27.2.2 相似三角形的性质 分层作业
基础训练
1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
2．的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
3．如图，中，点，分别在，上，，若，，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为
（ ）
A． B． C． D．
5．如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
6．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
8．若，相似比为，则与的对应角平分线的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
9．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3
C．：2 D．2：
10．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．
11．如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为 ．
12．如图，点、分别是、的中点，则 ．
13．如果两个相似三角形的面积比为1:4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．
14．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ．
15．若△ABC∽△DEF，△ABC的面积81，△DEF的面积是36，且AB=12cm，则DE= ．
能力提升
1．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
2．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．
(1)当移动几秒时，的面积为？
(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？
拔高拓展
1．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为．
(1)当为何值时，的面积为？
(2)为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)27.2.2 相似三角形的性质 分层作业
基础训练
1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．
【详解】解：∵两个相似三角形周长的比为，
∴相似三角形的对应边比为，
故选．
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，
∴两个相似三角形的相似比为1:3，
∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，
∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键．
3．如图，中，点，分别在，上，，若，，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，易得，利用相似三角形的性质，即可．
【详解】，
，，
，
，
，
，
．
故选择：D．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比问题，关键是掌握相似三角形的判定方法，会用方法证明两个三角形相似，掌握相似三角形的性质，会利用性质解决对应线段比、周长比，面积比等问题．
4．在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，进而得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．
【详解】如图所示，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC是解题的关键．
5．如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【答案】D
【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵点F是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．
6．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比是，则△ABC与△DEF的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比是，
∴△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应高的比为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
7．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=（ ）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
【答案】B
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
8．若，相似比为，则与的对应角平分线的比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】C
【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答．
【详解】∵两个三角形的相似比为，
∴这两个三角形对应角平分线的比为．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，比较简单．
9．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．3：4 B．4：3
C．：2 D．2：
【答案】C
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答.
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：2.
故选C
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．
10．如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝ ．
【答案】
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
11．如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为 ．
【答案】
【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答．
【详解】如图，
设、分别与交于点、 ，则 ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即与的相似比为 ，
∴与的周长比为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．
12．如图，点、分别是、的中点，则 ．
【答案】
【分析】点、分别是、的中点，可知是的中位线，则，即相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到，且，由此即可求解．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴，，，即是的中位线，
且，
∴，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是三角形相似求面积的问题，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
13．如果两个相似三角形的面积比为1:4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．
【答案】9
【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比为，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴两个相似三角形的周长也比为，
∵较大的三角形的周长为18，
∴较小的三角形的周长为．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
14．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是 ．
【答案】3
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．
【详解】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：4．
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3．
∵△ADE的面积是1，
∴四边形DBCE的面积是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
15．若△ABC∽△DEF，△ABC的面积81，△DEF的面积是36，且AB=12cm，则DE= ．
【答案】8cm
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵△ABC的面积81，△DEF的面积是36，且AB=12cm，
∴，解得cm，
故答案为：8cm
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
能力提升
1．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1)若，求线段AD的长．
(2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
2．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．
(1)当移动几秒时，的面积为？
(2)当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？
【答案】(1)3秒
(2)3秒或秒
【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6 t，BQ＝2t，
由题意得：＝PB·BQ＝（6 t）·2t＝＝9，
解得：，
答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；
（2）分两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，
则，即，
解得：，
②当△BPQ∽△BCA时，
则，即，
解得：，
综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键．
拔高拓展
1．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为．
(1)当为何值时，的面积为？
(2)为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似．
【答案】(1)
(2)或
【分析】由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案；
由，则当或时，以，，为顶点的三角形与相似，代入计算即可．
【详解】（1）由题意知，，，
的面积为，
，
解得或，
，
时，的面积为；
（2），
当或时，以，，为顶点的三角形与相似，
或，
解得或，
或时，以A，，为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
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