27.1 图形的相似 分层作业
基础训练
1．一个机器零件的长度是8毫米，画在比例尺是的图纸上的长度是（ ）
A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米
2．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列多边形一定相似的是 （ ）
A．两个菱形 B．两个平行四边形 C．两个矩形 D．两个正方形
5．如图，四边形四边形，若 ，，则（ ）
A． B． C． D．
6．把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．1：2
C．3：2 D．：1
8．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
9．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
10．形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（ ）
A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆
11．图中的两个四边形相似，则 ．
12．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ．
13．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
14．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为 m．
15．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EH的长度x．
16．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足，求的值．
能力提升
1．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ．
拔高拓展
1．如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH．
(1)求的值；
(2)若，求矩形EFGH的面积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)27.1 图形的相似 分层作业
基础训练
1．一个机器零件的长度是8毫米，画在比例尺是的图纸上的长度是（ ）
A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米
【答案】C
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离进行求解即可．
【详解】解：由题意得：图上距离：实际距离，
∴图上距离：8毫米，
∴图上距离为80毫米，即为8厘米，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离：实际距离是解题的关键．
2．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】C
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
【详解】、，此选项不符合题意，排除；
、，此选项不符合题意，排除；
、，此选项符合题意；
、，此选项不符合题意，排除；
故选：．
【点睛】此题考查了比例线段，解题的关键是如何判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形相似的概念进行解答即可．
【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，
故选：A．
【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键．
4．下列多边形一定相似的是 （ ）
A．两个菱形 B．两个平行四边形 C．两个矩形 D．两个正方形
【答案】D
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【详解】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．
矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；
而两个正方形，对应角都是，对应边的比也都相等，故一定相似，C正确．
故选：D．
【点睛】本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
5．如图，四边形四边形，若 ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用相似多边形的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数即可．
【详解】解：四边形四边形，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，也考查了四边形的内角和．
6．把一根铁丝首尾相接围成一个长为，宽为的矩形，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形，使矩形矩形，则这根铁丝需增加（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，根据相似长方形的性质列式计算求得，再计算即可求解．
【详解】解：原长方形的长和宽分别为和，由图形知，扩张后的长方形宽为，设长为，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
经检验，是分式方程的解，
∴扩张后的长方形长为，
原长方形的周长为，扩张后长方形的周长为，
，
∴这根铁丝需增加，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解是解题的关键．
7．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．1：2
C．3：2 D．：1
【答案】D
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可．
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：，
解得x：y= ．
故选：D．
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
8．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
【答案】B
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
9．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．
【详解】解∶∵，，，，
∴，
∴B选项不符合标准，
故选∶B．
【点睛】本题考查了相似形的应用，熟练掌握相似形的判定定理是解题的关键．
10．形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（ ）
A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形
C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆
【答案】C
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、关于直线对称的两个图形全等，
∴它们是相似图形，不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴它们是相似图形，不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴它们不一定是相似图形，符合题意；
D、两个半径不等的圆是相似图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
11．图中的两个四边形相似，则 ．
【答案】63
【分析】根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可．
【详解】解：∵两个四边形相似，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63．
【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．
12．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ．
【答案】10
【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．
【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，
∴，解得：．
故答案为：10 ．
【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．
13．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ．
【答案】1
【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵余下的矩形矩形，
∴，即，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
14．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为 m．
【答案】1.8
【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解答即可．
【详解】解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为（60-2.4）m，
∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，
∴，
解得，x＝1.8，
故答案为：1.8
【点睛】题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键．
15．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EH的长度x．
【答案】，，
【分析】利用相似多边形的性质：对应边的成相等，对应角相等，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，解得x＝28．
在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．
故x＝28．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
16．已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足，求的值．
【答案】（1），（2）15．
【分析】（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，代入即可求出的值；
（2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，利用a+b+c＝27求出k的值，即可得出答案．
【详解】解：（1）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，
；
（2）设，则a＝4k，b＝5k，c＝6k，
∵a+b+c＝45，
∴4k+5k+6k＝45，
∴k＝3，
∴a＝12，b＝15，c＝18，
∴a﹣b+c＝12﹣15+18＝15．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝4k，b＝5k，c＝6k进而得出k的值是解题关键．
能力提升
1．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝ ．
【答案】1+
【分析】根据相似图形的性质先设未知数再解方程即可得到结果.
【详解】解：∵矩形ABCD中，AF由AB折叠而得，∴ABEF是正方形．
又∵AB=2，∴AF= AB=EF=2．
设AD=x，则FD=x－2．
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，即
解得，（负值舍去）．
经检验是原方程的解．
∴AD.
故答案为
【点睛】此题重点考查学生对相似图形性质的理解，掌握相似图形的性质是解题的关键.
拔高拓展
1．如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH．
(1)求的值；
(2)若，求矩形EFGH的面积．
【答案】(1)a：b＝2：1
(2)6272米2
【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，进而可以解决问题；
（2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF HE，即可解决问题．
【详解】（1）根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH．
∴，
∴，
整理，得2b＝a，
∴a：b＝2：1；
（2）∵a＝4，2b＝a，
∴b＝2，
∴矩形EFGH的面积
＝EF HE
＝（120﹣2a） （60﹣2b）
＝（120﹣8）（60﹣4）
＝112×56
＝6272（米2）．
答：矩形EFGH的面积为6272米2．
【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
