2024-2025学年江苏省南京市五校联盟高二下学期4月期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市五校联盟高二下学期4月期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有种排法？
A. B. C. D.
5.被除的余数为( )
A. B. C. D.
6.已知点，直线过原点且平行于向量，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点包括边界，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，已知正方体的棱长为，分别为棱的中点，则下列结论正确的为( )
A. B.
C. D. 不是平面的一个法向量
10.现安排甲、乙、丙、丁、戊这名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是( )
A. 若每项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
B. 不同安排方案的种数为
C. 若司机工作不安排，其余三项工作至少有人参加，则不同安排方案的种数为
D. 若每项工作至少有人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
11.已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.方程的解为 ．
13.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为 ．
14.已知，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知道试题中有道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取道，求：
甲抽到选择题的概率；
在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为的中点．
证明：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知在的展开式中，第项与第项的二项式系数之比是．
求展开式中的常数项，并指出是第几项；
求展开式中的所有有理项．
18.本小题分
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，点是棱的中点，点在棱上．
若，证明：平面；
若二面角的正弦值为，求的长．
19.本小题分
已知函数，．
若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
讨论的单调性；
当时，，求的取值范围．
参考答案
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15.解：设事件为“甲抽到选择题”，事件为“乙抽到选择题”．
道试题中有道选择题，
甲、乙两人依次不放回地抽取道，
甲抽到选择题的概率为：．
在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率为：
．
16.解：证明：由直三棱柱的性质可知，
因为，
所以，，
又因为四边形为平行四边形，
，所以四边形为正方形，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为，
所以，
因为，
所以，
又因为平面，
所以平面；
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以
取，则，，
所以，
设点到平面的距离为，
则，
所以点到平面的距离为．
17.解：依题意可得第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
所以，即，则，
或舍去，
；
所以展开式的通项为：，
令，解得，
所以为常数项，所以常数项为，为第项；
由知，
令，则，，，，
当时，
当时，
当时，
当时，
故有理项为，，，．
18.证明：取的中点，连接，，
在四棱台一中，四边形是梯形，，，
又点，分别是棱，的中点，
所以，且，
在正方形中，，，
又，所以，
从而，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
在平面中，作于，
因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
在正方形中，过作的平行线交于点，
因为，所以，
又因为，平面，平面，所以，，两两垂直．
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
因为四边形是等腰梯形，，，
所以，又，由勾股定理可得，
故各点坐标为，，，，，
所以，，，
设，
所以，
设平面的法向量为，
由，得，令，可得，
而平面为平面，故轴与平面垂直，可取平面的一个法向量为．
设二面角为，则，
又由，所以，
解得由于点在之间故舍去为负的情况，因此，，
所以当二面角的正弦值为时，的长为．
19.解：因为，所以，
所以，
又在处的切线与直线垂直，所以，
即，所以．
，．
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，得，又，所以．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由，得在上恒成立．
令，，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则在上恒成立．
令，，
则
．
因为，所以，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是．

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