2024-2025学年河南省部分名校高二4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省部分名校高二（下）4月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.名同学去个十字路口作交通协管志愿者，每名同学可自由选择个十字路口，不同选择方法的种数是
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线斜率为
A. B. C. D.
3.设函数，则
A. B. C. D.
4.体育课上，四组同学进行篮球训练．现将个篮球进行分配，每个组都分到篮球的分配方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知函数，，则的最小值为
A. B. C. D.
6.投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上的点数为奇数的条件下，第二次正面朝上的点数大于的概率为
A. B. C. D.
7.在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为，，，且这三人是否能按时正确解答该题相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为，则
A. B. C. D.
8.设函数若函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有张和方块有张．从中不放回地抽取次，每次抽取一张，则下列说法正确的有
A. 第二次抽到黑桃的概率为
B. 在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为
C. 若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为
D. 设抽到黑桃的次数为，则
10.下列说法中，正确的有
A. 的展开式中，的系数是
B. ，则
C. 用数字，，，，组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为
D. 随机变量的分布列为，，则
11.已知函数，则下列说法正确的有
A. 若曲线在点处的切线方程为，则
B. 若，则函数在上单调递增
C. 若，则函数在上的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则的单调递增区间为_________．
13.某学校组织乒乓球比赛，采取局胜制．甲、乙两同学进行淘汰赛，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是_________．
14.函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程是．
求函数的解析式；
求函数的单调区间．
16.本小题分
某次物理考试后，学校随机抽取了名参加本次考试的学生的成绩单位：分，得到如图所示的频率分布直方图．
求直方图中的值；
为进一步调查学生每天学习物理的时间，从样本采用比例分层抽样从成绩在，内的学生中抽取人，再从中任选人进行调查，求抽到成绩在内的人数的分布列和数学期望．
17.本小题分
某超市举办购物抽奖活动，顾客根据购物金额，获得抽奖次数．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，购物顾客每次从甲、乙、丙三个抽奖箱中随机选一个抽奖箱抽取一张奖券．已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响．
已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙三个抽奖箱中各抽取一次，中奖三次获得金额元的代金券，中奖两次获得金额元的代金券，其他情况没有奖励．
方案二：从甲抽奖箱中抽取三次，中奖三次获得金额元的代金券，中奖两次获得金额元的代金券，其他情况没有奖励．
计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适．
若某顾客有一次抽奖机会，他等可能地选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若，求在区间上的最小值．
19.本小题分
已知函数
若，求函数的极值；
求证：．
参考答案
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15.解：由题意可知，
由，则，
已知函数图像在处的切线方程是，即，，
所以，．
解得，，
所以函数的解析式为．
由可知，的解析式为
则，
令，解得或，
令，解得或，
则函数在和上单调递增
令，解得，则函数在上单调递减，
16.解：由题意，得解得．
由题意，抽取的人中，成绩在，的学生人数分别为，
，则的可能取值为，，，．
，
，所以的分布列为
所以的数学期望．
17.解：方案一中，中奖三次的概率为，
中奖两次的概率为，
所以获得代金券金额的期望为；
方案二中，中奖三次的概率为，
中奖两次的概率为，
所以获得代金券金额的期望为，
因为，所以该顾客选择方案一比较合适．
设事件为“顾客选择甲抽奖箱”，事件为“顾客选择乙抽奖箱”，事件为“顾客选择丙抽奖箱”，事件为“抽取的奖券中奖”，
由题意得，
，，，
，
，
所以已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率．
18.解：当时，，
，
当或时，，当时，，
在处取得极大值，在处取得极小值，
即，；
，，
令，解得或，
当时，则当或时，，
当时，，
的单调增区间为，，单调减区间为；
若，即时在上单调递减，
在上的最小值为，
若，即时，在单调递减，在单调递增，
在的最小值为，
．
19.解：若，则，，所以，．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增．
又，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，，无极大值；
证明：，定义域为，
．
令，，
则在上恒成立，
所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以成立．
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