29.1 投影（第一课时）分层作业
基础训练
1．（2022上·河南平顶山·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；
B. 影子的方向不相同，故本选项错误；
C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;
D. 影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
2．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，请你将它们按时间先后顺序进行排列（ ）
A．①②③④ B．①③④② C．②①④③ D．④②①③
【答案】D
【分析】根据不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向的改变规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
【详解】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③，
故其按时间的先后顺序为：④②①③．
故选∶D．
【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．
3．（2022上·贵州贵阳·九年级统考期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可．
【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
4．（2023上·河北保定·九年级统考期末）某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．18米
【答案】B
【分析】由太阳光为平行光可知，进而证明，利用相似三角形对应边成比例，即可列式求解．
【详解】解：由题意知，
，
又 ，
，
，即，
，
即旗杆的高度为12米．
故选B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行投影、平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______m．（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得=；即，代入数据可得答案．
【详解】如图：过点C作于D，
由题意得：是直角三角形，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴=；
即，
代入数据可得，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，投影的含义，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．
6．（2022上·山东济南·九年级校考阶段练习）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵杆高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
∴，
∴AB=8米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．
7．（2023上·四川雅安·九年级统考期末）小明的身高比小强身高多了，那么在同一路灯的灯光下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长
【答案】D
【分析】根据中心投影的特点，小强和小明在同一路灯下的影长与他们到路灯的距离有关，虽然小明的身高比小强身高多了，也不能判断谁的影子长或短．
【详解】解：小明的身高比小强身高多了，在同一路灯下他们的影长与他们到路灯的距离有关，所以无法判断谁的影子长．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
8．（2023上·河北保定·九年级校考期末）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把球向下移时，圆形阴影的大小变化情况是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据中心投影的特点，灯光下影子与物体离灯源的距离有关，此距离越大，影子越小．
【详解】解：当把球向下平移时，圆形阴影的大小的变化情况是：越来越小，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的特点是解题的关键．
9．（2023上·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可；
【详解】解：设投影的面积为cm，，cm，
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方．
10．（2022上·辽宁丹东·九年级校考阶段练习）在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路．某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示，则路灯的位置为（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
【答案】B
【分析】根据中心投影的定义，画出图形即可判断．
【详解】解：由题意可得，如下图所示，观察可知路灯应该在b处
故选B．
【点睛】本题考查中心投影，解题关键是理解中心投影定义．
11．（2022下·山东烟台·八年级统考期末）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．
【详解】解：根据题意可知，
，，
，
，即，解得m，
路灯高的长是m，
故选：C．
【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边成比例和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
12．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）校园中一棵树的高度为，下午某一时刻它在水平地面上形成的树影长为，身高的小亮想在树荫下乘凉，那么他最多可以离开树干 才可以不被阳光晒到．（结果保留整数）
【答案】8
【分析】在同一时刻时，树的高度与影长与人的高度与影长成正比列比例式，求出此时人的影长，计算出最多离树干的长度．
【详解】解：设小亮在这个时刻水平地面上形成的影长为，根据题意得：
，
解得：，
即小亮在这个时刻水平地面上形成的影长为，
，
∴他最多可以离开树干才可以不被阳光晒到．
故答案为：8
【点睛】本题考查了平行投影，一个不透明的物体由平行光线形成的投影是平行投影，在平行投影中，同一时刻，物高和影长成正比．
13．（2023上·四川巴中·九年级统考期末）如图，为了测量大树的高度，小明发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，此时小明拿起一根高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长，那么这棵大树高 m．
【答案】13.6
【分析】过点D作于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长，求出，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于点E，如图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：13.6．
【点睛】本题主要考查了影长的有关计算，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，求出．
14．（2022上·福建莆田·九年级校考期末）如图，已知在电线杆上有一个光源，身高的小明站在与电线杆底部距离的点处，其影长，若他沿方向走到达点处，此时他的影长是 ．（图中，均表示小明身高）
【答案】3
【分析】根据题意得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，则经过点，连接并延长交于点H，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
∴，
解得：，
答：此时他的影长是，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比成比例求物体的高度．
15．（2022上·广东佛山·九年级统考期末）如图，在一条马路l上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上，路灯的影子顶部刚好落在点C处．
(1)画出小树在这天早上太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子；
(2)若以上点E恰为的中点，小树高，求路灯的高度．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】(1)连接，过点D作与直线交于点E，连接并延长交直线交于点F，点E、F即为所求的点；
(2)根据相似三角形的判定与性质，即可解答．
【详解】（1）解：如图，、就是所求作的线段．
（2）解：设AB长为，
，
，
，
，
，即，
解得，
故路灯的高度为．
【点睛】本题考查了平行投影作图，熟练应用相似三角形的判定与性质是关键．
16．（2023上·四川雅安·九年级统考期末）如图，李强从距离路灯底部O为20米的点A处沿方向行走10米到达点C处，李强在A处时，他在路灯下的影子为线段．
(1)已知路灯杆垂直于路面，请在图中画出路灯P的位置和李强走到点C处时在路灯下的影子；
(2)若路灯的高度是8米，李强的身高是1.6米，求李强在点C处的影子的长度．
【答案】(1)见解析
(2)李强在点C处的影子的长度为 2.5米
【分析】（1）连接并延长，与过点O且垂直于路面的直线相交于点P，点P即为路灯的位置，连接并延长交路面于点N，即为李强走到点C处时在路灯下的影子；
（2）易得，利用相似三角形对应边成比例列式求出即可．
【详解】（1）解：如图，路灯P，影子即为所求；
（2）解：由题意得：，米，米，则米，
设米．
∵，
∴，
∴，即，
∴，
答：李强在点C处的影子的长度为2.5米．
【点睛】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，解题的关键是掌握如何确定点光源以及相似三角形的判定和性质．
17．（2023上·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，求木杆在x轴上的投影的长．
【答案】
【分析】利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可．
【详解】解：过点P作轴，垂足为M，交于点N，
∵点，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故木杆在x轴上的投影长为．
【点睛】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法．
能力提升
1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度等于 米．
【答案】
【分析】根据题意可知：，当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，由，可得，设，，可得，可得，再根据，可得：，问题随之得解．
【详解】解：如图，根据题意可知：，
∵,
当小明在处时，，
即，
当小明在处时，，
即，
∵身高不变，即，
∴，即，
∵米，米，米，米，
设，，
∴，即，即，
解得：（经检验，此根是原方程的解），
即根据，可得：，
解得，，（经检验，此根是原方程的解），
即路灯A的高度米．
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．
2．（2023上·河北邯郸·九年级校考期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作：
(1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
(2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米，
①甲树的高度为______米，
②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度．
【答案】(1)
(2)米
【分析】（1）根据同一时间竹竿的高度与影长之比等于树的长度与树的影长之比即可求得；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲树的高度为米
根据题意得：
解得：
故答案为：
（2）解：连接并延长交的延长线于，延长交于，连接，
∵米，米，米
∴（米）
∴
∴
∴（米）
∴（米）
答：乙树的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形列出比例式是解题的关键．
拔高拓展
1．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片，叶片影子为线段，测得米，米，此时垂直于地面的标杆与它的影子的比为（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则的高度为 米，叶片的长为 米．
【答案】 10
【分析】作，根据平行线分线段成比例定理可知PC=PD，由EF与影子FG的比为2：3，可得OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论．
【详解】解：如图，过点O作，交于P，过P作于N，则，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：10，．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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基础训练
1．（2022上·河南平顶山·九年级统考期末）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）如图是小红在一天中四个时刻看到的一棵树的影子的图，请你将它们按时间先后顺序进行排列（ ）
A．①②③④ B．①③④② C．②①④③ D．④②①③
3．（2022上·贵州贵阳·九年级统考期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
4．（2023上·河北保定·九年级统考期末）某学习小组测量旗杆高度，并做出示意图：为旗杆，为旗杆的影子，为一位小组成员，为该成员的影子，在同一时刻测得米，米，米，则旗杆的高度为（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．18米
5．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______m．（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2022上·山东济南·九年级校考阶段练习）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
7．（2023上·四川雅安·九年级统考期末）小明的身高比小强身高多了，那么在同一路灯的灯光下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长
8．（2023上·河北保定·九年级校考期末）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把球向下移时，圆形阴影的大小变化情况是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
9．（2023上·山西晋中·九年级统考期末）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022上·辽宁丹东·九年级校考阶段练习）在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路．某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示，则路灯的位置为（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
11．（2022下·山东烟台·八年级统考期末）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）校园中一棵树的高度为，下午某一时刻它在水平地面上形成的树影长为，身高的小亮想在树荫下乘凉，那么他最多可以离开树干 才可以不被阳光晒到．（结果保留整数）
13．（2023上·四川巴中·九年级统考期末）如图，为了测量大树的高度，小明发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，此时小明拿起一根高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长，那么这棵大树高 m．
14．（2022上·福建莆田·九年级校考期末）如图，已知在电线杆上有一个光源，身高的小明站在与电线杆底部距离的点处，其影长，若他沿方向走到达点处，此时他的影长是 ．（图中，均表示小明身高）
15．（2022上·广东佛山·九年级统考期末）如图，在一条马路l上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上，路灯的影子顶部刚好落在点C处．
(1)画出小树在这天早上太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子；
(2)若以上点E恰为的中点，小树高，求路灯的高度．
16．（2023上·四川雅安·九年级统考期末）如图，李强从距离路灯底部O为20米的点A处沿方向行走10米到达点C处，李强在A处时，他在路灯下的影子为线段．
(1)已知路灯杆垂直于路面，请在图中画出路灯P的位置和李强走到点C处时在路灯下的影子；
(2)若路灯的高度是8米，李强的身高是1.6米，求李强在点C处的影子的长度．
17．（2023上·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，木杆两端的坐标分别为，，求木杆在x轴上的投影的长．
能力提升
1．（2023上·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度等于 米．
2．（2023上·河北邯郸·九年级校考期末）某数学兴趣小组的名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作：
(1)测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米（如图1）．
(2)测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为米，一级台阶高为米，落在第一级台阶的影子长为米，
①甲树的高度为______米，
②图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度．
拔高拓展
1．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片，叶片影子为线段，测得米，米，此时垂直于地面的标杆与它的影子的比为（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则的高度为 米，叶片的长为 米．
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