27.2.1 相似三角形的判定（第一课时） 分层作业
基础训练
1．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，两边上的中线，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．如图，在中，D是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，．若，，则 ．
10．如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．
11．如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．
12．如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝．
13．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
能力提升
1．如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，点D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点，即4AD＝AB，连接CD，F是AC上一点，连接BF与CD交于点E，点E恰好是CD的中点，若S△ABC＝8，则四边形ADEF的面积是（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若OM＝3，OB＝4，则BC的长为（ ）
A．5 B． C．8 D．10
4．如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是 ．
5．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与四边形的面积之比为 .
拔高拓展
1．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
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基础训练
1．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例，逐一进行判断即可；
【详解】A、∵，∴；选项正确，不符合题意；
B、∵，∴；选项正确，不符合题意；
C、∵，∴；选项错误，符合题意；
D、∵，∴；
∵，∴；
∴；选项正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段对应成比例，是解题的关键．
2．如图，在中，点，，分别在，，边上，，，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，联系起来，得出结论．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝6，AB＝5，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：，
，
即，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴，，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．
5．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【详解】解：对A、B选项．∵，，
∴，
∴，，故AB正确，不符合题意；
C．∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，而，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
6．如图，在中，，两边上的中线，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是，，根据，可得出，即可得出结论．
【详解】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE=BC，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，根据题意得出，是解题的关键．
7．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
8．如图，在中，D是上一点，连接是的中点，连接并延长交于点E，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】做DG∥BE，交AC于点G，得到AE=EG，，问题得解．
【详解】解：如图，做DG∥BE，交AC于点G，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
∴AE=EG，
∵， DG∥BE，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键．
9．如图，．若，，则 ．
【答案】10
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10．如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是 ．
【答案】6
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
11．如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．
【答案】见解析
【分析】利用平行线分线段成比例，求出＝，＝，通过等量代换得到GF＝FB．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BFCD，
∴＝，
∵FGBE，
∴GFAD，
∴＝，
∴＝，且AD＝CD，
∴GF＝BF．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练运用平行线分线段成比例定理列出相关线段比例关系是解题关键．
12．如图：△ABC中，MDAB，MNAE．求证：＝．
【答案】证明见解析
【分析】根据平行线分线段成比例定理证明即可．
【详解】证明：∵MDAB，
∴＝．
∵MNAE，
∴＝．
∴＝＝，
即＝．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握该知识点是解题关键．
13．如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．
（1）求证：；
（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．
【答案】（1）见解析；（2），
【分析】（1）由平行线分线段成比例得出和，即推出．
（2）设BF＝x，根据题意可求出，再根据（1）结论，即可求出x的大小，即可求出BF和CF的长．
【详解】（1）证明：∵DF∥AC，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，且AE＝4，EC＝2，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
能力提升
1．如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵、两点纵坐标分别为1、3，
∴，
∴，
解得：，
∴点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．
2．如图，点D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点，即4AD＝AB，连接CD，F是AC上一点，连接BF与CD交于点E，点E恰好是CD的中点，若S△ABC＝8，则四边形ADEF的面积是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】过D点作DG∥EF，连接AE，，GF＝FC，再计算△ADE和△AEF的面积即可．
【详解】过D点作DG∥EF，连接AE，
∵点E恰好是CD的中点，4AD＝AB，
∴，GF＝FC，
设AG＝k，则AF＝4k，GF＝3k，FC＝3k，
∴，
∵，S△ABC＝8，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握等高三角形面积之比等于底之比是解题的关键．
3．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若OM＝3，OB＝4，则BC的长为（ ）
A．5 B． C．8 D．10
【答案】B
【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求出AC，再利用平行线分线段成比例求出DC=2OM，则利用勾股定理即可求出AD，则答案得解．
【详解】根据矩形的性质可知AD=BC，∠ABC=∠D=90°，
∵O点为AC中点，
∴在Rt△ABC中，有BO=AC=AO=OC，
∵BO=4，
∴AC=8，OA=OC=4，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt△ADC中，利用勾股定理有，，
∴AD=BC=，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、平行线分线段成比例等知识，利用平行分线段成比例求出DC的长是是解答本题的关键．
4．如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是 ．
【答案】
【分析】作，交与，设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：如图所示，作，交与，
四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
设，则，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
5．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与四边形的面积之比为
【答案】
【分析】由DE：EC=3：1，可得DF：FB=3：4，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得S△EFD：S△BEF=3：4，S△BDE：S△BEC=3：1，可求△DEF的面积与四边形BCEF的面积的比值．
【详解】解：连接BE
∵DE：EC=3：1
∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k
∵ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD=4k，
∴,
∴S△EFD：S△BEF=3：4
∵DE：EC=3：1
∴S△BDE：S△BEC=3：1
设S△BDE=3a，S△BEC=a
则S△EFD=，，S△BEF=，
∴SBCEF=S△BEC+S△BEF=，
∴则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比9：19
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比求三角形的面积比值．
拔高拓展
1．如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作交DE的延长线于点A，过点D作交BE的延长线于点C．
(1)求证：；
(2)请找出，，之间的关系，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，．即可得出，即证明；
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．由（1）同理可得，变形为，即．
【详解】（1）证明：∵AB∥EF
∴．
∵CD∥EF
∴，
∴，
∴；
（2）关系式为：，
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K．
由（1）同理可得：
∴
即．
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
