28.1 锐角三角函数（第二课时）分层作业
基础训练
1．中，的对边分别为．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍
C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小
6．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，、、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．某滑梯示意图及部分数据如图所示．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，如果，那么 ．
12．锐角α满足，则 ．
13．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ．
15．如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
能力提升
1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．如果等腰三角形的腰与底边的比是，那么底角的余弦值等于 ．
3．如图矩形在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，，，则点D的坐标 ．
4．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是 ．
拔高拓展
1．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
(1)求BD的长；
(2)连接AD，求∠DAC的余弦值．
2．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
(1)求证：△CEF≌△ADF；
(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
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基础训练
1．中，的对边分别为．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
【详解】解：在中，
，
，
，
是直角三角形，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
2．在中，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴可设，
∴，
A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．如图，在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理可求出的值，再根据余弦的计算方法求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，余弦值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
4．在中，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据各个三角函数的定义即可解答．
【详解】解：A、∵，∴，故A不成立，不符合题意；
B、，∴，故B成立，符合题意；
C、，∴，故C不成立，不符合题意；
D、，∴，故D不成立，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，解题的关键的数量掌握各个三角函数的求法．
5．在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍
C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小
【答案】C
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角的三角函数值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．
6．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合图形利用正切函数求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴，
故选C．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
7．如图，在中，，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
8．在中，、、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由勾股定理求出，再由正切的定义完成求解．
【详解】解：由勾股定理知：
，
，
故答案选：A．
【点睛】本题考查勾股定理和正切的定义，准确求解是解题的关键．
9．在△ABC中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义，知，设BC=x，AC=2x，根据勾股定理可求得AB，再根据三角函数的定义就可以求出的值．
【详解】解：在△ABC中，，
∵，
∴设BC=x，AC=2x，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边．
10．某滑梯示意图及部分数据如图所示．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，，，求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用．
11．在中，，，如果，那么 ．
【答案】
【分析】根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键．
12．锐角α满足，则 ．
【答案】/
【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，，，，则，
由于，可设，则，
所以，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，理解锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
13．如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则 ．
【答案】
【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图，过作于，
∴，
∵小正方形的边长为，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）1；（2）
【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；
(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．
【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，
∵为垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
(2)设，∴，
又∵，∴，
在中，．
∴．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角函数的定义及勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等是解决本题的关键．
能力提升
1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
2．如果等腰三角形的腰与底边的比是，那么底角的余弦值等于 ．
【答案】
【分析】如图，中，根据等腰三角形的腰与底边的比是，设腰长为，底边长，作于E，则，在中，根据，即可解决问题．
【详解】解：如图，中，
∵等腰三角形的腰与底边的比是，
设腰长为，底边长，
作于E，
∴，
在中，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键．
3．如图矩形在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，，，则点D的坐标 ．
【答案】
【分析】由矩形的性质可知，再利用，解直角三角形得，，进而可得，即可求得点的坐标．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴
∵，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，图形与坐标，熟练掌握相关性质及牢记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
4．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝，则折痕AE长是 ．
【答案】
【分析】由折叠的性质得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性质得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由解得AB的值，由勾股定理得AF，知AD，CF的值，设EF＝DE＝xcm，则CE＝AB﹣DE＝（8﹣x）cm，然后在Rt△EFC中，由勾股定理求出x的值，在Rt△ADE中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得：AF＝AD，EF＝DE
∵四边形ABCD为矩形
∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵
∴
由勾股定理得（cm）
∴AD＝BC＝10（cm）
∴CF＝BC﹣BF＝4（cm）
设EF＝DE＝xcm，则CE＝（8﹣x）cm
在Rt△EFC中，由勾股定理得x2＝42+（8﹣x）2
解得：x＝5
∴DE＝5cm
在Rt△ADE中，由勾股定理得（cm）
故答案为：cm．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切．解题的关键在于找出线段的数量关系，多次运用勾股定理求解．
拔高拓展
1．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．
(1)求BD的长；
(2)连接AD，求∠DAC的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AB和AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；
（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．
【详解】（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：
∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，
∴AB＝＝＝2，
∵AB AC＝BC AH，
∴AH＝＝＝，
∴BH＝＝＝，
∵AH⊥BD，
∴BH＝HD＝，
∴BD＝；
（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：
由（1）得：AH＝，BD＝，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6﹣＝，
∵AH CD＝DM AC，
∴DM＝＝＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝＝＝，
∴cos∠DAC＝＝＝．
【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
2．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．
(1)求证：△CEF≌△ADF；
(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)tan∠DAF＝
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；
（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，
根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，
∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，
在△CEF与△ADF中，
，
∴△CEF≌△ADF（AAS）；
（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝x，
∴∠DCA＝∠BAC，
根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AF＝CF＝8﹣a，
在Rt△ADF中，
∵AD2+DF2＝AF2，
∴x2+a2＝（8﹣a）2，
∴a＝，
∴tan∠DAF＝＝．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．
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