28.1 锐角三角函数（第三课时） 分层作业
基础训练
1．的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．
【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故选 B．
【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．
2．在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴ABC一定是等腰直角三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．
3．下列三角函数的值是的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】A、＝，符合题意；
B、＝，不符合题意；
C、＝，不符合题意；
D、＝，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．的值等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键．
5．在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】在直角三角形中，求出的度数，即可求．
【详解】解：如图所示，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
6．如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
【答案】C
【详解】∵sinA=cosB=，
∴∠A=∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：C．
7．下列计算错误的个数是（ ）
①； ；③；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定．
【详解】解：，，
，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
，，
，故④正确；
综上分析可知，错误的有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝ ．
【答案】
【分析】根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．
【详解】解：∵，
∴∠A＝60°，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
9．计算： ．
【答案】－2
【分析】先根据二次根式、负整数指数幂、特殊三角函数值、0指数幂进行化简，再计算即可．
【详解】原式=．
故答案为：－2．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据二次根式、负整数指数幂、特殊三角函数值、0指数幂进行化简．
10．在中，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】利用特殊角的三角函数值得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：在中，，，
，
则
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
11．计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
【答案】3
【分析】代入特殊角的三角函数值，按照实数的混合运算法则计算即可得答案．
【详解】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2
=2×-2++1-2+4
=-2++1-2+4
=3．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂及二次根式的性质与化简，熟练掌握实数的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12．计算：．
【答案】0
【分析】先计算特殊角的三角函数值，再计算绝对值、负整数指数幂、开方，最后计算加减．
【详解】解：，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数、绝对值、负整数指数幂、开方等混合运算能力，解题的关键是能对以上运算准确求值，并按正确顺序进行运算．
13．先化简再求值：其中.
【答案】
【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可.
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键.
能力提升
1．下列运算中，值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值和二次根式的混合运算法则逐项计算，即可判断．
【详解】，故A符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
2．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（） B．（﹣） C．（﹣） D．（﹣）
【答案】B
【分析】先根据特殊三角函数值求出M点坐标，再根据对称性解答．
【详解】解：∵sin60°＝，cos60°＝，
∴点M（﹣）．
∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），
∴M关于x轴的对称点的坐标是（﹣）．
故选：B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据判别式的意义得到Δ=，从而可求出α的正弦值，然后根据特殊角的三角函数值确定α的度数．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=，
解得：sinα=，
∵α为锐角，
∴α=30°．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了特殊角的三角函数值．
4.定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
5．如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则 ．（填“”“”“”）
【答案】
【分析】根据正切的概念和正方形网格图求出tanα和tanβ，根据等腰直角三角形的性质和tan45°的值求出tan（α＋β），比较即可．
【详解】由正方形网格图可知，tanα＝，tanβ＝，
则tanα＋tanβ＝＋＝，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴α＋β＝45°，
∴tan（α＋β）＝1，
∴tan（α＋β）＞tanα＋tanβ，
故答案为：＞
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特殊角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
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基础训练
1．的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．在ABC中， ，则ABC一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3．下列三角函数的值是的是（ ）．
A． B． C． D．
4．的值等于（ ）
A．1 B． C．3 D．
5．在中，，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
6．如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）
A．△ABC是直角三角形 B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是锐角三角形
7．下列计算错误的个数是（ ）
①； ；③；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝ ．
9．计算： ．
10．在中，，，则的值为 ．
11．计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
12．计算：．
13．先化简再求值：其中.
能力提升
1．下列运算中，值为的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．点M（﹣sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（） B．（﹣） C．（﹣） D．（﹣）
3．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4.定义一种运算；，．例如：当，时， ，则的值为 ．
5．如图，的三个顶点分别在边长为的正方形网格的格点上，则 ．（填“”“”“”）
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