2024-2025学年江苏省连云港市灌南县高一下学期4月期中调研考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港市灌南县高一下学期4月期中调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.从名老师中任选人分别参加演讲比赛和粉笔字比赛，共有种不同的选法．
A. B. C. D.
3.已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.在某班进行的歌唱比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生．如果位男生不能连着出场，那么出场顺序的不同排法种数为( )
A. B. C. D.
5.已知口袋中有个黑球和个白球除颜色外完全相同，现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球情况下，第三次又摸到白球的概率为( )
A. B. C. D.
6.设随机变量X~B(2,p),若P(X1)=,则p的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知的展开式中的系数为，则实数( )
A. B. C. D.
8.三棱锥中，，，，，点是面内的动点不含边界，，则异面直线与所成角的余弦值的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
10.有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点出发，通过扔骰子决定向左或者向右移动，扔出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位，若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则扔出次骰子后，下列结论正确的是( )
A. 第二次扔骰子后，小球位于原点的概率为
B. 第三次扔骰子后，小球所在位置是个随机变量，则这个随机变量的期望是
C. 第五次扔完骰子，小球位于的概率大于小球位于概率
D. 第一次扔完骰子小球位于且第五次位于的概率
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件满足，则 ．
13.经统计，在渝东六校联考中，高二数学成绩单位：分服从正态分布，则任选名参加该次考试的学生，其这次数学成绩在分内的概率约为 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
14.如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在棱长为的正方体中，为的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
已知的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是：．
求展开式中各项系数的和；
求展开式中含的项．
17.本小题分
设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球．
从甲袋中取个球，求这个球中恰好有个红球的概率；
先从乙袋中取个球放入甲袋，再从甲袋中取个球，求从甲袋中取出的是个红球的概率．
18.本小题分
在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．
求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏班主任把除颜色不同外其余均相同的个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各个，红色球与绿色球各个现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记分，黄球每个记分，红球每个记分，绿球每个记分，规定摸球人得分不低于分获胜比赛规则如下：只能一个人摸球；摸出的球不放回；摸球的人先从袋中摸出球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．
若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望；
第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.A
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：如图，
正方体中，为的中点，
连接交于，连接，
根据正方体的性质，知道垂直于上下底面，
且，则两两垂直，
则可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
由于棱长为，则面对角线为，
所以，
则，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为的余弦值为；
根据题意，知道，
显然，
由正方体结构特征知，平面，
则到平面的距离为，
故，
故三棱锥的体积为．
16.解：展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是：，
，
，
取得到各项系数和为．
这个二项式的展开式的通项公式是，
要求含的项，只要使得的指数，求得，
含的项为．
17.
18.解：Ⅰ，是的中点，
以为原点，分别以，为，轴，过点作平面的垂线为轴，如图建立坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量，
则
取，
所以，
设平面的一个法向量，
则
取，，，
所以，
，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
Ⅱ解：在棱上存在一点，
设且，，
，，，
，
若直线与平面所成的角为，
则
．
解得，
所以符合条件的点存在，为棱的中点．
19.解：记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，
因为球的总分为，即事件指的是甲的得分大于等于，
则甲再从袋子中摸出两个球，摸出了个白球个红球或一个黄球一个红球或个黄球，
所以．
如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出个小球，则得分情况有：分、分、分、分、分、分，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望．
由第问知，若第一次摸出来绿球，则摸球人获胜的概率为，
由第问知，若第一次摸出了红球，则摸球人获胜的概率为，
若第一次摸出了黄球，则摸球人获胜的概率为，
若第一次摸出了白球，则摸球人获胜的概率为，
则摸球人获胜的概率为，
所以比赛不公平．

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