2024-2025学年湖北省荆荆宜襄·四地七校联盟高一下期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省"荆荆宜襄·四地七校联盟"高一下期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.方程的根所在的区间为．
A. B. C. D.
3.已知，，，则
A. B. C. D.
4.已知，均为第二象限角，，，则等于
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知偶函数在上单调递增，若，，，则
A. B. C. D.
7.设函数，若函数在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，分别是内角，，所对的边，若，则角的大小为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是
A. 若，则
B. 复数的虚部为
C. 若，则方程在复数集中的解集为
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形的面积为
10.在中，内角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是
A. 若，则为锐角三角形
B. 若 ，则为等腰三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，，且有且仅有一个解，则
11.将函数的图象按照以下顺序进行变换：向左平移个单位长度；横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍；向下平移个单位长度，可得到函数 的图象．则下列结论正确的是
A. 函数的解析式为
B. 函数的对称中心为
C. 若，则的取值范围为
D. 若方程在内恰有两个根，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数且的图象过定点________．
13.折扇，又称“怀袖雅物”如图，这是折扇的平面示意图，其中，，，则此扇面扇环的面积为________．
14.在中，点是的中点，点满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，为虚数单位，且是纯虚数．
求实数的值．
求的值．
16.本小题分
已知，，且．
求与的夹角．
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数，
若，，求和结果用，表示．
求不等式的解集．
若，都有成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
在锐角中，，，分别是内角，，所对的边，若，且．
求角的大小．
求的取值范围．
19.本小题分
如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，分别为，正方向同向的单位向量，若向量，记向量在的斜坐标系中，
若向量，求．
已知向量，，证明：．
若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，
证明：有且只有一个零点．
比较与的大小，并说明理由．参考数据：，
参考答案
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15.解：
，
为纯虚数，
且，
；

16.解：，；
；
；
；
；
；
因为与的夹角为钝角，
，即，
，解得，
令，则，解得，
综上所述，且，故的取值范围为．
17.解：，
，，
，
．
当时，得，
，，．
当时，，
，
，，
综上，的解集为．
，，
令，
，
，，
，
又单调递增，，
，都有，
即，，
综上，的取值范围为．
18.解：因为，
，
，
，，
，而，
，
由正弦定理得：
B.
，，
，，
因为为锐角三角形，．
由余弦定理得：，
，
又由正弦定理得：
，
为锐角三角形，
，
，，
，

19.解：，，
又，，，
，
；
，，
，，
；
由知，
，
，，
当时，单调递增，
，，，
，
又，，
，使得，故在上有个零点．
当时，，，，在上没有零点．
当时，，，，在上没有零点．
综上，在定义域内有且仅有一个零点．
理由如下：
由知得，
在上单调递减，
所以，即，所以．
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