28.1 锐角三角函数（第一课时）分层作业
基础训练
1．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在中，，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．
【详解】解：∵中，，，，
∴,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
2．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
3．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数正弦的定义即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查正弦，解题的关键是熟知：在直角三角形中，任意一锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作．
4．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．
【详解】解：如图，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．
5．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接（图先详解），构造直角三角形，利用直接求出的值．
【详解】解：如图，连接，
由网格可得出，
则，，
故．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解三角函数的定义并能构造直角三角形是解决本题的关键．
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
8．如图，在中，，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.
【详解】解：∵sinB==0.5，
∴AB=2AC，
∵AC=6，
∴AB=12，
∴BC==，
故选C.
【点睛】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB的长.
9．如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为 ．
【答案】/0.6
【分析】根据圆周角定理得出∠BCD=∠BAD，在网格中利用勾股定理可得AB，利用等角的正弦值相同即可得出结果．
【详解】解：由图可得∠BCD=∠BAD，
在 ABD中，AD=4，BD=3，
∴AB=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理、解三角形及正弦的定义，解题的关键是理解题意，综合运用这些知识点求解．
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
【答案】AC=4，sinA=
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴．
．
【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．
能力提升
1．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为( )
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
在中，，，
∴，
根据作图可得是的角平分线，
∴
设，
∵
∴
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
2.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
【答案】C
【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点C坐标代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
∵菱形OABC的边OA在x轴上，点，
∴，
∵．
∴，
∴
∴点C坐标
∵若反比例函数经过点C，
∴
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点C坐标．
3．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线，分别交、于点D、E，连接，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，AE=CE，DE是的高，根据锐角三角函数得，即可得，过点B作，交AC于点F，根据锐角三角函数得，即可得，用的面积减去的面积即可得．
【详解】解：由题意得，DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，DE是的高，CD=DA=，
∴，
∴，
如图所示，过点B作，交AC于点F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点并能想到用的面积减去的面积即可得的面积．
4．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为 ．
【答案】3
【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．
【详解】解：在中，
在矩形中，
故答案为：3．
【点睛】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．如图，在的外接圆中，，，点E为的中点，则的直径为 ．
【答案】//2.5
【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，根据正弦函数可求得半径，即可求解．
【详解】解：连接，则，
∵点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的直径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正弦函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
6．如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．
【答案】5
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
根据折叠可知，可知，，
则，在中，，则，
∴，则，
设，则，
在中，，即：，
解得：，
即：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．
7．如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为28，面积为40，．求：
(1)的长；
(2)的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由，求出，，再根据平行四边形面积公式求解即可；
（2）先证明，在中，，则．
【详解】（1）解：∵平行四边形中，，，平行四边形的周长为28，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵在四边形中，，，，
∴，
又∵在平行四边形中，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，求角的正弦值，四边形内角和定理等等，熟知平行四边形的性质是解题的关键．
拔高拓展
1．如图，在四边形中，，平分．若，，则 ．
【答案】
【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【详解】解：过点作的垂线交于，
，
四边形为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
2．如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90，
∴GE=，
根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90，
∴BG=GF=GC=4，
∴BC=AD=8，
∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，
∴∠AGE=90，
∴Rt△EGFRt△EAG，
∴，即，
∴，
∴DE=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
3．如图，直线与轴交于点，与直线交于点．求：
(1)点的坐标；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线解析式即可求得出点的坐标；
（2）过点作轴于点，则，，根据一次函数解析式，令，求得点的坐标，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，联立
解得
∴点的坐标为．
（2）如图，过点作轴于点，则，．
由，解得．
则．
∴．
∴．
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，求正弦，掌握正弦的定义是解题的关键．
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基础训练
1．已知在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定
3．如图，在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在中，，若，则的长为（ ）
A．8 B．12 C． D．
9．如图，在边长为1的正方形网格中，点在格点上，以为直径的圆过两点，则的值为 ．
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
能力提升
1．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为( )
A． B．1 C． D．2
2.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点，．若反比例函数经过点C，则k的值等于（ ）
A．10 B．24 C．48 D．50
3．如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线，分别交、于点D、E，连接，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为 ．
5．如图，在的外接圆中，，，点E为的中点，则的直径为 ．
6．如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．
7．如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为28，面积为40，．求：
(1)的长；
(2)的值．
拔高拓展
1．如图，在四边形中，，平分．若，，则 ．
2．如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则 ．
3．如图，直线与轴交于点，与直线交于点．求：
(1)点的坐标；
(2)的值．
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