27.2.1 相似三角形的判定（第三课时） 分层作业
基础训练
1．如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．
【详解】解：①∵，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠1=∠2，故①成立；
②∵，
∴BC=DE，故②成立，
③∵，
∴AB=AD，AC=AE，
∴，又∠1=∠2，
∴，故③成立，
综上，一定成立的有①②③共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．
2．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．
【详解】解：，，∽，故选项A不符合题意；
，，∽，故选项B不符合题意；
，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意；
即，，∽，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
3．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
4．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
5．如图，一副三角板，，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：选项B，∵，
∴，故选项B不合题意；
选项C，如图，设与交于点O，
∵，
∴，故选项C不合题意；
选项D，∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，故选项D不合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
6．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】△ABC和△ACD有公共角∠A，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案．
【详解】∵∠DAC=∠CAB，
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断
△ACD∽△ABC，故①正确，④不正确；
当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC，故②正确；
当＝时，虽∠DAC=∠CAB但不是夹角，所以△ACD与△ABC不相似，故③不正确．
因此有2个正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟悉掌握相似三角形的判定．
7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；
【详解】解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
8．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
【答案】D
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．
【详解】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，
∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；
B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，
∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，
故选项B不合题意；
C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，
∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；
D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．
【详解】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C
∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP
故B、D选项不符合题意，
∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，
对于A选项不能得到两个三角形相似，
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）
A．都相似 B．都不相似
C．只有①相似 D．只有②相似
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可．
【详解】在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；
第二个三角形的两个角分别为：75°，70°；
故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似；
在图②中：∵，，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB,
故都相似．
故选：A
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
11．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条．
故选C．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
【答案】(1)见解析
(2)3或8
【分析】（1）由AB=AC，可证得△ABD∽△DCE；
（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
【详解】（1）∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠ADC=∠B+∠BAD
∠ADC=∠ADE+∠CDE
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△CDE
（2）∵AB=AC，AC=12
∴AB=12
由（1）知，△ABD∽△CDE
∴=
即=
∴BD=3或8
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等，两三角形相似的判定定理证明即可．
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC；
（2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4．
【详解】（1）证明：如图，∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：如图，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠ABC＝90°，
由（1）得
∴∠A =∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴AB＝4．
【点睛】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键．
能力提升
1．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（ ）
A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE
【答案】D
【分析】由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD， 连结FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D．
【详解】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠EBF=∠DBC
∴△BFE∽△BCD，故选项A正确；
∴∠BFE=∠C，
∵∠AFD=∠BFE=∠C，
又∵∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF∽△BDC，故选项B正确；
∵∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BDC∽△AEC，
∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确；
∵，
∴，
∵△BFE∽△BCD，
∴，
∴，
∵∠BDC=∠AEB=90°，
若△ABE∽△BCD，
满足条件，
即，
∴满足即，
连结FC，
应有△CEF∽△BDC，
∵∠FEC=∠CDB，
∴只要满足∠FCE=∠DBC，
应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，
已知中没有点E为BD中点条件，
∴△BAE不一定与△BCD相似，
故选项D不正确．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键
2．如图，在中，，，点为中点，点在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【答案】3或
【分析】先得到，再分与两种情况讨论即可解答．
【详解】解：当时，
∵，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
∴，
综上，或，
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用及熟练掌握相似三角形的判定定理．
3．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 种情况．
【答案】3
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【详解】①当∠ACP=∠B，
∵∠A=∠A，
∴，
∴①符合题意；
②当∠APC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴，
∴②符合题意；
③当，
即，
∵∠A=∠A
∴，
∴③符合题意；
④∵当，即，
而∠PAC=∠CAB，
以上条件不能判断△APC和△ACB相似，
∴④不符合题意；
即有①②③这三种情况可得出，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
4．如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有 条．
【答案】4
【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．
【详解】解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；
②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB
③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；
④作∠PGC＝∠A，则△GCP∽△ACB．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与作图，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
5．如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，，当 时，．
【答案】
【分析】根据相似三角形的对应边成比例得到，再利用等边三角形的性质得出，结合已知条件，继而得出，代入即可得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴.
若
则，
即，
解得：，
故当，．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，理解相似三角形的性质是解此题的关键．
6．如图，已知矩形，将其折叠，使点与点重合，折痕是那么折痕的长是 ．
【答案】
【分析】连接BD交EF于点O，则O是BD的中点，易证，根据相似三角形的对应的边的比相等，即可求得OE的长，再根据即可求解．
【详解】如图所示，B点与D点重合后，折痕为EF，连接BD交EF交于点O，则O是BD的中点，
在中，，
则，
∵B、D关于EF对称，
∴，
又∵矩形ABCD中，，
∴，
在与中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、三角形相似等知识点，熟练掌握翻折变换和三角形相似的判定与性质是解题的关键．
拔高拓展
1．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
【答案】(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．
【分析】（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
【详解】解：（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)27.2.1 相似三角形的判定（第三课时） 分层作业
基础训练
1．如图，、交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A．B．C． D．
5．如图，一副三角板，，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
9．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
10．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似
C．只有①相似 D．只有②相似
11．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=∠B．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)若AC=12，BC=11，CE=2，求BD的长.
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．
(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
能力提升
1．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（ ）
A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE
2．如图，在中，，，点为中点，点在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
3．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有____ 种情况．
4．如图，在Rt△ABC的直角边AC上有一任意点P（不与点A、C重合），过点P作一条直线，将△ABC分成一个三角形和一个四边形，则所得到的三角形与原三角形相似的直线最多有 条．
5．如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，，当 时，．
6．如图，已知矩形，将其折叠，使点与点重合，折痕是那么折痕的长是 ．
拔高拓展
1．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
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