能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
3.如图，中，．
(1)试说明是的高；
(2)如果 ，求的长．
4.号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【题型10 互逆命题】
1.下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
D．两直线平行，同位角相等
2.“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
3.把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为： ．
4.命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ．
参考答案
【题型1 添加条件利用HL证明直角三角形全等】
1.
【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．
【详解】证明：在和中，
，
∴．
故答案为：．
2.A
【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴若添加，无法证明，A选项符合题意；
若添加，可根据证明，B选项不符合题意；
若添加，可根据证明，C选项不符合题意；
若添加，可根据证明，D选项不符合题意；
故选：A．
3.
【分析】根据直角三角形全等的判定解决此题．
【详解】解：添加：．
理由如下：
在和中，
∴≌（）．
故答案为：．
4.D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：①，，加上，可利用证明；
②，，可利用证明；
③，，加上，可利用证明；
④，，加上，可利用证明．
所有正确的个数是4个，
故选：D
【题型2 判定三角形全等的依据】
1.A
【分析】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断．
【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
故选：A．
2.C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵在和中
，
∴.
故选：C.
3.C
【分析】已知，题中隐含，根据即可证得．
【详解】解：∵，
∴在和中，
，
∴，
故选：C．
4.
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由题意可得，再利用即可证明．
【详解】解：由题意可得：，
在和中，
，
∴，
∴由画法得的依据是，
故答案为：．
【题型3 由HL证全等】
1.（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
2.（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴；
（2）在中，
∵，
由（1）可知，
3.（1）证明：在和中，
；
（2），
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
G为的中点．
4.解：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等；
（2）证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧．
∵，
∴，即点、、B在同一条直线上．
∵
∴
∴．
【题型4 由HL和全等三角形的性质求线段长度】
1.
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，面积法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．由勾股定理可求出的长，由证明，得到，，证明出是边上的高，再利用面积法可求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
在中，
∵，
∴由勾股定理，得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∵，，，
∴．
故答案为：．
2.3
【分析】如图，过作于，证明，，可得，再进一步解答可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴，
故答案为：
3.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
在和中，
，
∴
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
4.（1）证明：∵，，
∴，
∴和是直角三角形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为1．
【题型5 由HL和全等三角形的性质求角度】
1.．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作于点M，过点D作于点N，利用等腰三角形的性质和含30度直角三角形的特征，证明，设，则，，进而得出，再由三角形外角的性质，即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作于点N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.（1）证明：，，
，
，则，
，
，
∴．
（2）解：，，
，
，
．
的度数为．
3.
【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到，，再根据可以判定，从而可以得到，然后即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4.B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。
【详解】解：分别过、两点作，于点、，
∵在和中，
∴
∴
∵，
∴
故选：．
【题型6 由HL和全等三角形的性质进行证明】
1.（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，作于点D，

∵于点C，平分，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
2.证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴、是直角三角形，
在和中，，
∴，
∴．
3.证明： ，
，
，，
，
在和中，
，
，
在中，，则，
，
．
4.（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解∵，，，
∴．
，
，
，
．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵点G是中点，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
【题型7 由HL解决坐标系中的全等问题】
1.
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，坐标与图形．
证明，得，继而求得，，再根据点C在第二象限内，即可得出点C坐标．
【详解】解：轴，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
点C在第二象限，
．
2.
【分析】利用证明，得到，则．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3.
【分析】根据题意可得，，根据轴对称的性质可证明，设，则，根据勾股定理求出x，即得点Q的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵点，
∴，
∵点P为中点，
∴，，
∵点关于直线的对称点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
∴，
解得，
∴，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
∴直线的函数表达式为；
故答案为：．

4.或或
【分析】根据题意画出图形，如图所示，根据三角形全等的性质和A、B、C三个点的坐标不难求出，，．
【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：

∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴轴，
∵当时，点C到的距离等于点到的距离，
∴点到的距离为，
∴点的横坐标为4，
∵，，，
∴，
∴，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为；
当时，点与C关于对称，
∴点的坐标为；
当时，，此时点与关于对称，
∴点的坐标为；
综上分析可知，符合条件的点D的坐标为或或．
故答案为：或或．
【题型8 直角三角形的性质】
1.21
【分析】根据勾股定理即可解答．
【详解】解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
2.A
【分析】本题考查了翻折变换，邻补角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3.
【分析】此题考查旋转的性质、勾股定理等知识，由旋转得，，根据勾股定理可以求出的长．
【详解】解：由旋转可知：，
，
由旋转得，
，，
，
的长为．
故答案为：．
4. 或
【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
【详解】解：①如图1，
等腰三角形为锐角三角形，
∵，
∴，
即顶角的度数为．
②如图2，
等腰三角形为钝角三角形，
∵，
∴，
∴．
故答案为：或．
【题型9 直角三角形的判定】
1.C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【详解】解：A、∵，不是直角三角形，故该选项不符合题意；
B、∵，故不能判定是直角三角形，故该选项不符合题意；
C、∵，即，∴，∴能判定是直角三角形，故该选项符合题意；
D、∵，，故能判定不是直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2.234
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．连接，勾股定理求得的值，进而根据，求得，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴,
∵，，
∴,
∴是直角三角形，且．
∴四边形的面积
．
3.（1）∵
∴
∵
∴
∴是直角三角形，即，
∴是的高；
（2）∵
∴，
∵，
∴．
4.（1）解：海港受台风影响，
理由：，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港C受台风影响；
（2）解：当 时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为千米/小时，
(小时)．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【题型10 互逆命题】
1.D
【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可．
【详解】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立；
B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；
C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立；
D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，
故选D．
2.A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
3.如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等
【分析】本题考查逆命题及命题的扩充改写．先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充．
【详解】解：命题“等边对等角”的逆命题改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等；
故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等．
4.在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数
【分析】本题考查了写出命题的逆命题，根据题意写出命题的逆命题即可．
【详解】解：命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数，
故答案为：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数．