九年级数学下册人教版 第27章《相似》章节测试卷（含解析）

第27章《相似》章节测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中， 是边上一点， 添加下列条件， 不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，，，且．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在点处去观测外的位于点处的一棵大树（），所用工具为一个平面镜和必要的长度测量工具（、、在一直线上）．已知王刚身高（），大树高，将平面镜放置在离王刚（ ）处才能观测到大树的顶端．

A． B． C． D．
5．如图，点是矩形的边上的一动点，矩形的两条边、的长分别是3和4，则点到矩形的两条对角线和的距离之和是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
6．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ）

A．18 B．12 C．24 D．9
7．如图，在中，平分，按如下步骤作图：
第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、；
第二步，连接分别交、于点、；
第三步，连接、．
若，，，则的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对于三人的观点，下列说法正确的是（ ）

A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对
C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对
9．如图，，，，点E在边上运动（不与端点重合），边始终过点A，交于点G，当是等腰三角形时，的面积是（ ）．
A．8或 B．8 C． D．6或
10．如图，在梯形中，，，，，对角线、交于点．当边的长度发生变化时，下列说法中正确的是（ ）
A．点到边的距离不变 B．点到边的距离不变
C．点到边的距离不变 D．点到边的距离不变
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段的黄金分割点，也是线段的黄金分割点，则 ．
12．如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ．
14．如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：

（1）已知，则 （用含的代数式表示）；
（2）若，则的长为 ．
15．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．

16．如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形．如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，为边上一点，连接，且．求证：
(1)；
(2)．
18．（6分）已知线段a，b，c满足，且．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
19．（8分）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．
20．（8分）如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，
(1)求证：；
(2)若，求线段长．
21．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，在边上找一点，使．
(2)在图②中，在边上找一点，在上找一点，使，且．
(3)在图③中，在内找一点，分别连结，，使、、的面积相等．
22．（8分）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．
(1)当动点运动时间 秒时，与相似．
(2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
23．（8分）问题探究：
(1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为 　 　
(2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；
问题解决：
某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝300米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）
参考答案
选择题
1．B
【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．
【详解】解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意；
B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；
C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；
D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、根据题意可知，，，由两角对应相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、根据题意可知，，，根据两边成比例夹角相等两三角形相似可得，故本选项不符合题意；
、由条件无法判断，故不能判定，该选项符合题意；
故选：．
3．D
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可．
【详解】由勾股定理得，
，，
，，
，
，
，
解得，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴将平面镜放置在离王刚处才能观测到大树的顶端．
故选：B．
5．D
【分析】此题主要考查了矩形的性质与相似三角形的综合运用，利用三角形的相似求线段长度是初中阶段重点知识，熟练掌握是解此题的关键．过点作，，由矩形的性质可证和，根据和，即和，两式相加得，即为点到矩形的两条对角线和的距离之和．
【详解】解：过点作，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，
∴，
∴，
即为点到矩形的两条对角线和的距离之和是：．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、，
∴ 且相似比为，
∴的面积的面积，
∵的面积是6，，
∴的面积为24，
故选：C
7．D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，证明出四边形的形状是解题关键．根据作法可知：是线段的垂直平分线，再根据等边对等角的性质，得出，，证明四边形是菱形，得到，然后由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出的长．
【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线，
，，
，
平分，
，
，
，
同理可得，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
故选：D．
8．C
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断．
【详解】解：如图所示，

据题意得：，，，
∴，，
∴，
∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确．
乙：设原矩形边长为，．
向外扩张一个单位后边长变为，．
则
∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确；
丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，
故丙正确，
故选：C．
9．A
【分析】首先由，且，可得，当与去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，且，
∴，
∴；
∵，
∴，
即：，
当时，
在与中，
∴，
∴，
∴，
作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
当时，则，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10．A
【分析】先证得，，则，，过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，证明得，由此可对选项进行判断；证明得，由此可对选项进行判断；根据，得，由此可对选项进行判断；设，则，，则，，进而得，根据可得，由此可对选项进行判断．
【详解】解：四边形为梯形，，，，
，
，
，，
，，
过点作于点，过点作，的延长线交于，于，过点作于，如图所示：
，
，
，
，
即．
，
点到边的距离不变，
故选项A正确，符合题意；
，，
，
又，的延长线交于，
四边形为矩形，
，，
，
，
即，
，
当边的长度发生变化时，随的变化而变化，
故选项B不正确，不符合题意；
，，
，
当边的长度发生变化时，随的变化而变化，
故选项D不正确，不符合题意；
设，则，，
，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
即，
整理得：，
当边的长度发生变化时，随的变化而变化，
故选项C不正确，不符合题意．
故选：A．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据题意可得：，从而利用等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵将的圆周分成五等份，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的黄金分割点，
∴，
∴
故答案为：．
12．4
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，利用三角形相似的性质可求得，同理求得，它们的差即为所求答案．
【详解】线段被截成三等份，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：4．
13．8或
【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
．
当时，，
，
，
当时，，
，
，
以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或．
故答案为：8或．
14．
【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到，推出，即可得到答案；
（2）根据旋转的性质证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出答案．
【详解】解：（1）点B的对应点恰好落在点O处，
，
，
由旋转的性质可知，，
，
；
（2）由旋转的性质可知，
，B，O，D，E四点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；．
15．
【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：过点B作交于H，
∴
∴，

∵，E是边上的中点，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，即
∴,
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
16．5
【分析】此题先求出已知三角形的三边关系，在格点中分别找到对应成比例的面积最大和面积最小的三角形，通过相似三角形面积比为相似比的平方直接求解即可．
【详解】由图可知，，
，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，可如图所示作出， ，
，，
同理可得，，
且
综上所述：
故答案为：5
三．解答题
17．（1）证明：∵，，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明，如图，延长交于，
∵平分，，
∴，平分，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
18．（1）解：设，，，
∴，即，
解得：，
∴，，；
（2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
19．解：如图，设与的交点为H，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（1）证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵ ，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴线段长为5．
21．（1）解：点即为所求；
（2）解：点、即为所求；
（3）解：的面积为：，
、、的面积相等，
、、的面积都为：，
的高为：，的高为：，
∵，
∴，且相似比为，
，
点即为所求.
22．（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，， ；
1）当，即时，
；
，即，
．
２）当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似．
故答案为：或．
（2）如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，， ；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
23．（1）如图1中，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∵S△ABE＝16，
∴S△CDE＝4．
故答案为：4．
（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．
∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，
∴S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC BE＝3AC＝3（x+y），
∴x+y的值最小时，矩形的面积最小，
∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCE，
∴△AEB∽△BEC，
∴，
∴BE2＝AE EC，
∴xy＝9，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴x2+2xy+y2≥4xy
∴（x+y）2≥4xy，
∴（x+y）2≥36，
∴x+y≥6，
当x+y=6时，S矩形ABCD有最小值，最小值为
（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵BP＝BT，∠PBT＝60°，
∴△PBT是等边三角形，
∴PB＝BT＝PT，
∵AB＝300米，
∴PA＝100（米），PB＝200（米），
∴PT＝BT＝200（米），
∵∠APN＝∠APM+∠MPN＝∠PBN+∠PNB，∠MPN＝∠PBN＝120°，
∴∠APM＝∠PNB，
∵∠A＝∠T＝60°，
∴△PAM∽△NTP，
∴，
∴，
∴，
设总费用W万元，
则 ，
∵，
∴，
∴W≥6000，最小值为,
故建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用6000万元．