27.3 位似(第一课时) 分层作业
基础训练
1．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】B
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
2．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．直线经过点
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，
∴，，直线经过点，，
∴，
∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
3．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】D
【分析】根据位似的定义，即可解决问题．
【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．
4．如图，与位似，点为位似中心，面积为1，面积为9，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念得到，进而得到，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C． D．
【答案】C
【分析】根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，，
∴，
则选项A、B、D正确，不符合题意，选项C正确，符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点
【答案】C
【分析】结合题意，根据位似图形的性质分析，即可得到答案．
【详解】如图，连接AO并延长于点G
根据题意，得：
以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的
当△ABC缩小后，在位似中心同侧时，点A的对应点为点D
当△ABC缩小后，在位似中心异侧时，点A的对应点为点G
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，从而完成求解．
7．如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5．若，则的长为（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】C
【分析】根据位似图形的相似比成比例解答．
【详解】解：∵右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5，BC=75，
∴GH：BC=3：5，即GH：75=3：5．
∴GH=45．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
8．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（ ）
A．AC∥DF
B．
C．BC是△OEF的中位线
D．S△ABC：S△DEF=1：2
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质、中位线的定义、相似多边形的性质判断即可；
【详解】解：∵位似图形的对应线段平行且比相等；位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比；
∴AC∥DF，AB∶DE=OA∶OD=1∶2，即A、B选项正确；
∵BC∥EF，BC∶EF=1∶2，
∴BC是△OEF的中位线；即C选项正确；
∵位似图形是相似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，
∴S△ABC：S△DEF =1：4，即D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质和中位线的定义；掌握位似图形的性质是解题关键．
9．如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面积比是相似比的平方直接求解即可．
【详解】解：四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， ，
则四边形与四边形的相似比为：，面积比为；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似图形面积比，解题关键是熟记相似图形面积比等于相似比的平方．
10．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【详解】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．
∴它们的位似中心是．
故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
11．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论．
【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，
，
，
，
根据与的周长比等于相似比可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
12．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
【答案】
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【详解】解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．
13．如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为 ．
【答案】23/
【分析】根据位似图形的位似比等于对应边的比，即可得出结论．
【详解】解：菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形
菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比=
故答案为：23．
【点睛】本题考查了位似比的定义，掌握位似图形的相关概念是解题的关键．
14．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为 ．
【答案】
【分析】先求出相似比为，再根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：，
，
与是位似图形，
与的相似比为，
，
即与的面积比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
15．如图，在中，是的中点，以点为位似中心，作的位似图形．若点的对应点是的重心，则与的位似比为 ．
【答案】
【分析】根据三角形重心的性质可以求出，从而进一步求出，这样便可求出位似比．
【详解】解：∵是的重心，
∴，
∴，
∴与的位似比为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质和位似比的概念，关键是掌握三角形重心的性质．
16．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
【答案】(1)见解析；
(2)不是位似图形；
(3)6
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据位似图形的定义判断，即可；
（3）根据△ADP∽△BCP，得到，再证明△APB∽△DPC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】（1）证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴ △ADP∽△BCP．
（2）解：△ADP与△BCP不是位似图形．
理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，
∴ △ADP与△BCP不是位似图形．
（3）解：∵△ADP∽△BCP，
∴，
∵∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，
∴，
解得AP＝6．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
(1)以点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为2∶1．
(2)在线段上找出所有的点M，将线段DF分为两部分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）根据位似图形的性质作出位似图形即可；
（2）构造相似三角形，使其相似比为，即可找出点M，
【详解】（1）如图，即为所作，
（2）如图，点M即为所作，
【点睛】本题考查了相似三角形及位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
能力提升
1．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的线段上找一点D，线段上找一点E，连接，使是的中位线，并直接写出线段的长．
(2)在图②中，以点A为位似中心，作的位似，使与的面积比为．
【答案】(1)图见解析，线段的长为2
(2)见解析
【分析】（1）如图可知，A到的距离为4个单位，将A向下移动2个单位得到点F，过点F作的平行线，分别交于，连接，为所求，由中位线的性质得到可求解；
（2）如图，将A向下移动2个单位得到点D，向下移动5个单位得到点E，连接，过点D分别作的平行线，分别交于，连接，为所求．
【详解】（1）解：如图可知，A到的距离为4个单位，将A向下移动2个单位得到点F，过点F作的平行线，分别交于，连接，为所求．
作图如下，
，
是的中位线，
，
故线段的长为2 ；
（2）如图，将A向下移动2个单位得到点D，向下移动5个单位得到点E，
连接，
与的面积比为，
与的相似比为，
过点D分别作的平行线，
分别交于，
连接，
则，，
故为所求．
【点睛】本题考查了网格作图，中位线的性质，位似的性质及作图；解题的关键是数量掌握中位线及位似图形的性质．
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基础训练
1．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
2．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．直线经过点
3．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
4．如图，与位似，点为位似中心，面积为1，面积为9，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
5．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C． D．
6．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（ ）
A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点
7．如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5．若，则的长为（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
8．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，下列结论不正确的是（ ）
A．AC∥DF
B．
C．BC是△OEF的中位线
D．S△ABC：S△DEF=1：2
9．如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
11．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ．
12．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
13．如图，菱形ABCD与菱形A'BC'D'是位似图形，若AD＝6，A'D'＝4，则菱形A'BC'D'与菱形ABCD的位似比为 ．
14．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，则与的面积比为 ．
15．如图，在中，是的中点，以点为位似中心，作的位似图形．若点的对应点是的重心，则与的位似比为 ．
16．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
17．如图，是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
(1)以点O为位似中心，画出的位似图形，使它与的相似比为2∶1．
(2)在线段上找出所有的点M，将线段DF分为两部分．
能力提升
1．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的线段上找一点D，线段上找一点E，连接，使是的中位线，并直接写出线段的长．
(2)在图②中，以点A为位似中心，作的位似，使与的面积比为．
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